Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. . , y0констант C1 , . . . , Cn , при котором функция y = ϕ (x, C1 , . . . , Cn )удовлетворяет заданным начальным условиям, т. е. y (x0 ) = y0 ;(n−1)y (x0 ) = y0 , . . . , y (n) (x0 ) = y0.Заметим, что общее решение дифференциального уравненияn-го порядка зависит от n констант.Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение(при конкретном выборе констант).Общим интегралом дифференциального уравнения n-го порядка называется функция Φ (x, y, C1 , . .
. , Cn ), сохраняющая свои значения на решениях дифференциального уравнения.Интегральной кривой называется график частного решения.Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.Обычно рассматривается одна из трех задач:1) найти общее решение дифференциального уравнения n-гопорядка; найти частное решение дифференциального уравненияn-го порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям —задача Коши;3) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке x0 , а другая частьв точке x1 — краевая задача.Теорема Коши ( существования и единственности решенияn-го порядказадачи Коши для дифференциальногоуравнения(n)(n−1)y = f x, y, y , .
. . , y). Пусть функция f x, y, y , . . . , y (n−1)и ее частные производные по переменным y, y , . . . , y (n−1) опреде(n−1)лены и непрерывны в некоторой области G x, y, y , . . . , y .(n−1)Тогда для любой внутренней точки x0 , y0 , , y0 , . . . , y0∈Gсуществует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т. е. y (x0 ) = y0 ,(n−1)y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0(через любую внутреннюю78(n−1)точку x0 , y0 , , y0 , .
. . , y0∈ G проходит единственная интегральная кривая).П р и м е р. Рассмотрим дифференциальное уравнение второгопорядка y = f (x, y, y ). Область существования и единственности решения G ∈ R3 (x, y, y ) заполнена непересекающимисяинтегральными кривыми. Через любую точку (x0 , y0 , y0 ) ∈ Gпроходит единственная интегральная кривая. Однако через «точку» (x0 , y0 ) ∈ R2 (x, y) проходит бесконечно много интегральных кривых, все они различаются значениями y0 . Заметим, что вR3 (x, y, y ) «точка» (x0 , y0 ) ∈ R2 (x, y) представляет собой прямую x = x0 , y = y0 .Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах.
Однородные уравнения линейные и уравнения Бернулли тожесводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-гопорядка — проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его кизвестным типам уравнений первого порядка.Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядказависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение:y (n) = f (x) ; y (n−1) = f (x) dx + Cn−1 ; y (n−2) =f (x) dxdx + Cn−1 x + Cn−2,... , y (x) =xn−1+= .
. . f (x) dx . . . dx + Cn−1(n − 1)!xn−2+ Cn−2+ . . . + C1 x + C0 .(n − 2)!Рассмотрим четыре основных типа уравнений второго порядка,допускающие понижение порядка.791) при любом наборе констант C1 , . . . , Cn эта функция являетсярешением;2) для любого набораначальных условийиз области суще(n−1)∈ G найдется наборствования решения x0 , y0 , y0 , .
. . , y0констант C1 , . . . , Cn , при котором функция y = ϕ (x, C1 , . . . , Cn )удовлетворяет заданным начальным условиям, т. е. y (x0 ) = y0 ;(n−1)y (x0 ) = y0 , . . . , y (n) (x0 ) = y0.Заметим, что общее решение дифференциального уравненияn-го порядка зависит от n констант.Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение(при конкретном выборе констант).Общим интегралом дифференциального уравнения n-го порядка называется функция Φ (x, y, C1 , . . . , Cn ), сохраняющая свои значения на решениях дифференциального уравнения.Интегральной кривой называется график частного решения.Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.Обычно рассматривается одна из трех задач:1) найти общее решение дифференциального уравнения n-гопорядка; найти частное решение дифференциального уравненияn-го порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям —задача Коши;3) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке x0 , а другая частьв точке x1 — краевая задача.Теорема Коши ( существования и единственности решенияn-го порядказадачи Коши для дифференциальногоуравнения(n)(n−1)y = f x, y, y , .
. . , y). Пусть функция f x, y, y , . . . , y (n−1)и ее частные производные по переменным y, y , . . . , y (n−1) опреде(n−1)лены и непрерывны в некоторой области G x, y, y , . . . , y .(n−1)Тогда для любой внутренней точки x0 , y0 , , y0 , . . . , y0∈Gсуществует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т.
е. y (x0 ) = y0 ,(n−1)y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0(через любую внутреннюю78(n−1)точку x0 , y0 , , y0 , . . . , y0∈ G проходит единственная интегральная кривая).П р и м е р. Рассмотрим дифференциальное уравнение второгопорядка y = f (x, y, y ). Область существования и единственности решения G ∈ R3 (x, y, y ) заполнена непересекающимисяинтегральными кривыми. Через любую точку (x0 , y0 , y0 ) ∈ Gпроходит единственная интегральная кривая. Однако через «точку» (x0 , y0 ) ∈ R2 (x, y) проходит бесконечно много интегральных кривых, все они различаются значениями y0 . Заметим, что вR3 (x, y, y ) «точка» (x0 , y0 ) ∈ R2 (x, y) представляет собой прямую x = x0 , y = y0 .Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах.
Однородные уравнения линейные и уравнения Бернулли тожесводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-гопорядка — проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его кизвестным типам уравнений первого порядка.Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядказависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение:y (n) = f (x) ; y (n−1) = f (x) dx + Cn−1 ; y (n−2) =f (x) dxdx + Cn−1 x + Cn−2,...
, y (x) =xn−1+= . . . f (x) dx . . . dx + Cn−1(n − 1)!xn−2+ Cn−2+ . . . + C1 x + C0 .(n − 2)!Рассмотрим четыре основных типа уравнений второго порядка,допускающие понижение порядка.791. Уравнение, которое не содержит явно переменную y и имеетвид F (x, y , y ) = 0 или y = f (x, y ). Здесь применяется подстановка y = p (x), y = p (x), т. е. вводится новая функция y = p (x)старой переменной x. Уравнение сводится к уравнению первого порядка p = f (x, p).П р и м е р. Найти общее решение уравнения y x ln x = y и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиямy (e) = 0, y (e) = 1.Получим:dpdx=; p = C1 ln x;px ln xy = C1 ln x; y = C1 (x ln x − x) + C2p x ln x = p;— общее решение.
Ищем частное решение: y (e) = C1 ln e = C1 == 1, y (e) = e ln e − e + C2 = e − e + C2 = C2 = 0. Частное решениеимеет вид y = x ln x − x.2. Уравнение, которое не содержит явно переменную x и имеетвид F (y, y , y ) = 0 или y = f (y, y ). Здесь применяется подстаdpdp dy= p (y) p (y), т. е. вводится=новка y = p (y), y =dy dxdxновая функция y = p (y) новой переменной y. Уравнение сводитсяк уравнению первого порядка pp = f (y, p).П р и м е р. Найти общее решение уравнения yy + (y )2 = 0и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиямy (1) = y (1) = 1.Получимypp + p2 = 0.— решение; если yp +pЕсли p ≡ 0, то y = C= 0, ydp = −pdy,C1y2= C1 x + C2 — общее решение.то p =, ydy = C1 dx.
Тогдаy2Ищем частное решение:y (1) = C1 = 1, y (1) = 1 ⇒y211= 1 + C2 = ⇒ C2 − .222Получим частное решение в виде y 2 = 2x − 1.803. Уравнение, однородное относительно переменных y, y , y .Уравнение называется однородным относительно y, y , y , еслипри замене переменных y на ky, y на ky , y на ky уравнениене изменится.
Для решения уравнения применяется подстановкаy = yz (x).П р и м е р. Найти общее решение уравнения xyy − x (y )2 == yy .Получим: y = yz; y = y z + z y = yz 2 + z y; xy yz 2 + yz −dzdx=;−xy 2 z 2 = y 2 z; xy 2 z = y 2 z; y ≡ 0 — решение; xz = z;zx1 2dy= C1 x; y = C2 eC1 2 x — общее решение.z = C1 x; y = yC1 x;y4. Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.П р и м е р. Решить уравнение yy = (y )2 .y yЗапишем заданное уравнение в виде = . Интегрируем обеyy части уравнения: (ln y ) = (ln y) ; ln y = ln y + C; y = C1 y;dy= C1 dx; ln y = C1 x + C2 .yПолучим решение в виде y = C3 eC1 x .14.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКАС ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИЛинейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами может быть записано ввидеa0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y = 0.Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами может быть записано в видеa0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + . .
. + an−1 (x) y + an (x) y = f (x) .811. Уравнение, которое не содержит явно переменную y и имеетвид F (x, y , y ) = 0 или y = f (x, y ). Здесь применяется подстановка y = p (x), y = p (x), т. е. вводится новая функция y = p (x)старой переменной x. Уравнение сводится к уравнению первого порядка p = f (x, p).П р и м е р. Найти общее решение уравнения y x ln x = y и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиямy (e) = 0, y (e) = 1.Получим:dpdx=; p = C1 ln x;px ln xy = C1 ln x; y = C1 (x ln x − x) + C2p x ln x = p;— общее решение. Ищем частное решение: y (e) = C1 ln e = C1 == 1, y (e) = e ln e − e + C2 = e − e + C2 = C2 = 0. Частное решениеимеет вид y = x ln x − x.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
