Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. в том случае, когда боковая поверхность «ведерка» будет конечна. Вычислим боковую поверхность «ведерка»:Sбок+∞ 11= 2π1 + 4 dx.xx158Так как11 + 4 0, а интегралx+∞11dx расходится, то по перxвому признаку сравнения будет расходиться и интеграл Sбок =+∞ 111 + 4 dx. Следовательно, боковая поверхность «ве= 2πxx1дерка» имеет бесконечную площадь и ее окрасить не удастся.10.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:F x, y (x) , y (x) , . . . , y n (x) = 0.Здесь x — независимая переменная; y(x) — неизвестная функция.П орядк ом дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такоеуравнение называется уравнением, разрешенным относительностаршей производной.y n = f x, y (x) , y (x) , .
. . , y n−1 (x) .Рассмотрим дифференциальные уравнения первого порядка.Дифференциальное уравнение первого порядка общего видавыглядит следующим образом:F x, y (x) , y (x) = 0.Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной, записав его в виде y (x) == f (x, y (x)), или y = f (x, y) .59Функция y (x) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество y (x) ≡ f (x, y (x)) .Функция y = ϕ (x, c) называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области G (x, y), если соблюдаются следующие условия:1) при любой постоянной c функция ϕ (x, c) является решением;2) для любого набора начальных условий (x0 , y0 ) ∈ G существует константа c0 такая, что y (x0 , c0 ) = ϕ (x0 , c0 ) = y0 , т.
е. существует решение из семейства y = ϕ (x, c) (при c = c0 ), удовлетворяющее этим начальным условиям.Одной из основных является задача отыскания общего решениядифференциального уравнения.Если зафиксировать постоянную в общем решении, получимчастное решение дифференциального уравнения первого порядка.Функция Φ (x, y) называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях (Φ (x, y) = С ).По сути дела, это закон сохранения: функция Φ (x, y) сохраняетзначения на решениях дифференциального уравнения.Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.Одной из основных является также задача Коши — задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (x0 , y0 ) ∈ G, или интегральной кривой, проходящей через заданную точку (x0 , y0 ) ∈ G.Теорема существования решения задачи Коши. Пусть функция f (x, y) непрерывна в области (x, y) ∈ G, тогда существует хотябы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальнымусловиям (x0 , y0 ) ∈ G, или существует хотя бы одна интегральнаякривая, проходящая через точку (x0 , y0 ) ∈ G.Теорема существования и единственности решения задачиКоши.
Пусть функция f (x, y) непрерывна в области (x, y) ∈ G иудовлетворяет в этой области одному из трех условий:а) функция f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по y :|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| L |y1 − y2 | ;60∂f (x, y);∂y∂f (x, y).в) существует и непрерывна частная производная∂yЗаметим, что из условия в) следует условие б), а из условияб) следует условие а). Поэтому класс функций, удовлетворяющихусловию а), шире, чем класс функций, удовлетворяющих условиюб), а класс функций, удовлетворяющих условию б), шире, чем классфункций, удовлетворяющих условию в).
Условие а) проверить трудно, а условие б) или условие в) проверить гораздо легче.Если в какой-либо точке (x, y) ∈ G решение дифференциального уравнения не существует (через точку не проходит интегральнаякривая), то в ней разрывна функция f (x, y).Если через какую-либо точку проходят две или более интегральных кривых, то функция f (x, y) непрерывна в этой точке, нони одно из условий а), б), в) не выполнено в ней.б) существует и ограничена частная производная11. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА11.1. Уравнения с разделяющимися переменнымиУравнение с разделяющимися переменными имеет видy = f (x) g (y) .В этом уравнении переменные «можно разделить», т. е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy — влевую часть. Затем интегрируем полученное соотношение, тогдаϕ (y) = φ (x) + C.
Отсюдаdydy= f (x) g (y) ;= f (x) dx;dxg (y)dy= f (x) dx; ϕ (y) = φ (x) + C.g (y)61Функция y (x) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество y (x) ≡ f (x, y (x)) .Функция y = ϕ (x, c) называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области G (x, y), если соблюдаются следующие условия:1) при любой постоянной c функция ϕ (x, c) является решением;2) для любого набора начальных условий (x0 , y0 ) ∈ G существует константа c0 такая, что y (x0 , c0 ) = ϕ (x0 , c0 ) = y0 , т.
е. существует решение из семейства y = ϕ (x, c) (при c = c0 ), удовлетворяющее этим начальным условиям.Одной из основных является задача отыскания общего решениядифференциального уравнения.Если зафиксировать постоянную в общем решении, получимчастное решение дифференциального уравнения первого порядка.Функция Φ (x, y) называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях (Φ (x, y) = С ).По сути дела, это закон сохранения: функция Φ (x, y) сохраняетзначения на решениях дифференциального уравнения.Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.Одной из основных является также задача Коши — задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (x0 , y0 ) ∈ G, или интегральной кривой, проходящей через заданную точку (x0 , y0 ) ∈ G.Теорема существования решения задачи Коши.
Пусть функция f (x, y) непрерывна в области (x, y) ∈ G, тогда существует хотябы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальнымусловиям (x0 , y0 ) ∈ G, или существует хотя бы одна интегральнаякривая, проходящая через точку (x0 , y0 ) ∈ G.Теорема существования и единственности решения задачиКоши. Пусть функция f (x, y) непрерывна в области (x, y) ∈ G иудовлетворяет в этой области одному из трех условий:а) функция f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по y :|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| L |y1 − y2 | ;60∂f (x, y);∂y∂f (x, y).в) существует и непрерывна частная производная∂yЗаметим, что из условия в) следует условие б), а из условияб) следует условие а). Поэтому класс функций, удовлетворяющихусловию а), шире, чем класс функций, удовлетворяющих условиюб), а класс функций, удовлетворяющих условию б), шире, чем классфункций, удовлетворяющих условию в).
Условие а) проверить трудно, а условие б) или условие в) проверить гораздо легче.Если в какой-либо точке (x, y) ∈ G решение дифференциального уравнения не существует (через точку не проходит интегральнаякривая), то в ней разрывна функция f (x, y).Если через какую-либо точку проходят две или более интегральных кривых, то функция f (x, y) непрерывна в этой точке, нони одно из условий а), б), в) не выполнено в ней.б) существует и ограничена частная производная11. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА11.1. Уравнения с разделяющимися переменнымиУравнение с разделяющимися переменными имеет видy = f (x) g (y) .В этом уравнении переменные «можно разделить», т.
е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy — влевую часть. Затем интегрируем полученное соотношение, тогдаϕ (y) = φ (x) + C. Отсюдаdydy= f (x) g (y) ;= f (x) dx;dxg (y)dy= f (x) dx; ϕ (y) = φ (x) + C.g (y)61dy= dx.yЗаметим, что y ≡ 0 — решение, это так называемое тривиальноерешение. Только проанализировав, является ли y ≡ 0 решением илинет, мы имеем право, разделив обе части заданного уравнения наy, двигаться дальше, иначе тривиальное решение будет потеряно.Запишемln |y| = x + C1 .П р и м е р.
Найти общее решение уравнения y = y,Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при y < 0.Запишем|y| = eC1 ex .Обозначим C2 = eC1 > 0 и раскроем модуль:y = ±C2 ex .Запишем y = Cex , где С — произвольная действительная постоянная, C = ±C2 или С = 0, так как тривиальное решение есть.Обычно все рассуждения, приведенные выше, опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу записывают решение уравнения в виде y(x) = Cex , ∀C.1,П р и м е р. Найти кривую, проходящую через точку 1,3если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза большеуглового коэффициента радиус-вектора в точке касания.
Получимy dydxy = 3 ,= 3 , y ≡ 0 — тривиальное решение, y = Cx3 —x yxобщее решение. Подставляя начальные условия в общее решение,11находим = C, y = x3 .33П р и м е р. Вывести формулу Циолковского. Пусть ракета вместе с топливом массой m (t) движется прямолинейно без учета гравитации. Скорость истечения топлива V0 . В начальный момент времени t0 ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M .Вывести формулу для скорости ракеты v (t).Выделим элемент массой dm.
По закону сохранения количествадвижения62d (mv) = (v − V0 ) dm; mdv + vdm = vdm − V0 dm;dm; v = −V0 ln m + C.dv = −V0mПодставляя v (t0 ) = 0 в последнее уравнение, получим C = V0 ln M .Отсюда следуетMv = V0 ln ,mт. е. формула Циолковского.11.2. Однородное уравнениеПравая часть однородного уравнения зависит от отношенияy = fyxy:x.Это позволяет заменить отношение новой переменной u (x) =y= или y = x u (x).Тогдаxy = u (x) + xu (x) = f (u (x)) ;dudxxu (x) = f (u) − u;=,f (u) − uxгде последнее уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Если f (u) ≡ u, то исходное уравнение уже являетсяуравнением с разделяющимися переменными.yП р и м е р. Решить однородное уравнение y = 1+2 .
Получим:xdxduy = x u (x); y = xu + u = 1 + 2u;=; ln |1 + u| = ln |x| +x1+uy+ C; 1 + u = Cx; 1 + = Cx;xy = (Cx − 1) x.63dy= dx.yЗаметим, что y ≡ 0 — решение, это так называемое тривиальноерешение. Только проанализировав, является ли y ≡ 0 решением илинет, мы имеем право, разделив обе части заданного уравнения наy, двигаться дальше, иначе тривиальное решение будет потеряно.Запишемln |y| = x + C1 .П р и м е р. Найти общее решение уравнения y = y,Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при y < 0.Запишем|y| = eC1 ex .Обозначим C2 = eC1 > 0 и раскроем модуль:y = ±C2 ex .Запишем y = Cex , где С — произвольная действительная постоянная, C = ±C2 или С = 0, так как тривиальное решение есть.Обычно все рассуждения, приведенные выше, опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу записывают решение уравнения в виде y(x) = Cex , ∀C.1,П р и м е р.
Найти кривую, проходящую через точку 1,3если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза большеуглового коэффициента радиус-вектора в точке касания. Получимy dydxy = 3 ,= 3 , y ≡ 0 — тривиальное решение, y = Cx3 —x yxобщее решение. Подставляя начальные условия в общее решение,11находим = C, y = x3 .33П р и м е р.
Вывести формулу Циолковского. Пусть ракета вместе с топливом массой m (t) движется прямолинейно без учета гравитации. Скорость истечения топлива V0 . В начальный момент времени t0 ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M .Вывести формулу для скорости ракеты v (t).Выделим элемент массой dm. По закону сохранения количествадвижения62d (mv) = (v − V0 ) dm; mdv + vdm = vdm − V0 dm;dm; v = −V0 ln m + C.dv = −V0mПодставляя v (t0 ) = 0 в последнее уравнение, получим C = V0 ln M .Отсюда следуетMv = V0 ln ,mт. е. формула Циолковского.11.2. Однородное уравнениеПравая часть однородного уравнения зависит от отношенияy = fyxy:x.Это позволяет заменить отношение новой переменной u (x) =y= или y = x u (x).Тогдаxy = u (x) + xu (x) = f (u (x)) ;dudxxu (x) = f (u) − u;=,f (u) − uxгде последнее уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
