Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ТогдаJ (x) = f (x).34f (x) dxa6. ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦАОпределенный интеграл представляет собой функцию пределовинтегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретацииинтеграла как площади криволинейной трапеции. Изменяя пределыинтегрирования, мы изменяем основание трапеции и тем самым ееплощадь.Рассмотрим интеграл как функцию верхнего предела интегрирования — интеграл с переменным верхним пределом J (x) =x=f (x) dx.
Переменная интегрирования по свойству 9 (см.ax−x+Δx x+Δxf (x) dx−aИз теоремы о производной интеграла по переменному верхнемупределу следует, что J (x) = f (x), т. е. J (x) — первообразная дляфункции f (x). По теоремам о первообразных две первообразныхразличаются на константу, т. е. J (x) = F (x) + C. Но J (a) = 0(см. разд. 5.3, свойство 4 определенного интеграла), поэтому F (a)+b+ C = 0 ⇒ C = −F (a). Тогда J (b) =f (x) dx = F (b) +b+ C = F (b) − F (a). Следовательно,af (x) dx = F (b) − F (a).aФормула Ньютона — Лейбница является одной из немногихформул, связывающих различные разделы математики воедино.35зок на части b − a, получаемД о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, чтоbJ (x + Δx) − J (x)1= limJ (x) = limΔx→0Δx→0 ΔxΔxf (x) dxmab−a M.По второй теореме Больцано—Коши функция, непрерывная наотрезке, принимает на нем все промежуточные значения между mи M .
В частности, существует и такая точка c ∈ [a, b], в которойфункция принимает свое промежуточное значениеbbf (x) dxab−af (x) dx, т. е. f (c) =ab−a.x= limΔx→0af (x) dxΔxf (c) (x + Δx − x)=Δx→0Δx= lim= lim f (c) = f (x) .Δx→0При доказательстве мы воспользовались теоремой⎞о среднем⎛ x+Δx⎝f (x) dx = f (c) ((x + Δx) − x), c ∈ (x, x + Δx)⎠и непреxрывностью функции (lim Δx→0 f (c) = f (x)).6.2. Формула Ньютона — Лейбница6.1. Интеграл с переменным верхним пределомПусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], F (x) — некоторая первообразная функции f (x). Тогда справедлива формулаbНьютона — Лейбница f (x) dx = F (b) − F (a).разд.
5.3) определенного интеграла — «немая» переменная, ее можно заменить z или t или чем-либо еще. Никакого отношения к верхнему пределу интегрирования она не имеет.Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу (основная теорема математического анализа). Пустьфункция f (x)непрерывна на отрезке [a, b], пусть x ∈ [a, b]. ТогдаJ (x) = f (x).34f (x) dxa6. ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦАОпределенный интеграл представляет собой функцию пределовинтегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретацииинтеграла как площади криволинейной трапеции.
Изменяя пределыинтегрирования, мы изменяем основание трапеции и тем самым ееплощадь.Рассмотрим интеграл как функцию верхнего предела интегрирования — интеграл с переменным верхним пределом J (x) =x=f (x) dx. Переменная интегрирования по свойству 9 (см.ax−x+Δx x+Δxf (x) dx−aИз теоремы о производной интеграла по переменному верхнемупределу следует, что J (x) = f (x), т. е. J (x) — первообразная дляфункции f (x). По теоремам о первообразных две первообразныхразличаются на константу, т. е. J (x) = F (x) + C.
Но J (a) = 0(см. разд. 5.3, свойство 4 определенного интеграла), поэтому F (a)+b+ C = 0 ⇒ C = −F (a). Тогда J (b) =f (x) dx = F (b) +b+ C = F (b) − F (a). Следовательно,af (x) dx = F (b) − F (a).aФормула Ньютона — Лейбница является одной из немногихформул, связывающих различные разделы математики воедино.35Если бы не было формулы Ньютона — Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментомисследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются винтегралах.Такие формулы или теоремы известны.
Например, теорема освязи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия — теоремы осредних значениях — связывают дифференциальное исчисление итеорию экстремума. В векторном анализе играют фундаментальную роль, например, теоремы Остроградского — Гаусса и Стокса.7. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАМетоды вычисления определенного интеграла остаются темиже, что и методы вычисления неопределенного интеграла, но разница есть. В неопределенном интеграле, делая замену переменной,надо затем возвратиться к исходной функции, в определенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются и пределы интегрирования для новой переменной.
Определенный интегралпри постоянных пределах интегрирования — число, и все равно, вкаких переменных считать это число. Но требование взаимной однозначности функции сохраняется, просто оно маскируется условиями теоремы о замене переменной.Рассмотрим метод замены переменной. Сформулируем теорему.Теорема о замене переменных в определенном интеграле.Пусть функции x = ϕ (t) , ϕ (t) непрерывны при t ∈ [α, β], значения x = ϕ (t), t ∈ [α, β] не выходят за границы интервала [a, b],bβϕ (α) = a, ϕ (β) = b.
Тогда f (x) dx = f (ϕ (t)) ϕ (t)dt.a36αД о к а з а т е л ь с т в о. Получимββf (ϕ (t)) ϕ (t) dt =αf (ϕ (t)) dϕ (t) =αb= F (ϕ (β)) − F (ϕ (α)) = F (b) − F (a) =f (x) dx.a2П р и м е р. Вычислим интеграл01xe dx =2x24et dt =0 1 4=e − 1 , t = x2 , dt = 2xdx .2У п р а ж н е н и е.
Найдите ошибки в применении теоремы озамене переменной.ππ=πdx =001dx =2sin x + cos2 xπ=0π0d (tgx)=1 + tg2 x1dx=21 + tg x cos2 x00dt= arctg t|00 = 0,1 + t2(t = tgx) .Рассмотрим метод интегрирования по частям.Теорема. Пусть функции u (x) , u (x) , v (x) , v (x) непрерывнына интервале [a, b]. Тогдаbu (x) v (x) dx =abu (x) v (x) |ba−v (x) u (x) dx.aДоказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы для неопределенного интеграла, только интегрирование проводится в пределах от a до b.37Если бы не было формулы Ньютона — Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментомисследования процессов.
Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются винтегралах.Такие формулы или теоремы известны. Например, теорема освязи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия — теоремы осредних значениях — связывают дифференциальное исчисление итеорию экстремума. В векторном анализе играют фундаментальную роль, например, теоремы Остроградского — Гаусса и Стокса.7.
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАМетоды вычисления определенного интеграла остаются темиже, что и методы вычисления неопределенного интеграла, но разница есть. В неопределенном интеграле, делая замену переменной,надо затем возвратиться к исходной функции, в определенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются и пределы интегрирования для новой переменной. Определенный интегралпри постоянных пределах интегрирования — число, и все равно, вкаких переменных считать это число.
Но требование взаимной однозначности функции сохраняется, просто оно маскируется условиями теоремы о замене переменной.Рассмотрим метод замены переменной. Сформулируем теорему.Теорема о замене переменных в определенном интеграле.Пусть функции x = ϕ (t) , ϕ (t) непрерывны при t ∈ [α, β], значения x = ϕ (t), t ∈ [α, β] не выходят за границы интервала [a, b],bβϕ (α) = a, ϕ (β) = b. Тогда f (x) dx = f (ϕ (t)) ϕ (t)dt.a36αД о к а з а т е л ь с т в о. Получимββf (ϕ (t)) ϕ (t) dt =αf (ϕ (t)) dϕ (t) =αb= F (ϕ (β)) − F (ϕ (α)) = F (b) − F (a) =f (x) dx.a2П р и м е р. Вычислим интеграл01xe dx =2x24et dt =0 1 4=e − 1 , t = x2 , dt = 2xdx .2У п р а ж н е н и е.
Найдите ошибки в применении теоремы озамене переменной.ππ=πdx =001dx =2sin x + cos2 xπ=0π0d (tgx)=1 + tg2 x1dx=21 + tg x cos2 x00dt= arctg t|00 = 0,1 + t2(t = tgx) .Рассмотрим метод интегрирования по частям.Теорема. Пусть функции u (x) , u (x) , v (x) , v (x) непрерывнына интервале [a, b]. Тогдаbu (x) v (x) dx =abu (x) v (x) |ba−v (x) u (x) dx.aДоказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы для неопределенного интеграла, только интегрирование проводится в пределах от a до b.37Выполним интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат:a0f (x) dx =−a−af (x) dx =f (x) dx = [t = −x, dx = −dt] =af (−t) dt +af (x) dx =0ab=(f (−x) + f (x)) dx =aa0⎧⎪⎪⎨2⎪⎪⎩0,=f (x) dx =0bf (x) dx, f (x) − четная;af (x) − нечетная;%f (x) + f (x) = 2f (x) , f (x) − четная;−f (x) + f (x) = 0,f (x) − нечетная.Проведем интегрирование периодических функций на отрезкедлины, кратной периоду.Сформулируем и докажем два свойства периодических функций.1.
Если f (x) — периодическая функция с периодом T , то f (αx)T— периодическая функция с периодом .αДокажем, что это утверждение справедливо: T= f (αx + T ) = f (αx) .f α x+αxравен 8π и т. д.42. Если f (x) — периодическая функция с периодом T , тоa+TTf (x) dx = f (x) dx.Поэтому период sin 2x равен π, период cosa380f (x) dx = [y = x − T ] =f (x) dx +aaf (−x) dx +a+TTaTf (x) dx +Tf (y) dy = [x = y] =0af (x) dx.0Следовательно, интеграл от периодической функции на отрезкедлиной, равной периоду, можно вычислять на любом таком отрезке,результат будет тем же самым.2π2πЗаметим, что sin x dx = 0, cos x dx = 0. Поэтому, напри-так как(f (−x) + f (x)) =T00=−a+Taf (x) dx +Докажем, что это утверждение справедливо:2πмер,0πsin x dx = 0,−4π0πsin 4x dx = 0,0cos 8x dx = 0.−πИнтегралы от синусов и косинусов на отрезке длиной, кратнойпериоду, вычислять не стоит, они равны нулю.8.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫВ разд. 5 мы строили определенный интеграл на отрезке [a, b],где a, b — конечные числа, т. е. на конечном промежутке числовойоси.Кроме того, предполагалось, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода.Если снимается хотя бы одно из этих условий, то понятие интеграла надо обобщать, вводя в прежнюю конструкцию интегралапредельный переход и получая так называемые несобственные интегралы. Если снимается первое условие, то мы имеем несобственный интеграл первого рода, если снимается второе условие, то мыимеем несобственный интеграл второго рода.39Выполним интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат:a0f (x) dx =−a−af (x) dx =f (x) dx = [t = −x, dx = −dt] =af (−t) dt +af (x) dx =0ab=(f (−x) + f (x)) dx =aa0⎧⎪⎪⎨2⎪⎪⎩0,=f (x) dx =0bf (x) dx, f (x) − четная;af (x) − нечетная;%f (x) + f (x) = 2f (x) , f (x) − четная;−f (x) + f (x) = 0,f (x) − нечетная.Проведем интегрирование периодических функций на отрезкедлины, кратной периоду.Сформулируем и докажем два свойства периодических функций.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
