Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вычислим интеграл2ax + bx + cax2 + bx + c2aMbdxM 2×dx + N −=ln ax + bx + c +2ax + bx + c2a 2aMbdx.+ N−2ax2 + bx + cdxИнтегралвычислен в п. 1.2ax + bx + c Mx + N√4. Вычислим интегралdx =2 ax + bx+cM2ax + bMbdx√√dx + N −==222a2ax + bx + cax + bx + cMbdxM 2√.ax + bx + c + N −=22aax+bx+cdx√Интегралвычислен в п. 2. Заметим, что интегра2ax + bx + cлы (5) — (10) таблицы интегралов также содержат приведенныйквадратный трехчлен.П р и м е р ы. Вычислить интегралы:dxdx1 x + 1 =+ C;= ln x + 3x2 + 4x + 32(x + 2)2 − 1dxdx== arctg (x + 2) + C;2x + 4x + 5(x + 2)2 + 1dxdx1=2 = − x + 2 + C;x2 + 4x + 4(x + 2)dxdx√==x2 + 4x + 3(x + 2)2 − 1= ln x + 2 + x2 + 4x + 3 + C;12√dx=5 − 4x − x2dx9 − (x + 2)2= arcsinx+2+ C;33x2 + 4x + 103x2 + 12x + 15dx=dx−x2 + 4x + 5x2 + 4x + 58x + 52x + 4−dx = 3x − 4dx+22x + 4x + 5x + 4x + 5 2dxx + 4x + 5 ++ 11=3x−4ln(x + 2)2 + 1+ 11 arctg (x + 2) + C;4x − 1−2x − 4√dx = −2 √dx−25 − 4x − x5 − 4x − x2dxx+2+ C.= −4 5 − 4x − x2 − 9 arcsin−9 329 − (x + 2)3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХФУНКЦИЙРациональная функция — это отношение двух целых функций — многочленов (полиномов).Если порядок полинома-числителя ниже порядка полиномазнаменателя, то такая рациональная функция называется рациональной дробью.Лемма 1. Если рациональная функция не является рациональной дробью, то ее можно привести к сумме целой части (полинома)и рациональной дроби.Доказательство основано на правиле деления многочленов состатком, например на алгоритме деления многочленов «уголком».Интегрирование рациональной функции сводится по свойствамлинейности интеграла к интегрированию многочлена и интегрированию рациональной дроби.Интеграл от степенной функции легко вычислить по таблицеинтегралов.13Если a < 0, D > 0, то=√dy1 = √−aa y 2 − β2dyβ2 − y 21yarcsin + C.β−a=Mx + NM2ax + bdx×=3.
Вычислим интеграл2ax + bx + cax2 + bx + c2aMbdxM 2×dx + N −=ln ax + bx + c +2ax + bx + c2a 2aMbdx.+ N−2ax2 + bx + cdxИнтегралвычислен в п. 1.2ax + bx + c Mx + N√4. Вычислим интегралdx =2 ax + bx+cM2ax + bMbdx√√dx + N −==222a2ax + bx + cax + bx + cMbdxM 2√.ax + bx + c + N −=22aax+bx+cdx√Интегралвычислен в п. 2. Заметим, что интегра2ax + bx + cлы (5) — (10) таблицы интегралов также содержат приведенныйквадратный трехчлен.П р и м е р ы. Вычислить интегралы:dxdx1 x + 1 =+ C;= ln x + 3x2 + 4x + 32(x + 2)2 − 1dxdx== arctg (x + 2) + C;2x + 4x + 5(x + 2)2 + 1dxdx1=2 = − x + 2 + C;x2 + 4x + 4(x + 2)dxdx√==x2 + 4x + 3(x + 2)2 − 1= ln x + 2 + x2 + 4x + 3 + C;12√dx=5 − 4x − x2dx9 − (x + 2)2= arcsinx+2+ C;33x2 + 4x + 103x2 + 12x + 15dx=dx−x2 + 4x + 5x2 + 4x + 58x + 52x + 4−dx = 3x − 4dx+22x + 4x + 5x + 4x + 5 2dxx + 4x + 5 ++ 11=3x−4ln(x + 2)2 + 1+ 11 arctg (x + 2) + C;4x − 1−2x − 4√dx = −2 √dx−25 − 4x − x5 − 4x − x2dxx+2+ C.= −4 5 − 4x − x2 − 9 arcsin−9 329 − (x + 2)3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХФУНКЦИЙРациональная функция — это отношение двух целых функций — многочленов (полиномов).Если порядок полинома-числителя ниже порядка полиномазнаменателя, то такая рациональная функция называется рациональной дробью.Лемма 1. Если рациональная функция не является рациональной дробью, то ее можно привести к сумме целой части (полинома)и рациональной дроби.Доказательство основано на правиле деления многочленов состатком, например на алгоритме деления многочленов «уголком».Интегрирование рациональной функции сводится по свойствамлинейности интеграла к интегрированию многочлена и интегрированию рациональной дроби.Интеграл от степенной функции легко вычислить по таблицеинтегралов.13P (x)3.1.
Разложение рациональной дробиQ (x)на элементарныеПолином Q (x) — знаменатель рациональной дроби, он можетиметь действительный корень α некоторой k-й кратности. ТогдаQ (x) = (x − α)k Q1 (x), где многочлен Q1 (x) уже не имеет корняα. В этом случае из рациональной дроби можно выделить элеменAkтарную рациональную дробь вида.(x − α)kЛемма 2. Пусть α — действительный корень k-й кратности полинома Q (x) — знаменателя рациональной дроби. ТогдаP (x)AkP1 (x)=,+kQ (x)(x − α)k−1 Q1 (x)(x − α)где многочлен Q1 (x) уже не имеет корня α.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Приведем дроби к общему знаменателю Q (x) и приравняем числители полученных дробей: P (x) == Q1 (x) Ak + P1 (x) (x − α). Тогда выражение P (x) − Q1 (x) Akдолжно делиться на (x − α), т. е. P (α)−Q1 (α) Ak = 0. Этого можP (α).но добиться, выбрав Ak =Q1 (α)Следствие 1. В условиях леммы 2 рациональную дробь можнопредставить в виде разложенияAk−1P (x)AkA1P (x)=+ ++ ... +,kk−1Q (x)(x − α)(x − α)(x − α)Q (x)где Q (x) не имеет корня α.Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим лемму 2 k раз и получимуказанное разложение.Полином Q (x) может иметь пару комплексно-сопряженныхкорней β ± iγ k-й кратности.
Тогда14kQ (x) = x2 + px + q Q1 (x) = (x − (β + iγ)) (x − (β − iγ))k ×k× Q1 (x) = x2 − 2βx + β2 + γ2 Q1 (x) =k= (x − β)2 + γ2 Q1 (x) .Причем β ± iγ уже не являются корнями полинома Q1 (x). В этомслучае из рациональной дроби тоже можно выделить некоторуюMx + Nэлементарную рациональную дробь вида k .(x − β)2 + γ2Лемма 3.
Пусть Q (x) — знаменатель рациональной дробиP (x)— имеет пару комплексно-сопряженных корней β ± iγ k-йQ (x)кратности. Тогда рациональную дробь можно представить в видеP (x)= Q (x)Mx + N(x − β)2 + γ2k + P1 (x),k−1(x − β)2 + γ2Q1 (x)где корни β ± iγ уже не являются корнями полинома Q1 (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем дроби к общему знаменателюи приравняем числители полученных дробей:22(Mx+N)Q(x)+P(x)(x−β)+γ11P (x)=.Q (x)Q (x)Выражение P (x) − (M x + N ) Q1 (x) должно делиться как на(x − (β + iγ)), так и на (x − (β − iγ)) .
ПоэтомуP (α) − (M α + N ) Q1 (α) = 0;P ( ᾱ) − (M ᾱ + N ) Q1 ( ᾱ) = 0,где α = β + iγ, ᾱ = β − iγ. Отсюда имеем систему уравнений дляопределения констант M, N⎧P (α)⎪⎪;⎨ Mα+N =Q1 (α)P ( ᾱ)⎪⎪⎩ M ᾱ + N =.Q1 ( ᾱ)15P (x)3.1. Разложение рациональной дробиQ (x)на элементарныеПолином Q (x) — знаменатель рациональной дроби, он можетиметь действительный корень α некоторой k-й кратности. ТогдаQ (x) = (x − α)k Q1 (x), где многочлен Q1 (x) уже не имеет корняα.
В этом случае из рациональной дроби можно выделить элеменAkтарную рациональную дробь вида.(x − α)kЛемма 2. Пусть α — действительный корень k-й кратности полинома Q (x) — знаменателя рациональной дроби. ТогдаP (x)AkP1 (x)=,+kQ (x)(x − α)k−1 Q1 (x)(x − α)где многочлен Q1 (x) уже не имеет корня α.Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем дроби к общему знаменателю Q (x) и приравняем числители полученных дробей: P (x) == Q1 (x) Ak + P1 (x) (x − α). Тогда выражение P (x) − Q1 (x) Akдолжно делиться на (x − α), т. е. P (α)−Q1 (α) Ak = 0. Этого можP (α).но добиться, выбрав Ak =Q1 (α)Следствие 1. В условиях леммы 2 рациональную дробь можнопредставить в виде разложенияAk−1P (x)AkA1P (x)=+ ++ ...
+,kk−1Q (x)(x − α)(x − α)(x − α)Q (x)где Q (x) не имеет корня α.Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим лемму 2 k раз и получимуказанное разложение.Полином Q (x) может иметь пару комплексно-сопряженныхкорней β ± iγ k-й кратности. Тогда14kQ (x) = x2 + px + q Q1 (x) = (x − (β + iγ)) (x − (β − iγ))k ×k× Q1 (x) = x2 − 2βx + β2 + γ2 Q1 (x) =k= (x − β)2 + γ2 Q1 (x) .Причем β ± iγ уже не являются корнями полинома Q1 (x). В этомслучае из рациональной дроби тоже можно выделить некоторуюMx + Nэлементарную рациональную дробь вида k .(x − β)2 + γ2Лемма 3. Пусть Q (x) — знаменатель рациональной дробиP (x)— имеет пару комплексно-сопряженных корней β ± iγ k-йQ (x)кратности. Тогда рациональную дробь можно представить в видеP (x)= Q (x)Mx + N(x − β)2 + γ2k + P1 (x),k−1(x − β)2 + γ2Q1 (x)где корни β ± iγ уже не являются корнями полинома Q1 (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Приведем дроби к общему знаменателюи приравняем числители полученных дробей:22(Mx+N)Q(x)+P(x)(x−β)+γ11P (x)=.Q (x)Q (x)Выражение P (x) − (M x + N ) Q1 (x) должно делиться как на(x − (β + iγ)), так и на (x − (β − iγ)) . ПоэтомуP (α) − (M α + N ) Q1 (α) = 0;P ( ᾱ) − (M ᾱ + N ) Q1 ( ᾱ) = 0,где α = β + iγ, ᾱ = β − iγ. Отсюда имеем систему уравнений дляопределения констант M, N⎧P (α)⎪⎪;⎨ Mα+N =Q1 (α)P ( ᾱ)⎪⎪⎩ M ᾱ + N =.Q1 ( ᾱ)15Определитель этой системы равен α − ᾱ = 0, так как корни комплексные и β = 0. Поэтому система имеет единственное решение.Следствие 2. В условиях леммы 2 рациональную дробь можнопредставить в виде разложенияСледствие 3. Задача интегрирования рациональной функциисводится к задачам интегрирования элементарных рациональныхдробей четырех типов:1)P (x)Mk x + N kMk−1 x + Nk−1=++ ...+k2Q (x)(x + px + q)(x2 + px + q)k−1P (x)M1 x + N 1+ + 2,(x + px + q)Q (x)где корни β ± iγ полинома Q(x) уже не являются корнями полино-BALx + DMx + N; 2); 3) 2; 4) 2.kx− βx+px+q(x+ px + q)k11(x − α)3.2.
Способы вычисления коэффициентов приразложении рациональной дроби на элементарныеВ качестве примера рассмотрим разложение рациональной дроби на элементарные:ма Q (x).Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяем лемму 3 нужное число рази получаем искомое разложение.Теорема. Рациональная функция может быть представлена ввидеP (x)AkBAk−1= M (x) ++ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
