Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Необходимо найти площадькриволинейной трапеции.z = m sin t, z = m th t, R z, m2 + z 2 dz с подстановками z = m tg t иб)z = m sh t, mв) R z, z 2 − m2 dz с подстановками z =и z = m ch t. cos t4 − z 2 dz,У п р а ж н е н и е. Вычислить интегралы 1 + z 2 dz.Существуют «неберущиеся» интегралы.Это интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Для таких интегралов приходится вводить специальные символы. Так получается потому, что класс интеграловот элементарных функций шире, чем класс элементарных функций(интегрирование — это переход от частного к общему, т. е. обобщение, а дифференцирование — это переход от общего к частному, т.
е.уточнение). xdxeП р и м е р ы. Интегралы вида Lix =dx,, Eix =ln xxsin xcos xdx, Cix =dx и многие другие интегралы отSix =xxносятся к «неберущимся». Для них составляются специальные таблицы, которые можно найти в различных учебниках и справочниках.26Рис. 1Выполним разбиение отрезка [a, b] точками a = x0 , x1 , x2 , . . .
,. . . , xi−1 , xi , . . . , xn = b. Обозначим Δxi = xi −xi−1 . На каждом отрезке [xi−1 , xi ] отметим точку ςi . Вычислим f (ςi ). Обозначим ΔSiплощадь части криволинейной трапеции над отрезком [xi−1 , xi ],S — площадь всей криволинейной трапеции. Тогдаf (xi−1 ) Δxi < ΔSi ≈ f (ςi ) Δxi < f (xi ) ΔSi ;nnnf (xi−1 )Δxi < S ≈f (ςi ) Δxi <f (xi ) Δxi .i=1i=1i=1Пусть функция f (x) непрерывна на каждом отрезке [xi−1 , xi ] .По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство27√m+1= q — целое число (подстановка t = p2 a + bxn );nap2+ b).в) p + q — целое число (подстановка t =n xП р и м е р. Покажем, что в интегралеx (a + bx)dx числоa+bp + q — целое и равно 2. Покажем, что подстановка t =xявляется рационализирующей.
Интегралы вида R x, ax2 + bx + c dx сводятся к одномуиз трехинтегралов: типов а) R z, m2 − z 2 dz с рационализирующей подстановкой5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛб)5.1. Задача о площади криволинейной трапецииРассмотрим криволинейную трапецию (рис. 1), образованнуюотрезком [a, b] оси OX (основание трапеции), прямыми x = a,x = b (на них лежат боковые стороны трапеции) и графиком функции y = f (x).
Так как график функции — кривая линия, то такаятрапеция называется криволинейной. Необходимо найти площадькриволинейной трапеции.z = m sin t, z = m th t, R z, m2 + z 2 dz с подстановками z = m tg t иб)z = m sh t, mв) R z, z 2 − m2 dz с подстановками z =и z = m ch t. cos t4 − z 2 dz,У п р а ж н е н и е. Вычислить интегралы 1 + z 2 dz.Существуют «неберущиеся» интегралы.Это интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях.
Для таких интегралов приходится вводить специальные символы. Так получается потому, что класс интеграловот элементарных функций шире, чем класс элементарных функций(интегрирование — это переход от частного к общему, т. е. обобщение, а дифференцирование — это переход от общего к частному, т.
е.уточнение). xdxeП р и м е р ы. Интегралы вида Lix =dx,, Eix =ln xxsin xcos xdx, Cix =dx и многие другие интегралы отSix =xxносятся к «неберущимся». Для них составляются специальные таблицы, которые можно найти в различных учебниках и справочниках.26Рис. 1Выполним разбиение отрезка [a, b] точками a = x0 , x1 , x2 , . . . ,. .
. , xi−1 , xi , . . . , xn = b. Обозначим Δxi = xi −xi−1 . На каждом отрезке [xi−1 , xi ] отметим точку ςi . Вычислим f (ςi ). Обозначим ΔSiплощадь части криволинейной трапеции над отрезком [xi−1 , xi ],S — площадь всей криволинейной трапеции. Тогдаf (xi−1 ) Δxi < ΔSi ≈ f (ςi ) Δxi < f (xi ) ΔSi ;nnnf (xi−1 )Δxi < S ≈f (ςi ) Δxi <f (xi ) Δxi .i=1i=1i=1Пусть функция f (x) непрерывна на каждом отрезке [xi−1 , xi ] .По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство27mi f (ςi ) Mi , где mi , Mi — нижняя и верхняя грани функциина отрезке [xi−1 , xi ]. Тогдаmi Δxi < ΔSi ≈ f (ςi ) Δxi < Mi ΔSi ;nnnmi Δxi < S ≈f (ςi ) Δxi <Mi Δxi .i=1Сумма=ni=1ni=1i=1i=1f (ςi )Δxi называется интегральной суммой, суммы S̄ =mi Δxi , S̄ =ni=1Mi Δxi называются соответственно нижней иверхней суммами Дарбу.Будем измельчать разбиение так, чтобы max |Δxi | → 0.
Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (поРиману) от функции f (x) по отрезку [a, b]:limmax|Δxi |→oni=1bf (ςi ) Δxi =f (x) dx.aЕсли существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу принеограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним I∗ и верхним I ∗ интегралами Дарбу.5.2. Критерий существования определенного интегралаbДля того чтобы существовал определенный интеграл по Римануf (x)dx, необходимо и достаточно, чтобы существовали и былиaравны нижний и верхний интегралы Дарбу.Следствие. Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит: • от выбора разбиения, лишь бы [a, b] =[xi−1 , xi ],S ([xj−1 , xj ][xi−1 , xi ]) = 0;28• от выбора отмеченных точек ςi на элементах разбиения;• от способа измельчения разбиения, лишь бы max |Δxi | → 0.Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Римануограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобысуществовало некотороеконкретноеразбиение отрезка, на которомвыполнено неравенство S̄ − s̄ < ε для любого ε > 0.Теорема.
Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.Теорема. Если функция кусочно-непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то онаинтегрируема на этом отрезке.Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площадикриволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоитгеометрический смысл определенного интеграла.К понятию интеграла можно прийти и от других задач. Например, от задачи о работе переменной по величине силы, не меняющей направления на прямолинейном пути, от задачи о массе отрезка, плотность которого меняется от точки к точке, от задачио пути тела, движущегося прямолинейно с переменной скоростью.Фактически все эти задачи формально сводятся к задаче о площадикриволинейной трапеции. В задаче о работе силы по оси ординатоткладываются значения скалярного произведения вектора силы вданной точке x отрезка на орт оси OX.
В задаче о массе отрезкапо оси ординат откладываются значения переменной плотности. Взадаче о пути, пройденном телом, по оси ординат откладывается величина скорости тела в данной точке.К схеме построения определенного интеграла сводится любая задача вычисления некоторой величины, аддитивно зависящейот множества,т. е. величины I, удовлетворяющей соотношению I (A B) = I (A) + I (B), где А, В — отрезки оси OX. В качестве таких величин можно выбрать длину отрезка, длину кривой,площадь поверхности, объем пространственного тела, массу указанных множеств и т. д.29mi f (ςi ) Mi , где mi , Mi — нижняя и верхняя грани функциина отрезке [xi−1 , xi ].
Тогдаmi Δxi < ΔSi ≈ f (ςi ) Δxi < Mi ΔSi ;nnnmi Δxi < S ≈f (ςi ) Δxi <Mi Δxi .i=1Сумма=ni=1ni=1i=1i=1f (ςi )Δxi называется интегральной суммой, суммы S̄ =mi Δxi , S̄ =ni=1Mi Δxi называются соответственно нижней иверхней суммами Дарбу.Будем измельчать разбиение так, чтобы max |Δxi | → 0. Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (поРиману) от функции f (x) по отрезку [a, b]:limmax|Δxi |→oni=1bf (ςi ) Δxi =f (x) dx.aЕсли существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу принеограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним I∗ и верхним I ∗ интегралами Дарбу.5.2. Критерий существования определенного интегралаbДля того чтобы существовал определенный интеграл по Римануf (x)dx, необходимо и достаточно, чтобы существовали и былиaравны нижний и верхний интегралы Дарбу.Следствие.
Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит: • от выбора разбиения, лишь бы [a, b] =[xi−1 , xi ],S ([xj−1 , xj ][xi−1 , xi ]) = 0;28• от выбора отмеченных точек ςi на элементах разбиения;• от способа измельчения разбиения, лишь бы max |Δxi | → 0.Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Римануограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобысуществовало некотороеконкретноеразбиение отрезка, на которомвыполнено неравенство S̄ − s̄ < ε для любого ε > 0.Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
