Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.Теорема. Если функция кусочно-непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то онаинтегрируема на этом отрезке.Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площадикриволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоитгеометрический смысл определенного интеграла.К понятию интеграла можно прийти и от других задач.
Например, от задачи о работе переменной по величине силы, не меняющей направления на прямолинейном пути, от задачи о массе отрезка, плотность которого меняется от точки к точке, от задачио пути тела, движущегося прямолинейно с переменной скоростью.Фактически все эти задачи формально сводятся к задаче о площадикриволинейной трапеции. В задаче о работе силы по оси ординатоткладываются значения скалярного произведения вектора силы вданной точке x отрезка на орт оси OX.
В задаче о массе отрезкапо оси ординат откладываются значения переменной плотности. Взадаче о пути, пройденном телом, по оси ординат откладывается величина скорости тела в данной точке.К схеме построения определенного интеграла сводится любая задача вычисления некоторой величины, аддитивно зависящейот множества,т.
е. величины I, удовлетворяющей соотношению I (A B) = I (A) + I (B), где А, В — отрезки оси OX. В качестве таких величин можно выбрать длину отрезка, длину кривой,площадь поверхности, объем пространственного тела, массу указанных множеств и т. д.29b5.3. Свойства определенного интегралаПеречислим и докажем основные свойства определенного интеграла.1. Свойства линейности: (f (x) + g (x)) dx =f (x) dx +а) суперпозиция —+ g (x) dx;б) однородность —λ f (x) dx = λ f (x) dx.Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейныеоперации (дифференцирование, интегрирование, проектированиеи т. д.).2.
Свойство аддитивности (по множеству):bcf (x) dx =abf (x) dx +ai=1f (x) dx.cслагаемого правой части равенbмого правой части —bСоставляя интегральную сумму для интеграла в правой частиравенства, заметим, что продолжать разбиение надо в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому интегральная сумма буnnдет иметь видf (ςi ) (−Δxi ) = −f (ςi )Δxi . Переходя к предеi=1ai=1лу при измельчении разбиения, получаемbf (x) dx = −aaaf (x) dx.bf (x) dx = 0, что постулируется, но, вообще го-4. Свойствоворя, это и очевидно.b5. Свойство c dx = b − a. Докажем это свойство:abcdx = ca=climmax|Δxi |→0limmax|Δxi |→0a(Δx1 + Δx2 + . .
. + Δxn ) =(x1 − x0 + x2 − x1 + x3 − x2 + . . . + xn ) == c (xn − x0 ) = c (b − a) .b6. Если на отрезке f (x) 0, тона отрезке, то ∀i f (ςi ) 0 ⇒f (x) dx, предел второго слагае-f (x) dx.c30f (x) dx.i=k+1разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие).
Тогда предел при max |Δxi | → 0 левой частиbравенства интегральных сумм равенf (x) dx, предел первогоc=aa=−f (x) dxaДокажем это свойство. Пусть c ∈ [a, b]. Выберем разбиениетак, чтобы точка с была границей элемента разбиения (c = xk+1 ).Это возможно (следствие). Составим интегральную суммуnknf (ςi ) Δxi =f (ςi ) Δxi +f (ςi ) Δxi . Будем измельчатьi=13.Свойство «ориентируемости» множества:bni=1f (x)dx 0. Так как f (x) 0af (ςi ) Δxi 0. Переходя к преде-f (x)dx 0.лу, получаемab7. Если на отрезке f (x) g (x), тоbf (x) dx ag (x) dx.
Такa31b5.3. Свойства определенного интегралаПеречислим и докажем основные свойства определенного интеграла.1. Свойства линейности: (f (x) + g (x)) dx =f (x) dx +а) суперпозиция —+ g (x) dx;б) однородность —λ f (x) dx = λ f (x) dx.Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейныеоперации (дифференцирование, интегрирование, проектированиеи т. д.).2. Свойство аддитивности (по множеству):bcf (x) dx =abf (x) dx +ai=1f (x) dx.cслагаемого правой части равенbмого правой части —bСоставляя интегральную сумму для интеграла в правой частиравенства, заметим, что продолжать разбиение надо в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому интегральная сумма буnnдет иметь видf (ςi ) (−Δxi ) = −f (ςi )Δxi .
Переходя к предеi=1ai=1лу при измельчении разбиения, получаемbf (x) dx = −aaaf (x) dx.bf (x) dx = 0, что постулируется, но, вообще го-4. Свойствоворя, это и очевидно.b5. Свойство c dx = b − a. Докажем это свойство:abcdx = ca=climmax|Δxi |→0limmax|Δxi |→0a(Δx1 + Δx2 + . . . + Δxn ) =(x1 − x0 + x2 − x1 + x3 − x2 + . . . + xn ) == c (xn − x0 ) = c (b − a) .b6. Если на отрезке f (x) 0, тона отрезке, то ∀i f (ςi ) 0 ⇒f (x) dx, предел второго слагае-f (x) dx.c30f (x) dx.i=k+1разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения.
Это возможно (следствие). Тогда предел при max |Δxi | → 0 левой частиbравенства интегральных сумм равенf (x) dx, предел первогоc=aa=−f (x) dxaДокажем это свойство. Пусть c ∈ [a, b]. Выберем разбиениетак, чтобы точка с была границей элемента разбиения (c = xk+1 ).Это возможно (следствие). Составим интегральную суммуnknf (ςi ) Δxi =f (ςi ) Δxi +f (ςi ) Δxi . Будем измельчатьi=13.Свойство «ориентируемости» множества:bni=1f (x)dx 0. Так как f (x) 0af (ςi ) Δxi 0. Переходя к преде-f (x)dx 0.лу, получаемab7.
Если на отрезке f (x) g (x), тоbf (x) dx ag (x) dx. Такa31как f (x) g (x) на отрезке, то ∀i f (ςi ) g (ςi ) ⇒ni=1ni=1bg (ςi ) Δxi . Переходя к пределу, получаемf (x)dxabf (ςi ) Δxi 2П р и м е р. Интеграл имеет вид2e−x dx. Такой интеграл «не−2g (x) dx.a8. Модуль интегралаот функции не превосходит интеграла от bbмодуля функции: f (x) dx |f (x)| dx.
Докажем это свойство: aab− |f (x)| f (x) |f (x)| ⇒ −b|f (x)| dx abaf (x) dx a b b|f (x)| dx ⇒ f (x) dx |f (x)| dx.aab9. Свойство «немой» переменной:bf (x) dx (пе-f (z) dz =aaременная интегрирования — «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла).Определенный интеграл является функцией своих пределов,при фиксированных пределах интегрирования интеграл — число.Он определен своими пределами и называется определенным.Теорема об оценке определенного интеграла. Пусть на отрезке [a, b] выполнено неравенство m f (x) M и функция f (x)интегрируема. Тогдаbm (b − a) f (x) dx M (b − a).aД о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя по свойству 7 неравенствоm f (x) M , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.32Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудноили вообще невозможно, но приблизительно оценить его необходимо.
Это часто встречается в инженерной практике.12берется». Но 4 e−x 1 на отрезке [−2, 2]. Поэтому, учитыe4вая четность подынтегральной функции, получаем 4 ≈ 0, 16 e22e−x dx 4. Конечно, это — очень грубая оценка, более точ−2ную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования.Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезкеbf (x) dx[a, b].
Тогда существует точка c ∈ [a, b] такая, что f (c) =bab−af (x) dx = f (c) (b − a)).(илиaГеометрический смысл этого соотношения состоит в том, чтоплощадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольникас тем же основанием и высотой f (c).Д о к а з а т е л ь с т в о. По второй теореме Вейерштрассафункция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своих верхнейM = sup[a,b] f (x) и нижней m = inf [a,b] f (x) граней.
По теоремеbоб оценке m (b − a) f (x) dx M (b − a), откуда, деля отреa33как f (x) g (x) на отрезке, то ∀i f (ςi ) g (ςi ) ⇒ni=1ni=1bg (ςi ) Δxi . Переходя к пределу, получаемf (x)dxabf (ςi ) Δxi 2П р и м е р. Интеграл имеет вид2e−x dx. Такой интеграл «не−2g (x) dx.a8. Модуль интегралаот функции не превосходит интеграла от bbмодуля функции: f (x) dx |f (x)| dx. Докажем это свойство: aab− |f (x)| f (x) |f (x)| ⇒ −b|f (x)| dx abaf (x) dx a b b|f (x)| dx ⇒ f (x) dx |f (x)| dx.aab9. Свойство «немой» переменной:bf (x) dx (пе-f (z) dz =aaременная интегрирования — «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла).Определенный интеграл является функцией своих пределов,при фиксированных пределах интегрирования интеграл — число.Он определен своими пределами и называется определенным.Теорема об оценке определенного интеграла.
Пусть на отрезке [a, b] выполнено неравенство m f (x) M и функция f (x)интегрируема. Тогдаbm (b − a) f (x) dx M (b − a).aД о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя по свойству 7 неравенствоm f (x) M , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.32Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудноили вообще невозможно, но приблизительно оценить его необходимо. Это часто встречается в инженерной практике.12берется».
Но 4 e−x 1 на отрезке [−2, 2]. Поэтому, учитыe4вая четность подынтегральной функции, получаем 4 ≈ 0, 16 e22e−x dx 4. Конечно, это — очень грубая оценка, более точ−2ную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования.Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезкеbf (x) dx[a, b]. Тогда существует точка c ∈ [a, b] такая, что f (c) =bab−af (x) dx = f (c) (b − a)).(илиaГеометрический смысл этого соотношения состоит в том, чтоплощадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольникас тем же основанием и высотой f (c).Д о к а з а т е л ь с т в о.
По второй теореме Вейерштрассафункция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своих верхнейM = sup[a,b] f (x) и нижней m = inf [a,b] f (x) граней. По теоремеbоб оценке m (b − a) f (x) dx M (b − a), откуда, деля отреa33зок на части b − a, получаемД о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, чтоbJ (x + Δx) − J (x)1= limJ (x) = limΔx→0Δx→0 ΔxΔxf (x) dxmab−a M.По второй теореме Больцано—Коши функция, непрерывная наотрезке, принимает на нем все промежуточные значения между mи M .
В частности, существует и такая точка c ∈ [a, b], в которойфункция принимает свое промежуточное значениеbbf (x) dxab−af (x) dx, т. е. f (c) =ab−a.x= limΔx→0af (x) dxΔxf (c) (x + Δx − x)=Δx→0Δx= lim= lim f (c) = f (x) .Δx→0При доказательстве мы воспользовались теоремой⎞о среднем⎛ x+Δx⎝f (x) dx = f (c) ((x + Δx) − x), c ∈ (x, x + Δx)⎠и непреxрывностью функции (lim Δx→0 f (c) = f (x)).6.2. Формула Ньютона — Лейбница6.1.
Интеграл с переменным верхним пределомПусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], F (x) — некоторая первообразная функции f (x). Тогда справедлива формулаbНьютона — Лейбница f (x) dx = F (b) − F (a).разд. 5.3) определенного интеграла — «немая» переменная, ее можно заменить z или t или чем-либо еще. Никакого отношения к верхнему пределу интегрирования она не имеет.Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу (основная теорема математического анализа). Пустьфункция f (x)непрерывна на отрезке [a, b], пусть x ∈ [a, b].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
