Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Этаконстанта может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.Для того чтобы вычислить интеграл от функции, проще всегонайти первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций:x μ+1+ C, μ = −1;x μ dx =μ+1 dx11(1)= ln |x| + C,− 2 dx = + C;xxx√dx√ = x+C2 x— эти формулы лучше запомнить, они очень часто встречаются;axax dx =+ C; ex dx = ex + C;(2)ln a5cos xdx = sin x + C,sin xdx = − cos x + C,dxdx= tg x + C,= − ctg x + C.22cos x sin xch xdx = sh x + C,sh xdx = ch x + C,dxdx= th x + C,= − cth x + C.2ch xsh2 x(3)П р и м е р ы.
Вычислим интеграл:1cos (ln x) dx = cos (ln x) d (ln x) = sin (ln x) + C;x −1 11e xdx = − d e x = −e x + C.2x(4)Справедливость формул (1) — (4) легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подынтегральнуюфункцию.Интегралы (1) — (4) представляют собой часть таблицы интегралов.2.2. Метод замены переменнойЭто универсальный метод. Метод подведение под дифференциал является частным случаем замены переменной.Теорема. Пусть функция x = u (t) непрерывно дифференцируема в некоторой области и имеет непрерывно дифференцируемуюобратную функцию t = u−1 (x). Тогда справедливо равенствоf (x) dx =2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ2.1.
Метод подведения под дифференциалПусть известен интегралf (x) dx = F (x) + C(F (x), гдеf (ϕ (x)) ×F (x) — первообразная для функции f (x)). Тогда×ϕ (x) dx = f (ϕ (x)) dϕ (x) = F (ϕ (x)) + C.Главное здесь «догадаться», как функцию f (x) dx представитьв виде f (ϕ (x)) dϕ (x).dF (ϕ (x))dF dϕ=По теореме о сложной функции=dx dϕ dx= f (ϕ (x)) ϕ (x). Следовательно, функции F (ϕ (x)) иf (ϕ (x))××ϕ (x) dx являются первообразными для функции f (ϕ (x)) ϕ (x)и (по теоремам о первообразных) различаются на константу.Метод подведения под дифференциал применяется часто.6f (u (t)) u (t) dt, где t = u−1 (x).Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя обе части равенства,используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получаем тождестводифференциалов f (x) dx = f (x) d (u (t)) = f (u (t)) u (t) dt, гдеt = u−1 (x). Из него следует равенство интегралов в левой и правой частях равенства.Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметь возвратиться обратно, от переменной t к переменной x.2.3.
Метод интегрирования по частямДля вычисления интеграла вида u (x) dv (x), если вместо него удобно вычислять интеграл v (x) du (x), пользуются методоминтегрирования по частям:u (x) dv (x) = u (x) v (x) − v (x) du (x).Предполагается, что интегралы в обеих частях соотношения существуют.7cos xdx = sin x + C,sin xdx = − cos x + C,dxdx= tg x + C,= − ctg x + C.22cos x sin xch xdx = sh x + C,sh xdx = ch x + C,dxdx= th x + C,= − cth x + C.2ch xsh2 x(3)П р и м е р ы. Вычислим интеграл:1cos (ln x) dx = cos (ln x) d (ln x) = sin (ln x) + C;x −1 11e xdx = − d e x = −e x + C.2x(4)Справедливость формул (1) — (4) легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подынтегральнуюфункцию.Интегралы (1) — (4) представляют собой часть таблицы интегралов.2.2.
Метод замены переменнойЭто универсальный метод. Метод подведение под дифференциал является частным случаем замены переменной.Теорема. Пусть функция x = u (t) непрерывно дифференцируема в некоторой области и имеет непрерывно дифференцируемуюобратную функцию t = u−1 (x). Тогда справедливо равенствоf (x) dx =2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ2.1. Метод подведения под дифференциалПусть известен интегралf (x) dx = F (x) + C(F (x), гдеf (ϕ (x)) ×F (x) — первообразная для функции f (x)).
Тогда×ϕ (x) dx = f (ϕ (x)) dϕ (x) = F (ϕ (x)) + C.Главное здесь «догадаться», как функцию f (x) dx представитьв виде f (ϕ (x)) dϕ (x).dF (ϕ (x))dF dϕ=По теореме о сложной функции=dx dϕ dx= f (ϕ (x)) ϕ (x). Следовательно, функции F (ϕ (x)) иf (ϕ (x))××ϕ (x) dx являются первообразными для функции f (ϕ (x)) ϕ (x)и (по теоремам о первообразных) различаются на константу.Метод подведения под дифференциал применяется часто.6f (u (t)) u (t) dt, где t = u−1 (x).Д о к а з а т е л ь с т в о.
Дифференцируя обе части равенства,используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получаем тождестводифференциалов f (x) dx = f (x) d (u (t)) = f (u (t)) u (t) dt, гдеt = u−1 (x). Из него следует равенство интегралов в левой и правой частях равенства.Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметь возвратиться обратно, от переменной t к переменной x.2.3. Метод интегрирования по частямДля вычисления интеграла вида u (x) dv (x), если вместо него удобно вычислять интеграл v (x) du (x), пользуются методоминтегрирования по частям:u (x) dv (x) = u (x) v (x) − v (x) du (x).Предполагается, что интегралы в обеих частях соотношения существуют.7Докажем справедливость этой формулы. Дифференцируя произведение функций u(x)v(x), получаем d (u (x) v (x)) = v (x) ××du (x) + u (x) dv (x) , или u (x) dv (x) = d(u (x) v (x)) − v (x) ×левой и правой частей последнего равенства×du (x) .
Интегралысуществуют (d (u (x) v (x)) = u (x) v (x) + C).Интегрируя это равенство, получим нужное соотношение.П р и м е р ы. Вычислим интеграл:ln xdx = x ln x − xd ln x = x ln x − x + C; 2 2xxx2 ln x−=d ln x =x ln xdx = ln xd22211= x2 ln x − x2 + C;4 2x cos xdx =xd sin x = x sin x −sin xdx == x sin x + cos x + C.xВычислим интегралы e cos xdx, ex sin xdx:e sin xdx = −e cos x + ex cos xdx;xxe cos xdx = e sin x − ex sin xdx.xxТеперь, подставляя второй интеграл в первый, получаем1ex sin xdx = ex (sin x − cos x).2Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получаем1ex cos xdx = ex (sin x + cos x).2Пополним таблицу интегралов (1) — (4), применяя методы интегрирования:8dx1= 2x 2 + a2adx1 x 2 =a1+adxa x 2 =1+a1x= arctg + C;(5)aa1dx11=−dx =22x−a x+ax −a2ax − a11 + C; (6)(ln |x − a| − ln |x + a|) + C =ln=2a2a x + a xdxdxa√== arcsin + C;(7)222aa −xx1−a√dxx2 + a dtdt√===√√2tx +ax2 + a x + x2 + a= ln |t| + C = ln |x + x2 + a| + C;(8)√в (8) выполнена подстановка x2 + a = t − x — одна из подстановок Эйлера;2x dxx√= dt − dx, dx √+ 1 = dt,2 x2 + ax2 + a√x2 + a√dt;dx =x + x2 + a a22222(1 + cos 2t) dt =a − x dx = a cos t dt =2a2a2a2x a2sin 2t + C == t+arcsin + 2 sin t cos t + C =242 2 a222axx a x1 1−=arcsin ++ C = x a2 − x2 +2a2aa2xa2arcsin + C,(9)+a29Докажем справедливость этой формулы.
Дифференцируя произведение функций u(x)v(x), получаем d (u (x) v (x)) = v (x) ××du (x) + u (x) dv (x) , или u (x) dv (x) = d(u (x) v (x)) − v (x) ×левой и правой частей последнего равенства×du (x) . Интегралысуществуют (d (u (x) v (x)) = u (x) v (x) + C).Интегрируя это равенство, получим нужное соотношение.П р и м е р ы. Вычислим интеграл:ln xdx = x ln x − xd ln x = x ln x − x + C; 2 2xxx2 ln x−=d ln x =x ln xdx = ln xd22211= x2 ln x − x2 + C;4 2x cos xdx =xd sin x = x sin x −sin xdx == x sin x + cos x + C.xВычислим интегралы e cos xdx, ex sin xdx:e sin xdx = −e cos x + ex cos xdx;xxe cos xdx = e sin x − ex sin xdx.xxТеперь, подставляя второй интеграл в первый, получаем1ex sin xdx = ex (sin x − cos x).2Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получаем1ex cos xdx = ex (sin x + cos x).2Пополним таблицу интегралов (1) — (4), применяя методы интегрирования:8dx1= 2x 2 + a2adx1 x 2 =a1+adxa x 2 =1+a1x= arctg + C;(5)aa1dx11=−dx =22x−a x+ax −a2ax − a11 + C; (6)(ln |x − a| − ln |x + a|) + C =ln=2a2a x + a xdxdxa√== arcsin + C;(7)222aa −xx1−a√dxx2 + a dtdt√===√√2tx +ax2 + a x + x2 + a= ln |t| + C = ln |x + x2 + a| + C;(8)√в (8) выполнена подстановка x2 + a = t − x — одна из подстановок Эйлера;2x dxx√= dt − dx, dx √+ 1 = dt,2 x2 + ax2 + a√x2 + a√dt;dx =x + x2 + a a22222(1 + cos 2t) dt =a − x dx = a cos t dt =2a2a2a2x a2sin 2t + C == t+arcsin + 2 sin t cos t + C =242 2 a222axx a x1 1−=arcsin ++ C = x a2 − x2 +2a2aa2xa2arcsin + C,(9)+a29(x = a sin t, dx = a cos tdt); x222√x + A dx = x x + A −dx =x2 + A 2x +A−A2√=x x +A−dx = x x2 + A−2 x + AA√dx, (9a)x2 + A dx +−x2 + Axdx2u = x + A; dv = dx; du = √;v=x ;x2 + A 1 Ax2 + A dx = x x2 + A + ln |x + x2 + A| + C;22 22d a ±x11 2xdx2lna=±=±±x+ C; (10)22a2 ± x 2a2 ± x2sin xd cos xdx = −= − ln |cos x| + C;tg xdx =cos xcos xd sin xctg xdx == ln |sin x| + C;(11)sin x x2 1 + t2dxdt=ln|t|+C=ln=(12)tg + C,2(1 + t ) 2tsin x2xxxt = tg ; sin x = 2 sin cos = 222211 + t122t1=;21 + t21+txx111 − t2− sin2 =−=;221 + t21 + t2 1 + t122dt ;x = 2 arctgt, dx =1 + t2 xπ dx+(13)= ln tg + C.42cos xИнтеграл (13) предлагается вывести самостоятельно.Соотношения (1) — (13) представляют собой таблицу основныхинтегралов.cos x = cos2102.4.
Интегрирование выражений, содержащихквадратный трехчленКвадратный трехчлен ax2 + bx + c, выделяя полный квадрат,можно привести к виду22−4acbbax2 + bx + c = a x +−= a y 2 ± β2 ,24a2a|b2 − 4ac|bгде y = x + ; β =.2a|2a|Знак «+» выбирается, если D = b2 − 4ac < 0, знак «–» выбирается, если D > 0. Если D = 0, то β = 0.Вычислим интегралы четырех основных типов, содержащиеквадратичный трехчлен. dxdy11. Вычислим интеграл=.22 ± β2ax + bx +acyy − β1dy1 + C.Если D > 0, то=ln 2a y2 − βy + β2aβ1dy1yЕсли D < 0, то=arctg + C.2a y2 + ββaβ1dy1Если D = 0, то=−+ C.ay2 aydxdy√ =2. Вычислим интеграл.2ax + bx + ca y 2 ± β2Если a < 0,D 0, то под корнем стоит отрицательное число, интеграл в функциях действительнойпеременной вычислитьне удастся.dy122 Если a > 0, D < 0, то = √a ln |y + y + β | +22a y +β+ C.Если a > 0, D > 0, то+ C.Если a > 0, D = 0, то1 = √ ln |y +aa y 2 − β2dyy 2 − β2 | +dy1√ = √ ln |y| + C.aya11(x = a sin t, dx = a cos tdt); x222√x + A dx = x x + A −dx =x2 + A 2x +A−A2√=x x +A−dx = x x2 + A−2 x + AA√dx, (9a)x2 + A dx +−x2 + Axdx2u = x + A; dv = dx; du = √;v=x ;x2 + A 1 Ax2 + A dx = x x2 + A + ln |x + x2 + A| + C;22 22d a ±x11 2xdx2lna=±=±±x+ C; (10)22a2 ± x 2a2 ± x2sin xd cos xdx = −= − ln |cos x| + C;tg xdx =cos xcos xd sin xctg xdx == ln |sin x| + C;(11)sin x x2 1 + t2dxdt=ln|t|+C=ln=(12)tg + C,2(1 + t ) 2tsin x2xxxt = tg ; sin x = 2 sin cos = 222211 + t122t1=;21 + t21+txx111 − t2− sin2 =−=;221 + t21 + t2 1 + t122dt ;x = 2 arctgt, dx =1 + t2 xπ dx+(13)= ln tg + C.42cos xИнтеграл (13) предлагается вывести самостоятельно.Соотношения (1) — (13) представляют собой таблицу основныхинтегралов.cos x = cos2102.4.
Интегрирование выражений, содержащихквадратный трехчленКвадратный трехчлен ax2 + bx + c, выделяя полный квадрат,можно привести к виду22−4acbbax2 + bx + c = a x +−= a y 2 ± β2 ,24a2a|b2 − 4ac|bгде y = x + ; β =.2a|2a|Знак «+» выбирается, если D = b2 − 4ac < 0, знак «–» выбирается, если D > 0. Если D = 0, то β = 0.Вычислим интегралы четырех основных типов, содержащиеквадратичный трехчлен. dxdy11. Вычислим интеграл=.22 ± β2ax + bx +acyy − β1dy1 + C.Если D > 0, то=ln 2a y2 − βy + β2aβ1dy1yЕсли D < 0, то=arctg + C.2a y2 + ββaβ1dy1Если D = 0, то=−+ C.ay2 aydxdy√ =2. Вычислим интеграл.2ax + bx + ca y 2 ± β2Если a < 0,D 0, то под корнем стоит отрицательное число, интеграл в функциях действительнойпеременной вычислитьне удастся.dy122 Если a > 0, D < 0, то = √a ln |y + y + β | +22a y +β+ C.Если a > 0, D > 0, то+ C.Если a > 0, D = 0, то1 = √ ln |y +aa y 2 − β2dyy 2 − β2 | +dy1√ = √ ln |y| + C.aya11Если a < 0, D > 0, то=√dy1 = √−aa y 2 − β2dyβ2 − y 21yarcsin + C.β−a=Mx + NM2ax + bdx×=3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
