Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 4
Текст из файла (страница 4)
+++ ...+kQ (x)(x − b)(x − a)(x − a)k−1A1Mk x + N kMk−1 x + Nk−1+ ... ++++ ...+k2(x − a)(x + px + q)(x2 + px + q)k−1M 1 x + N1Lx + D+ 2+ ... + 2.x + p1 x + q 1(x + px + q)Здесь b — простой действительный корень Q (x), a — действительный корень Q (x) кратности k. Пары комплексно-сопряженных корней α, ᾱ многочлена x2 + px + q являются корнями кратности kполинома Q (x), а пара ν, ν̄ корней x2 + p1 x + q1 — простымикорнями Q (x).Д о к а з а т е л ь с т в о.
Применим к рациональной функциилемму 1, выделим полином — целую часть M (x), затем по лемме 2выделим члены разложения, соответствующие простым и кратнымдействительным корням. Затем по лемме 3 выделим члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексносопряженных корней. Поскольку многочлен может иметь корнилишь перечисленных типов, разложение этим и исчерпывается.163x5 + x4 + 7x3 + 2x2 + 2x + 1ABMx + N+++ 2x +1x−1 x+1(x2 − 1) (x2 + 1) 222Px + Q ++ B (x − 1) x2 + 1 +2 = A (x + 1) x + 12(x + 1)+ (M x + N ) x2 + 1 x2 − 1 + (P x + Q) x2 − 1 2 x2 − 1 x2 + 12=Приравняем многочлены в числителях дробей. Теперь надоопределить неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q. Этоможно сделать двумя способами.Способ 1.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составляем систему уравненийX 5 |3 = A + B + M ;X 4 |1 = A − B + N ;X 3 |7 = 2A + 2B + P ;X 2 |2 = 2A − 2B + Q;X|2 = A + B − N − P ;1|1 = A − B − N − Qи решаем ее: A = 2, B = 1, M = N = Q = 0, P = 1.17Определитель этой системы равен α − ᾱ = 0, так как корни комплексные и β = 0. Поэтому система имеет единственное решение.Следствие 2. В условиях леммы 2 рациональную дробь можнопредставить в виде разложенияСледствие 3.
Задача интегрирования рациональной функциисводится к задачам интегрирования элементарных рациональныхдробей четырех типов:1)P (x)Mk x + N kMk−1 x + Nk−1=++ ...+k2Q (x)(x + px + q)(x2 + px + q)k−1P (x)M1 x + N 1+ + 2,(x + px + q)Q (x)где корни β ± iγ полинома Q(x) уже не являются корнями полино-BALx + DMx + N; 2); 3) 2; 4) 2.kx− βx+px+q(x+ px + q)k11(x − α)3.2. Способы вычисления коэффициентов приразложении рациональной дроби на элементарныеВ качестве примера рассмотрим разложение рациональной дроби на элементарные:ма Q (x).Д о к а з а т е л ь с т в о.
Применяем лемму 3 нужное число рази получаем искомое разложение.Теорема. Рациональная функция может быть представлена ввидеP (x)AkBAk−1= M (x) ++ ... +++ ...+kQ (x)(x − b)(x − a)(x − a)k−1A1Mk x + N kMk−1 x + Nk−1+ ... ++++ ...+k2(x − a)(x + px + q)(x2 + px + q)k−1M 1 x + N1Lx + D+ 2+ ... + 2.x + p1 x + q 1(x + px + q)Здесь b — простой действительный корень Q (x), a — действительный корень Q (x) кратности k. Пары комплексно-сопряженных корней α, ᾱ многочлена x2 + px + q являются корнями кратности kполинома Q (x), а пара ν, ν̄ корней x2 + p1 x + q1 — простымикорнями Q (x).Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим к рациональной функциилемму 1, выделим полином — целую часть M (x), затем по лемме 2выделим члены разложения, соответствующие простым и кратнымдействительным корням.
Затем по лемме 3 выделим члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексносопряженных корней. Поскольку многочлен может иметь корнилишь перечисленных типов, разложение этим и исчерпывается.163x5 + x4 + 7x3 + 2x2 + 2x + 1ABMx + N+++ 2x +1x−1 x+1(x2 − 1) (x2 + 1) 222Px + Q ++ B (x − 1) x2 + 1 +2 = A (x + 1) x + 12(x + 1)+ (M x + N ) x2 + 1 x2 − 1 + (P x + Q) x2 − 1 2 x2 − 1 x2 + 12=Приравняем многочлены в числителях дробей.
Теперь надоопределить неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q. Этоможно сделать двумя способами.Способ 1. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составляем систему уравненийX 5 |3 = A + B + M ;X 4 |1 = A − B + N ;X 3 |7 = 2A + 2B + P ;X 2 |2 = 2A − 2B + Q;X|2 = A + B − N − P ;1|1 = A − B − N − Qи решаем ее: A = 2, B = 1, M = N = Q = 0, P = 1.17Cпособ 2. Задаем значения неизвестной, вычисляем значениячислителей и составляем систему уравненийX = 1|16 = 8A;X = −1| − 8 = −8B;X = 0|1 = A − B − N − P ;X = 2|181 = 75A − 25B + 30M + 15N + 6P + 3Q;X = −2| − 96 = −25A − 75B − 30M + 15N − 6P + 3Q;X = −3| − 824 = −200A − 400B − 240M − 80N − 24P + 8Qи решаем ее: A = 2, B = 1, M = N = Q = 0, P = 1.Выбор способа зависит от того, где получается более простая иудобная для решения система уравнений.В данном примере вторая система сложнее первой.3.3.
Интегрирование элементарных рациональныхдробей четырех типовДроби первого и второго типов интегрируются легко:Bdx = B ln |x − β| + C,x− β1A1dx =, k = 1.k1 − k (x − a)k−1(x − a)Дробь третьего типа интегрируется сложнее:Mx + NM2ax + bdx =dx+2ax + bx + cax2 + bx + c2aMbdx+ N−=22aax + bx + cMbM 2dx=ln ax + bx + c + N −222aax + bx + cЗдесь для того, чтобы вычислить интеграл от дроби, достаточнообозначить коэффициенты другими буквами.18Для интегрирования дроби четвертого типаM2x + pMx + Ndx =dx+2k22(x + px + q)(x + px + q)kdxpM+ N−=22(x + px + q)kMpM1Jk=+ N−2 (1 − k) (x2 + px + q)k−12необходимо вычислить интеграл Jk :dxJk =;2(x + px + q)kdxk =(x2 + px + q)p2+ q−x+24 222dyy +b −y1== 2dy =kb(y 2 + b2 )(y 2 + b2 )k2y11dy= 2− 2 ydy =k−1b2b(y 2 + b2 )k(y 2 + b2 )1111== 2 Jk−1 − 2 y d1 − k (y 2 + b2 )k−1b2b111yJk−1 == 2 Jk−1 −+b2 (1 − k) (y 2 + b2 )k−1 2 (1 − k)11y= 2 1+Jk−1 −.2b2 (1 − k)2b (1 − k) (y 2 + b2 )k−1Jk =dxk=p 2По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислятьинтегралы Jk при различных k, предварительно вычислив1ydyJ1 == arctg + C.bby 2 + b219Cпособ 2.
Задаем значения неизвестной, вычисляем значениячислителей и составляем систему уравненийX = 1|16 = 8A;X = −1| − 8 = −8B;X = 0|1 = A − B − N − P ;X = 2|181 = 75A − 25B + 30M + 15N + 6P + 3Q;X = −2| − 96 = −25A − 75B − 30M + 15N − 6P + 3Q;X = −3| − 824 = −200A − 400B − 240M − 80N − 24P + 8Qи решаем ее: A = 2, B = 1, M = N = Q = 0, P = 1.Выбор способа зависит от того, где получается более простая иудобная для решения система уравнений.В данном примере вторая система сложнее первой.3.3.
Интегрирование элементарных рациональныхдробей четырех типовДроби первого и второго типов интегрируются легко:Bdx = B ln |x − β| + C,x− β1A1dx =, k = 1.k1 − k (x − a)k−1(x − a)Дробь третьего типа интегрируется сложнее:Mx + NM2ax + bdx =dx+2ax + bx + cax2 + bx + c2aMbdx+ N−=22aax + bx + cMbM 2dx=ln ax + bx + c + N −222aax + bx + cЗдесь для того, чтобы вычислить интеграл от дроби, достаточнообозначить коэффициенты другими буквами.18Для интегрирования дроби четвертого типаM2x + pMx + Ndx =dx+2k22(x + px + q)(x + px + q)kdxpM+ N−=22(x + px + q)kMpM1Jk=+ N−2 (1 − k) (x2 + px + q)k−12необходимо вычислить интеграл Jk :dxJk =;2(x + px + q)kdxk =(x2 + px + q)p2+ q−x+24 222dyy +b −y1== 2dy =kb(y 2 + b2 )(y 2 + b2 )k2y11dy= 2− 2 ydy =k−1b2b(y 2 + b2 )k(y 2 + b2 )1111== 2 Jk−1 − 2 y d1 − k (y 2 + b2 )k−1b2b111yJk−1 == 2 Jk−1 −+b2 (1 − k) (y 2 + b2 )k−1 2 (1 − k)11y= 2 1+Jk−1 −.2b2 (1 − k)2b (1 − k) (y 2 + b2 )k−1Jk =dxk=p 2По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислятьинтегралы Jk при различных k, предварительно вычислив1ydyJ1 == arctg + C.bby 2 + b219Таким образом, все четыре типа элементарных рациональных дробей интегрируемы.
Следовательно, класс рациональныхфункций представляет собой класс интегрируемых функций.При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби. П р2 и м е р. Вычислим интеграл от рациональной дроби2x + 3x − 1dx. Разложим рациональную дробь на элемен(x + 1)2 (x − 1)тарную:2x2 + 3x − 1ABC++=x + 1 x − 1 (x + 1)2(x + 1) (x − 1)(A + B) x2 + (2B + C) x + (B − A − C).=(x + 1)2 (x − 1)2=Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов):⎧⎪A + B = 2;⎪⎪⎨2B + C = 3;⎪⎪⎪⎩ B − A − C = −1.Получаем A = B = C = 1.Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов:X = 0| − 1 = B − A − C;X = 1|4 = A + B + 2B + C + B − A − C = 4B;X = −1| − 2 = A + B − 2B − C + B − A − C = −2C.Отсюда C = 1, B = 1, A = 1.
Вторая система проще, чем первая.Теперь интегрируем сумму элементарных дробей:2x2 + 3x − 11dx = ln |x + 1| + ln |x − 1| −.2x+1(x + 1) (x − 1)20Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексно-сопряженных корней большой кратности, то удобно применять метод Остроградского. Он состоит в следующем: вычисляют Q1 (x) = НОД(Q (x) , Q (x)), Q (x) = Q1 (x) Q2 (x), гдеНОД — наиболее общий делитель. Затем интеграл представляют ввидеX (x)Y (x)P (x)dx =+dx,Q (x)Q1 (x)Q2 (x)где степень X (x) на единицу меньше степени Q1 (x), а степеньY (x) на единицу меньше степени Q2 (x).
Коэффициенты полиномов X (x) , Y (x) определяются при дифференцировании левой иправой частей и приравнивании коэффициентов при равных степенях x.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ4.1. Интегрирование рациональных функцийот тригонометрических функцийИнтегралR (sin x, cos x)dx, где R() — рациональная функ-ция своих аргументов, можно взять универсальной тригонометрической подстановкой (см. разд. 1) t = tg x2 :xxsin x = 2 sin cos = 22211+1t22t1=;21 + t21+txx111 − t2− sin2 =−=;221 + t21 + t2 1 + t122x = 2 arctg t; dx =dt.1 + t2cos x = cos2Если рациональная функция R (sin x, cos x) нечетна по sin x, тоделают подстановку t = cos x.21Таким образом, все четыре типа элементарных рациональных дробей интегрируемы. Следовательно, класс рациональныхфункций представляет собой класс интегрируемых функций.При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные.
Затем интегрируют элементарные рациональные дроби. П р2 и м е р. Вычислим интеграл от рациональной дроби2x + 3x − 1dx. Разложим рациональную дробь на элемен(x + 1)2 (x − 1)тарную:2x2 + 3x − 1ABC++=x + 1 x − 1 (x + 1)2(x + 1) (x − 1)(A + B) x2 + (2B + C) x + (B − A − C).=(x + 1)2 (x − 1)2=Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов):⎧⎪A + B = 2;⎪⎪⎨2B + C = 3;⎪⎪⎪⎩ B − A − C = −1.Получаем A = B = C = 1.Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов:X = 0| − 1 = B − A − C;X = 1|4 = A + B + 2B + C + B − A − C = 4B;X = −1| − 2 = A + B − 2B − C + B − A − C = −2C.Отсюда C = 1, B = 1, A = 1.
Вторая система проще, чем первая.Теперь интегрируем сумму элементарных дробей:2x2 + 3x − 11dx = ln |x + 1| + ln |x − 1| −.2x+1(x + 1) (x − 1)20Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексно-сопряженных корней большой кратности, то удобно применять метод Остроградского. Он состоит в следующем: вычисляют Q1 (x) = НОД(Q (x) , Q (x)), Q (x) = Q1 (x) Q2 (x), гдеНОД — наиболее общий делитель. Затем интеграл представляют ввидеX (x)Y (x)P (x)dx =+dx,Q (x)Q1 (x)Q2 (x)где степень X (x) на единицу меньше степени Q1 (x), а степеньY (x) на единицу меньше степени Q2 (x). Коэффициенты полиномов X (x) , Y (x) определяются при дифференцировании левой иправой частей и приравнивании коэффициентов при равных степенях x.4.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ4.1. Интегрирование рациональных функцийот тригонометрических функцийИнтегралR (sin x, cos x)dx, где R() — рациональная функ-ция своих аргументов, можно взять универсальной тригонометрической подстановкой (см. разд. 1) t = tg x2 :xxsin x = 2 sin cos = 22211+1t22t1=;21 + t21+txx111 − t2− sin2 =−=;221 + t21 + t2 1 + t122x = 2 arctg t; dx =dt.1 + t2cos x = cos2Если рациональная функция R (sin x, cos x) нечетна по sin x, тоделают подстановку t = cos x.21Если рациональная функция R (sin x, cos x) нечетна по cos x, тоделают подстановку t = sin x.Если рациональная функция R (sin x, cos x) не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановкуt = tg x:dtt1; cos x = √; x = arctg t; dx =.21 + t2+1t +1dxП р и м е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
