Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. приходим к противоречию. Теорема1+∞признаку сравнения с интегралом1441dx.x2f (x) dx =f (x) dx.aПусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] за исключениbем точки x = b, тогда несобственным интегралом f (x) dx второaго рода от функции f (x) по отрезку [a, b] называется пределb−εblimf (x) dx = f (x) dx.aдоказана.Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле илиинтегралы от показательной функции.+∞1 + cos3 x + xП р и м е р. Интегралdx сходится по второмуx2 (1 + x)bε→0aaПусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] за исключением точки c ∈ (a, b), тогда несобственным интегралом второго рода от функции f (x) по отрезку [a, b] называется интегралbcbf (x) dx =f (x) dx + f (x) dx (интегралы в правой частиaacэтого равенства определены выше).45Если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существуетвообще, то интеграл расходится.Если сходятся интегралы от функций f (x) , g (x), то сходятсяинтегралы от функций λ f (x) , f (x)±g (x) .
Это следует из теоремо пределах.−11dx =x20−11dx +x210−ε1111dx = limdx + limdx =22ε→0xxx2δ→0−1δ−ε11 1+ lim − .= lim − ε→0x −1x δδ→0Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны. Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона — Лейбница (а она неприменима, так как функция разрывна),получим, что интеграл равен 2. Еще раз убеждаемся, что теоремыследует применять, внимательно проверяя условия их применимости.b0Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода011x1−n |bε =dx =(n=1) limnε→+0 1 − nx=ε1dx = lim (ln b − ln ε) = +∞, т. е.ε→0xbИтак, несобственный интеграл Дирихле второго рода01dxxnЗ а м е ч а н и е. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n = 1.
При n > 1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n < 1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится.Признаки сравнения интегралов остаются справедливыми и дляинтегралов второго рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции.5П р и м е р ы. Интеграл√50x+√dxсходится по втоx2 + 1 + x 3рому признаку сравнения с несобственным интегралом Дирихле5dx√(n = 52 > 1).5x11−nb1−n − lim ε1−nε→+0⎧⎨ −∞,n > 1;=b1−n⎩, n < 1.1−nВспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентна при x → 0 бесконечно малой наинизшего порядкамалости.
Можно доказать эквивалентность непосредственным вычислением предела.+∞x2 + (x + 1)3Интегралрасходится по второму признакуx + x41+∞сравнения с интегралом146b01dx:xnb1При n = 1dx = limε→0xn0интеграл расходится.сходится при n < 1, расходится при n 1.П р и м е р. Интеграл имеет вид1bdx.x47Если указанный предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существуетвообще, то интеграл расходится.Если сходятся интегралы от функций f (x) , g (x), то сходятсяинтегралы от функций λ f (x) , f (x)±g (x) . Это следует из теоремо пределах.−11dx =x20−11dx +x210−ε1111dx = limdx + limdx =22ε→0xxx2δ→0−1δ−ε11 1+ lim − .= lim − ε→0x −1x δδ→0Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны. Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона — Лейбница (а она неприменима, так как функция разрывна),получим, что интеграл равен 2.
Еще раз убеждаемся, что теоремыследует применять, внимательно проверяя условия их применимости.b0Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода011x1−n |bε =dx =(n=1) limnε→+0 1 − nx=ε1dx = lim (ln b − ln ε) = +∞, т. е.ε→0xbИтак, несобственный интеграл Дирихле второго рода01dxxnЗ а м е ч а н и е. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n = 1. При n > 1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n < 1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится.Признаки сравнения интегралов остаются справедливыми и дляинтегралов второго рода.
Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции.5П р и м е р ы. Интеграл√50x+√dxсходится по втоx2 + 1 + x 3рому признаку сравнения с несобственным интегралом Дирихле5dx√(n = 52 > 1).5x11−nb1−n − lim ε1−nε→+0⎧⎨ −∞,n > 1;=b1−n⎩, n < 1.1−nВспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентна при x → 0 бесконечно малой наинизшего порядкамалости. Можно доказать эквивалентность непосредственным вычислением предела.+∞x2 + (x + 1)3Интегралрасходится по второму признакуx + x41+∞сравнения с интегралом146b01dx:xnb1При n = 1dx = limε→0xn0интеграл расходится.сходится при n < 1, расходится при n 1.П р и м е р.
Интеграл имеет вид1bdx.x478.4. Абсолютная сходимость несобственных интеграловДо сих пор при анализе сходимости несобственных интеграловмы предполагали, что подынтегральная функция принимает толькоположительные значения. Откажемся от этого предположения. Будем исследовать сходимость несобственных интегралов первого ро+∞да видаf (x) dx, где функция f (x) может принимать значения+∞−φ (x))dx =f (x) dx. Теорема доказана.a+∞П р и м е р.
Интеграл+∞8.5. Условная сходимость несобственных интегралов+∞Интегралf (x) dx называется условно сходящимся, если онa+∞сходится несобственный интеграл|f (x) |dx.+∞|f (x) |dx расходится.сходится, а интегралa+∞Теорема. Если интегралf (x) dx абсолютно сходится, то онaa+∞сходимости интеграла|f (x) |dx, следует сходимость интегра-ϕ (x) dx,ловa48aa+∞φ (x) dx. Тогда сходится интеграл(ϕ (x) −a+∞Покажем, что интегралaсходится.Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в рассмотрение две вспомога11тельные функции: ϕ (x) = (|f (x)| + f (x)) , φ (x) =|f (x)| −22−f (x) . Эти функции принимают только положительные значения.Кроме того, ϕ (x) |f (x)| , φ (x) |f (x)|. По первому признаку+∞сравнения из абсолютной сходимости интегралаf (x) dx, т.
е. из+∞1dx сходится.x2aa+∞a|cos x| 1, а интегралaлюбого знака. Результаты, которые получим при исследовании, будут справедливы и для остальных несобственных интегралов первого и второго рода.+∞f (x) dx называется абсолютно сходящимся, еслиИнтегралcos xdx абсолютно сходится, так какx2sin xdx условно сходится:xabasin xdx = −xb⎛⎞bd cos xcosxcosx=−⎝|b +dx⎠ =xx ax2aacos b cos a+−=−babcos xdx.x2aПерейдем к пределу при b → +∞. Интеграл в правой части равенства абсолютно сходится, обозначим его I. Вычислим интеграл:+∞sin xcos adx =− I,xaa498.4.
Абсолютная сходимость несобственных интеграловДо сих пор при анализе сходимости несобственных интеграловмы предполагали, что подынтегральная функция принимает толькоположительные значения. Откажемся от этого предположения. Будем исследовать сходимость несобственных интегралов первого ро+∞да видаf (x) dx, где функция f (x) может принимать значения+∞−φ (x))dx =f (x) dx. Теорема доказана.a+∞П р и м е р. Интеграл+∞8.5. Условная сходимость несобственных интегралов+∞Интегралf (x) dx называется условно сходящимся, если онa+∞сходится несобственный интеграл|f (x) |dx.+∞|f (x) |dx расходится.сходится, а интегралa+∞Теорема.
Если интегралf (x) dx абсолютно сходится, то онaa+∞сходимости интеграла|f (x) |dx, следует сходимость интегра-ϕ (x) dx,ловa48aa+∞φ (x) dx. Тогда сходится интеграл(ϕ (x) −a+∞Покажем, что интегралaсходится.Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в рассмотрение две вспомога11тельные функции: ϕ (x) = (|f (x)| + f (x)) , φ (x) =|f (x)| −22−f (x) . Эти функции принимают только положительные значения.Кроме того, ϕ (x) |f (x)| , φ (x) |f (x)|. По первому признаку+∞сравнения из абсолютной сходимости интегралаf (x) dx, т. е.
из+∞1dx сходится.x2aa+∞a|cos x| 1, а интегралaлюбого знака. Результаты, которые получим при исследовании, будут справедливы и для остальных несобственных интегралов первого и второго рода.+∞f (x) dx называется абсолютно сходящимся, еслиИнтегралcos xdx абсолютно сходится, так какx2sin xdx условно сходится:xabasin xdx = −xb⎛⎞bd cos xcosxcosx=−⎝|b +dx⎠ =xx ax2aacos b cos a+−=−babcos xdx.x2aПерейдем к пределу при b → +∞. Интеграл в правой части равенства абсолютно сходится, обозначим его I.
Вычислим интеграл:+∞sin xcos adx =− I,xaa49+∞поэтому интеграл9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАsin xdx сходится.xaПокажем, что рассматриваемый интеграл не сходится абсолютно. Справедливо неравенство |sin x| sin2 x. Преобразуем интеграл:bsin2 xdx =xaba1 − cos 2xdx =2xb1dx −2xabcos 2xdx.2xaПереходя к пределу при b → +∞, видим, что интеграл+∞+∞cos 2xsin xdx сходится (аналогично интегралуdx), инте2xxa+∞гралa1dx расходится. Поэтому интеграл2xa+∞sin2 xdx расxaходится. Если бы он сходился, то, складывая его со сходящимся+∞cos 2xdx, получили бы сходящийся интегралинтегралом 0,5x+∞(0,5a1dx), а этот интеграл расходится.x9.1. Вычисление площадей плоских фигурaИспользуя неравенство |sin x| sin2 x и расходимость интегра-+∞лаsin2 xdx, по первому признаку сравнения получаем расходиxa+∞мость интегралаaусловно сходится.50|sin x|dx.
Следовательно, интегралxПриложение интеграла к физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла по множеству. C помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны помножеству. Например, площадь фигуры равна сумме площадей еечастей. Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса телаобладают тем же свойством. Все эти величины можно вычислять спомощью определенного интеграла.Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов.Метод интегральных сумм повторяет схему построения определенного интеграла: выполняется разбиение, отмечаются точки,в них вычисляются функция, интегральная сумма, осуществляетсяпредельный переход. В этом методе основная трудность — доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче.Метод дифференциалов использует неопределенный интеграли формулу Ньютона — Лейбница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
