Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Вычислить площадь, ограниченную эллипсом%x = a cos t;y = b sin t.Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте y 0,π2ẋ = −a sin t 0. Поэтому S = 4 b sin t a sin t dt = 4ab ××01π1 − cos 2tdt = 4ab= πab.2229.2. Вычисление объемов телРассмотрим вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений S (x) этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка[a, b] прямой OX.Используем метод дифференциалов. Считая элементарный объем dV над отрезком [x, x + dx] объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания S (x) и высотой dx, получаем ΔV ≈≈ dV = S (x) dx.
Интегрируя это соотношение и применяя формуbлу Ньютона — Лейбница, определяем объем V = S (x) dx.a54aОбъем тела вращения вокруг оси OY , если функция заданав виде x = x (y), можно вычислить по аналогичной формулеdV = x2 (y) dy.cЕсли функция задана в виде y = y (x) и требуется определитьобъем тела вращения вокруг оси OY , то формулу для вычисленияобъема можно получить следующим образом:ΔV (x) = V (x + dx) − V (x) = πy 2 (x + dx) − πy 2 (x) == π (y (x) + dy)2 − y 2 (x) = π y 2 (x) + 2y (x) dy++ dy 2 − y 2 (x) = 2πxy (x) dx + πdy 2 .0π2Рассмотрим вычисление объемов тел вращения.Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг осиOX.bТогда S (x) = πy 2 (x) , V = π y 2 (x) dx.Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, находим dV (x) = 2πy 2 (x) dx.
Интегрируя это соотношение и применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем V =b= 2π xydx.aП р и м е р. Вычислим объем шара, полученного вращениемокружности x2 + y 2 = R2 вокруг оси OX:RR2πy (x) dx = πV =−RR2 − x2 dx =−Rx3 R2πR34= πR 2R − π = 2πR3 −= πR3 .3 −R332П р и м е р. Вычислим объем прямого кругового конуса, ограx2 + y 2z2ниченного поверхностью=и плоскостью z = H.R2H255Вычислим объем как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскостиOXZ, катеты которого лежат на оси OZ и прямой z = H , а гипоHтенуза лежит на прямой z = x.RВыражая x через z, получаемH V =π0RzH2dz =πR2 z 3 HπR2 H.=3H2 3 0Искомый объем можно посчитать как разность объемов прямого кругового цилиндра x2 + y 2 = R2 с высотой H и тела вращения, ограниченного цилиндрической, конической поверхностями иплоскостью OXY .2RV = πR H − 2π2Rxz (x) dx = πR H − 2π0x0= πR2 H −Hxdx =Rто dl =Если гладкая дуга задана параметрически в виде%x = x (t) ;y = y (t) ,56t2 ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.t1ϕ1П р и ме р.
Вычислим длину дуги графика функции y = ln sin x,π πx∈, . Получим4 21;1 + y 2 (x) = 1 + ctg2 x =sin xπ2 π π πdx= ln tg − ln tg = − ln tg .l=sin x488π4П р и м е р. Вычислим длину кардиоиды ρ = a (1 + cos ϕ). Получимπ l = 2a1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ + sin2 ϕ dϕ =0√π= 2 2a9.3. Вычисление длины дугиaẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt. Поэтому l =Если дуга задана в полярной системе координат, то dl =ϕ2 22= ρ (ϕ) + ρ̇ (ϕ)dϕ. Поэтому l =ρ2 (ϕ) + ρ̇2 (ϕ)dϕ.2πHR3πR2 H.=33RЧтобы получить формулы для вычисления длины дуги, используем формулы для дифференциала длины дуги.Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции y = f (x), дифференциалдлины дуги можно вычислить по формуле dl =1 + y 2 (x)dx.
Поэтому l =b =1 + y 2 (x)dx.√1 + cos ϕ dϕ = 2 2a0π √02 cosϕdϕ = 8a.2П р и м е р. Вычислим длину одной арки циклоиды.%x = a (t − sin t) ;.y = a (1 − cos t) ,Получимẋ2 (t) + ẏ 2 (t) = a (1 − cos t)2 + sin2 t =√ √t= a 2 1 − cos t = 2a sin ;22π2πtt22ẋ (t) + ẏ (t)dt = 2a sin dt = −4a cos |2π= 8a.l=22 00057Вычислим объем как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскостиOXZ, катеты которого лежат на оси OZ и прямой z = H , а гипоHтенуза лежит на прямой z = x.RВыражая x через z, получаемH V =π0RzH2dz =πR2 z 3 HπR2 H.=3H2 3 0Искомый объем можно посчитать как разность объемов прямого кругового цилиндра x2 + y 2 = R2 с высотой H и тела вращения, ограниченного цилиндрической, конической поверхностями иплоскостью OXY .2RV = πR H − 2π2Rxz (x) dx = πR H − 2π0x0= πR2 H −Hxdx =Rто dl =Если гладкая дуга задана параметрически в виде%x = x (t) ;y = y (t) ,56t2 ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.t1ϕ1П р и ме р.
Вычислим длину дуги графика функции y = ln sin x,π πx∈, . Получим4 21;1 + y 2 (x) = 1 + ctg2 x =sin xπ2 π π πdx= ln tg − ln tg = − ln tg .l=sin x488π4П р и м е р. Вычислим длину кардиоиды ρ = a (1 + cos ϕ). Получимπ l = 2a1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ + sin2 ϕ dϕ =0√π= 2 2a9.3. Вычисление длины дугиaẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt. Поэтому l =Если дуга задана в полярной системе координат, то dl =ϕ2 22= ρ (ϕ) + ρ̇ (ϕ)dϕ. Поэтому l =ρ2 (ϕ) + ρ̇2 (ϕ)dϕ.2πHR3πR2 H.=33RЧтобы получить формулы для вычисления длины дуги, используем формулы для дифференциала длины дуги.Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции y = f (x), дифференциалдлины дуги можно вычислить по формуле dl =1 + y 2 (x)dx.
Поэтому l =b =1 + y 2 (x)dx.√1 + cos ϕ dϕ = 2 2a0π √02 cosϕdϕ = 8a.2П р и м е р. Вычислим длину одной арки циклоиды.%x = a (t − sin t) ;.y = a (1 − cos t) ,Получимẋ2 (t) + ẏ 2 (t) = a (1 − cos t)2 + sin2 t =√ √t= a 2 1 − cos t = 2a sin ;22π2πtt22ẋ (t) + ẏ (t)dt = 2a sin dt = −4a cos |2π= 8a.l=22 000579.4. Вычисление площади поверхности вращенияПусть гладкая дуга представляет собой график непрерывнодифференцируемой функции f (x) , x ∈ [a, b].
Эта дуга вращается вокруг оси OX, описывая некоторую поверхность. Требуетсяопределить площадь этой поверхности.Считая элемент поверхности боковой поверхностью усеченного конуса, высотой которого является отрезок [x, x + dx], получаемΔS ≈ π (y (x) + y (x + dx)) dl = 2πy (x) dl + πy (x) dxdl. Выделяяздесь линейную часть, пренебрегая квадратичным членом от дифференциала dx, находим dS = 2πy (x) dl. Интегрируя и применяяформулу Ньютона — Лейбница, получаемbS = 2πby (x) dl = 2πay (x)1 + y 2 (x)dx.aЕсли функция задана параметрически или в полярной системе координат, то в этой формуле производится соответствующая заменапеременной.
Формулы для дифференциала длины дуги dl приведены в разд. 9.3.1П р и м е р. Дуга графика функции y = , x ∈ [1, +∞) враxщается вокруг оси OX, образуя «ведерко». Можно ли налить в это«ведерко» определенное количество краски так, чтобы окрасить боковую поверхность «ведерка»?Во-первых, определим, конечен ли объем «ведерка»:+∞V =π11dx = π.x2Здесь интеграл сходится, следовательно, объем конечен. «Ведерко»будет окрашено, если будет окрашена каждая точка поверхности,т. е. в том случае, когда боковая поверхность «ведерка» будет конечна. Вычислим боковую поверхность «ведерка»:Sбок+∞ 11= 2π1 + 4 dx.xx158Так как11 + 4 0, а интегралx+∞11dx расходится, то по перxвому признаку сравнения будет расходиться и интеграл Sбок =+∞ 111 + 4 dx. Следовательно, боковая поверхность «ве= 2πxx1дерка» имеет бесконечную площадь и ее окрасить не удастся.10.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:F x, y (x) , y (x) , . . . , y n (x) = 0.Здесь x — независимая переменная; y(x) — неизвестная функция.П орядк ом дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такоеуравнение называется уравнением, разрешенным относительностаршей производной.y n = f x, y (x) , y (x) , .
. . , y n−1 (x) .Рассмотрим дифференциальные уравнения первого порядка.Дифференциальное уравнение первого порядка общего видавыглядит следующим образом:F x, y (x) , y (x) = 0.Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной, записав его в виде y (x) == f (x, y (x)), или y = f (x, y) .599.4. Вычисление площади поверхности вращенияПусть гладкая дуга представляет собой график непрерывнодифференцируемой функции f (x) , x ∈ [a, b]. Эта дуга вращается вокруг оси OX, описывая некоторую поверхность. Требуетсяопределить площадь этой поверхности.Считая элемент поверхности боковой поверхностью усеченного конуса, высотой которого является отрезок [x, x + dx], получаемΔS ≈ π (y (x) + y (x + dx)) dl = 2πy (x) dl + πy (x) dxdl. Выделяяздесь линейную часть, пренебрегая квадратичным членом от дифференциала dx, находим dS = 2πy (x) dl. Интегрируя и применяяформулу Ньютона — Лейбница, получаемbS = 2πby (x) dl = 2πay (x)1 + y 2 (x)dx.aЕсли функция задана параметрически или в полярной системе координат, то в этой формуле производится соответствующая заменапеременной.
Формулы для дифференциала длины дуги dl приведены в разд. 9.3.1П р и м е р. Дуга графика функции y = , x ∈ [1, +∞) враxщается вокруг оси OX, образуя «ведерко». Можно ли налить в это«ведерко» определенное количество краски так, чтобы окрасить боковую поверхность «ведерка»?Во-первых, определим, конечен ли объем «ведерка»:+∞V =π11dx = π.x2Здесь интеграл сходится, следовательно, объем конечен. «Ведерко»будет окрашено, если будет окрашена каждая точка поверхности,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
