Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если f (u) ≡ u, то исходное уравнение уже являетсяуравнением с разделяющимися переменными.yП р и м е р. Решить однородное уравнение y = 1+2 . Получим:xdxduy = x u (x); y = xu + u = 1 + 2u;=; ln |1 + u| = ln |x| +x1+uy+ C; 1 + u = Cx; 1 + = Cx;xy = (Cx − 1) x.6311.3. Обобщенно-однородное уравнениеОбобщенно-однородное уравнение имеет видy = fЕсли aи qkax + by + cqx + ky + m. = 0, то рекомендуется замена:%φ = ax + by + с,dydx;dϕ = adx + bdy = a + bdxdydt = qdx + kdy = q + kdx.dx ϕa + bfdϕa + by t ,ϕ==dtq + ky q + kftт.
е. получили однородное уравнение.y+x+1П р и м е р. Решить уравнение y =. Получим:y−x+1%φ = y + x + 1;t = y − x + 1;%dφ = dy + dx = (y + 1) dx;dt = dy − dx = (y − 1) dx;dφy + 1= =y −1dt— однородное уравнение.64φtφt+1−1=то вводят новую функцию φ = ax + by + c старой переменнойdφφx. Тогда dφ = adx + bdy,,= a + by = a + bfdxλφ + μгде λ, μ определяются из пропорциональности строк определителя. Последнее уравнение является уравнением с разделяющимисяпеременными.y+x+1П р и м е р.
Решить уравнение y =. Получим:y+x+2φ = y + x; φ = dy + dx;Отсюда aи = 0, qk .t = qx + ky + m,ТогдаЕслиφ+tφ−tdφφ+1dy+1=+1=dxφ+2dx— уравнение с разделяющимися переменными.11.4. Линейное уравнениеЛинейное уравнение имеет видy + a (x) y = b (x) .Существует два метода решения линейного уравнения: методвариации произвольной постоянной и метод подстановки.Метод вариации произвольной постоянной наиболее часто применяется при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, а также при решении неоднородных систем линейныхуравнений. Это универсальный метод.При использовании метода вариации произвольной постояннойсначала решаем однородное уравнение (с нулевой правой частью)в видеy + a (x) y = 0.Это уравнение с разделяющимися переменными, запишем его решение:dy= −a (x) dx, y = Ce− a(x)dx .y6511.3.
Обобщенно-однородное уравнениеОбобщенно-однородное уравнение имеет видy = fЕсли aи qkax + by + cqx + ky + m. = 0, то рекомендуется замена:%φ = ax + by + с,dydx;dϕ = adx + bdy = a + bdxdydt = qdx + kdy = q + kdx.dx ϕa + bfdϕa + by t ,ϕ==dtq + ky q + kftт. е. получили однородное уравнение.y+x+1П р и м е р. Решить уравнение y =. Получим:y−x+1%φ = y + x + 1;t = y − x + 1;%dφ = dy + dx = (y + 1) dx;dt = dy − dx = (y − 1) dx;dφy + 1= =y −1dt— однородное уравнение.64φtφt+1−1=то вводят новую функцию φ = ax + by + c старой переменнойdφφx. Тогда dφ = adx + bdy,,= a + by = a + bfdxλφ + μгде λ, μ определяются из пропорциональности строк определителя.
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимисяпеременными.y+x+1П р и м е р. Решить уравнение y =. Получим:y+x+2φ = y + x; φ = dy + dx;Отсюда aи = 0, qk .t = qx + ky + m,ТогдаЕслиφ+tφ−tdφφ+1dy+1=+1=dxφ+2dx— уравнение с разделяющимися переменными.11.4. Линейное уравнениеЛинейное уравнение имеет видy + a (x) y = b (x) .Существует два метода решения линейного уравнения: методвариации произвольной постоянной и метод подстановки.Метод вариации произвольной постоянной наиболее часто применяется при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, а также при решении неоднородных систем линейныхуравнений.
Это универсальный метод.При использовании метода вариации произвольной постояннойсначала решаем однородное уравнение (с нулевой правой частью)в видеy + a (x) y = 0.Это уравнение с разделяющимися переменными, запишем его решение:dy= −a (x) dx, y = Ce− a(x)dx .y65Затем варьируем произвольную постоянную, полагая C = C (x),тогдаy = C (x) e− a(x)dx − C (x) a (x) e− a(x)dx .Подставляем yc в неоднородное уравнение (исходное линейноеуравнение с правой частью b(x)):C e−a(x)dx− Ca (x) e−a(x)dx+ Ca (x) e−a(x)dx= b (x) .При вариации произвольной постоянной здесь сокращаем два члена и находимa(x)dxC = b (x) e, C (x) = b (x) e a(x)dx dx + C,где С — произвольная постоянная;y (x) = e−a(x)dxb(x) e= Ce−a(x)dxa(x)dx+C+e−=a(x)dxb(x) ea(x)dx.Таким образом, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравненийвысших порядков, а также для линейных систем.З а м е ч а н и е. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду y + a (x) y = b (x) (если при y стоиткоэффициент, то делить на него необходимо), иначе метод вариацииприведет к ошибке.При решении методом подстановки полагаем, что y (x) == u (x) v (x) .
Мы видели выше, что решение является произведением двух функций от x. На этом и основан метод подстановки.Дифференцируем функцию y(x): y = u v + uv . Подставляем y (x)в исходное уравнение и получаемu v + uv + a (x) uv = b (x) .66Теперь решаемлибо уравнение u v + a (x) uv = 0, определяя− a(x)dxотсюда u = e, либо уравнение uv + a (x) uv = 0, опре− a(x)dxделяя отсюда v = e.
Здесь при интегрировании не надодобавлять константу, она появится позже, при отыскании второйфункции. Если найдена функция v, то остается найти v из уравнения uv = b (x):b (x)dx = b (x) e a(x)dx dx + C.v=ub (x) e a(x)dx + C .Тогда y = uv = e− a(x)dxЕсли найдена функция v, то остается найти u из уравненияu v = b (x):b (x)dx = b (x) e a(x)dx dx + C.u=v− a(x)dxa(x)dxb (x) eТогда y = uv = e+C .П р и м е р. Решить уравнение xy −2y = 2x4 .
Используем методвариации. Приведем исходное уравнение, деля на коэффициент приy:yy − 2 = 2x3 .xyПолучим решение однородного уравнения y = 2 в видеxdydx2= 2 , y = Cx .yxВарьируем произвольную постоянную: C = C (x), y = C x2 ++ 2Cx.Подставляем y в неоднородное уравнение: C x2 +2Cx−2Cx =2= 2x3 , C = 2x, C (x) = x + C1 . Получим решение в виде22y = x x + C1 .Используем метод подстановки. Тогдаy = uv; y = u v + uv ; x u v + uv − 2uv = 2x4 ;dvdxxuv − 2uv = 0; xv = 2v;= 2 ; v = x2 ; xu v = 2x4 ;vx67Затем варьируем произвольную постоянную, полагая C = C (x),тогдаy = C (x) e− a(x)dx − C (x) a (x) e− a(x)dx .Подставляем yc в неоднородное уравнение (исходное линейноеуравнение с правой частью b(x)):C e−a(x)dx− Ca (x) e−a(x)dx+ Ca (x) e−a(x)dx= b (x) .При вариации произвольной постоянной здесь сокращаем два члена и находимa(x)dxC = b (x) e, C (x) = b (x) e a(x)dx dx + C,где С — произвольная постоянная;y (x) = e−a(x)dxb(x) e= Ce−a(x)dxa(x)dx+C+e−=a(x)dxb(x) ea(x)dx.Таким образом, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравненийвысших порядков, а также для линейных систем.З а м е ч а н и е. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду y + a (x) y = b (x) (если при y стоиткоэффициент, то делить на него необходимо), иначе метод вариацииприведет к ошибке.При решении методом подстановки полагаем, что y (x) == u (x) v (x) . Мы видели выше, что решение является произведением двух функций от x. На этом и основан метод подстановки.Дифференцируем функцию y(x): y = u v + uv .
Подставляем y (x)в исходное уравнение и получаемu v + uv + a (x) uv = b (x) .66Теперь решаемлибо уравнение u v + a (x) uv = 0, определяя− a(x)dxотсюда u = e, либо уравнение uv + a (x) uv = 0, опре− a(x)dxделяя отсюда v = e. Здесь при интегрировании не надодобавлять константу, она появится позже, при отыскании второйфункции. Если найдена функция v, то остается найти v из уравнения uv = b (x):b (x)dx = b (x) e a(x)dx dx + C.v=ub (x) e a(x)dx + C .Тогда y = uv = e− a(x)dxЕсли найдена функция v, то остается найти u из уравненияu v = b (x):b (x)dx = b (x) e a(x)dx dx + C.u=v− a(x)dxa(x)dxb (x) eТогда y = uv = e+C .П р и м е р. Решить уравнение xy −2y = 2x4 .
Используем методвариации. Приведем исходное уравнение, деля на коэффициент приy:yy − 2 = 2x3 .xyПолучим решение однородного уравнения y = 2 в видеxdydx2= 2 , y = Cx .yxВарьируем произвольную постоянную: C = C (x), y = C x2 ++ 2Cx.Подставляем y в неоднородное уравнение: C x2 +2Cx−2Cx =2= 2x3 , C = 2x, C (x) = x + C1 . Получим решение в виде22y = x x + C1 .Используем метод подстановки. Тогдаy = uv; y = u v + uv ; x u v + uv − 2uv = 2x4 ;dvdxxuv − 2uv = 0; xv = 2v;= 2 ; v = x2 ; xu v = 2x4 ;vx67x3 u = 2x4 ; u = 2x; u = x2 + C1 .Получим решение в виде y = uv = x2 x2 + C1 .y + a (x) y = b (x) y n .Если n = 1, то уравнение Бернулли является уравнением с разделяющимися переменными; если n = 0, то — линейным уравнением.Заметим, что при n > 0 y ≡ 0 есть решение уравнения.Решать уравнение Бернулли можно тремя методами.1.
Сведение к линейному уравнению заменой z = y 1−n .Разделим обе части уравнения на y n−1 :1y111+ a (x) n−1 = b (x) ;+ a (x) n−1 = b (x) ;nn−1yy1−n yy1z + a (x) z = b (x) .1−nПоследнее уравнение является линейным уравнением относительно z (x) (n = 1).Этот метод применяется редко, поскольку уравнение Бернуллиможно решать так же, как и линейное уравнение, не приводя егопредварительно к линейному.2. Решение методом вариации произвольной постоянной.Решение проводится аналогично линейному уравнению.Решим сначала однородное уравнение, полагая правую частьуравнения нулевой:a(x)dxa(x)dxa(x)dx+ Ca (x) e−a(x)dx=a(x)dx.dC(1−n) a(x)dx=b(x)e.CnОпределяя отсюдафункцию C (x), подставляем ее в уравнениеy = C (x) e− a(x)dx .3. Решение методом подстановки.Полагаем, что y = u (x) v (x).
Подставляем y = u v + uv висходное уравнение, преобразуем его к видуu v + uv + a (x) uv = b (x) un v n .Так же, как и в случае линейного уравнения,решаем, например,уравнение u v + a (x) uv = 0, u = e− a(x)dx . Подставляем полученную функцию, в преобразованное уравнение, решаем (с учетомu v + a(x)uv = 0) «оставшееся» уравнение с разделяющимися пеdvременными: uv = b (x) un v n , n = b (x) e(1−n) a(x)dx .vЗаметим, что последнее уравнение имеет такой же вид, как вметоде вариации. Поэтому функция v(x) в методе подстановки иесть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решениеy = u (x) v (x).П р и м е р. Решить уравнение Бернулли y + xy = xy 2 .Решим это уравнение Бернулли методом вариации произвольной постоянной:x2dy1y + xy = 0;= −xdx; ln |y| = − x2 + C; y = Ce− 2 ;y21 2.Затем ищем решение исходного уравнения в виде y = C (x) ××e− a(x)dx , варьируя произвольную постоянную C = C (x), вычисляем y и подставляем в исходное уравнение:12C = C (x) ; y = C e− 2 x − Cxe− 2 x ;1 268− Ca (x) e−Как и в линейном уравнении, два слагаемых сокращаем, получаем уравнение с разделяющимися переменными:Уравнение Бернулли имеет вид= b (x) C n e−n11.5.
Уравнение Бернуллиy + a (x) y = 0, y = Ce−C e−12122C e− 2 x − Cxe− 2 x + Cxe− 2 x = xC 2 e−x ;1 21 2dC11= xe− 2 x ; − = −e− 2 x − C1 ; C (x) =1 2.C2CC 1 + e− 2 x69x3 u = 2x4 ; u = 2x; u = x2 + C1 .Получим решение в виде y = uv = x2 x2 + C1 .y + a (x) y = b (x) y n .Если n = 1, то уравнение Бернулли является уравнением с разделяющимися переменными; если n = 0, то — линейным уравнением.Заметим, что при n > 0 y ≡ 0 есть решение уравнения.Решать уравнение Бернулли можно тремя методами.1.
Сведение к линейному уравнению заменой z = y 1−n .Разделим обе части уравнения на y n−1 :1y111+ a (x) n−1 = b (x) ;+ a (x) n−1 = b (x) ;nn−1yy1−n yy1z + a (x) z = b (x) .1−nПоследнее уравнение является линейным уравнением относительно z (x) (n = 1).Этот метод применяется редко, поскольку уравнение Бернуллиможно решать так же, как и линейное уравнение, не приводя егопредварительно к линейному.2. Решение методом вариации произвольной постоянной.Решение проводится аналогично линейному уравнению.Решим сначала однородное уравнение, полагая правую частьуравнения нулевой:a(x)dxa(x)dxa(x)dx+ Ca (x) e−a(x)dx=a(x)dx.dC(1−n) a(x)dx=b(x)e.CnОпределяя отсюдафункцию C (x), подставляем ее в уравнениеy = C (x) e− a(x)dx .3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
