Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Уравнение, которое не содержит явно переменную x и имеетвид F (y, y , y ) = 0 или y = f (y, y ). Здесь применяется подстаdpdp dy= p (y) p (y), т. е. вводится=новка y = p (y), y =dy dxdxновая функция y = p (y) новой переменной y. Уравнение сводитсяк уравнению первого порядка pp = f (y, p).П р и м е р. Найти общее решение уравнения yy + (y )2 = 0и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиямy (1) = y (1) = 1.Получимypp + p2 = 0.— решение; если yp +pЕсли p ≡ 0, то y = C= 0, ydp = −pdy,C1y2= C1 x + C2 — общее решение.то p =, ydy = C1 dx. Тогдаy2Ищем частное решение:y (1) = C1 = 1, y (1) = 1 ⇒y211= 1 + C2 = ⇒ C2 − .222Получим частное решение в виде y 2 = 2x − 1.803. Уравнение, однородное относительно переменных y, y , y .Уравнение называется однородным относительно y, y , y , еслипри замене переменных y на ky, y на ky , y на ky уравнениене изменится.
Для решения уравнения применяется подстановкаy = yz (x).П р и м е р. Найти общее решение уравнения xyy − x (y )2 == yy .Получим: y = yz; y = y z + z y = yz 2 + z y; xy yz 2 + yz −dzdx=;−xy 2 z 2 = y 2 z; xy 2 z = y 2 z; y ≡ 0 — решение; xz = z;zx1 2dy= C1 x; y = C2 eC1 2 x — общее решение.z = C1 x; y = yC1 x;y4. Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.П р и м е р. Решить уравнение yy = (y )2 .y yЗапишем заданное уравнение в виде = .
Интегрируем обеyy части уравнения: (ln y ) = (ln y) ; ln y = ln y + C; y = C1 y;dy= C1 dx; ln y = C1 x + C2 .yПолучим решение в виде y = C3 eC1 x .14. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКАС ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИЛинейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами может быть записано ввидеa0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y = 0.Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами может быть записано в видеa0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y = f (x) .81Если коэффициенты и правая часть уравнения — непрерывныефункции и a0 (x) = 0, то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородного уравнений существуют и единственны.Введем линейный дифференциальный операторLn (p, x) = a0 (x)dndn−1d+a(x)+.
. .+an−1 (x) +an (x) =1nn−1dxdxdx= a0 (x) pn + . . . an−1 (x) p + an (x) .d. Тогда линейное одноdxродное уравнение можно записать в виде Ln (p, x) y = 0, а линейноенеоднородное — в виде Ln (p, x) y = f (x). Так как Ln (p, x) линеен,тоЗдесь p — оператор дифференцированияLn (p, x) (y1 + y2 ) = Ln (p, x) y1 + Ln (p, x) y2 ;Ln (p, x) (λy) = λLn (p, x) y.Обозначим yo — решение однородного уравнения, yн — решение неоднородного уравнения. Пользуясь линейностью оператора,легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений.Теоремы о свойствах решений.1.
Cумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.2. Разность решений неоднородного уравнения есть решениеоднородного уравнения.3. Сумма решений однородного и неоднородного уравненийесть решение неоднородного уравнения.Докажем эти теоремы:1) L (yо1 + yо2 ) = Lyо1 + Lyо2 = 0;2) L (yн1 − yн2 ) = Lyн1 − Lyн2 = f (x) − f (x) = 0;3) L (yo + yн ) = Lyo + Lyн = 0 + f (x) = f (x) .Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.82Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как сумма любых двух решенийоднородного уравнения и произведение любого решения на числовновь есть решения однородного уравнения, операции сложения иумножения на число на множестве решений определены корректно(т. е. не выводят за множество решений).Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелевмодуль).
В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна,y ≡ 0 (тривиальное решение) является решением однородногоуравнения, для каждого решения y (x) противоположное решение−y (x) тоже является решением.Следовательно, решения однородного уравнения — группа посложению.Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна.Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число 1, такое что 1 · y (x) есть решение, справедлива ассоциативность по умножению на число (λ (μy) = (λμ) y).
Этодве аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающиеоперации сложения и умножения на число: λ (y1 + y2 ) = λy1 ++ λy2 , (λ + μ) y = λy + μy.Итак, налицо полный набор из восьми аксиом.Сформулируем определение линейной зависимости и независимости функций.Функции g1 (x) , g2 (x) , .
. . , gn (x) называются линейно независимыми, если λ1 g1 (x) + . . . + λn gn (x) ≡ 0 ⇒ λ1 = 0, . . . , λn = 0(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимостивекторов здесь имеет место тождество линейной комбинации нулю,а не равенство.
Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.Функции g1 (x) , g2 (x) , . . . , gn (x) называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) λ1 , . . . , λn , такой что λ1 g1 (x) + . . .
+ λn gn (x) ≡≡ 0 (λ21 + . . . + λ2n = 0) (существует нетривиальная линейнаякомбинация функций, тождественно равная нулю).83Если коэффициенты и правая часть уравнения — непрерывныефункции и a0 (x) = 0, то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородного уравнений существуют и единственны.Введем линейный дифференциальный операторLn (p, x) = a0 (x)dndn−1d+a(x)+. .
.+an−1 (x) +an (x) =1nn−1dxdxdx= a0 (x) pn + . . . an−1 (x) p + an (x) .d. Тогда линейное одноdxродное уравнение можно записать в виде Ln (p, x) y = 0, а линейноенеоднородное — в виде Ln (p, x) y = f (x). Так как Ln (p, x) линеен,тоЗдесь p — оператор дифференцированияLn (p, x) (y1 + y2 ) = Ln (p, x) y1 + Ln (p, x) y2 ;Ln (p, x) (λy) = λLn (p, x) y.Обозначим yo — решение однородного уравнения, yн — решение неоднородного уравнения. Пользуясь линейностью оператора,легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений.Теоремы о свойствах решений.1.
Cумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.2. Разность решений неоднородного уравнения есть решениеоднородного уравнения.3. Сумма решений однородного и неоднородного уравненийесть решение неоднородного уравнения.Докажем эти теоремы:1) L (yо1 + yо2 ) = Lyо1 + Lyо2 = 0;2) L (yн1 − yн2 ) = Lyн1 − Lyн2 = f (x) − f (x) = 0;3) L (yo + yн ) = Lyo + Lyн = 0 + f (x) = f (x) .Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.82Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как сумма любых двух решенийоднородного уравнения и произведение любого решения на числовновь есть решения однородного уравнения, операции сложения иумножения на число на множестве решений определены корректно(т.
е. не выводят за множество решений).Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелевмодуль). В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна,y ≡ 0 (тривиальное решение) является решением однородногоуравнения, для каждого решения y (x) противоположное решение−y (x) тоже является решением.Следовательно, решения однородного уравнения — группа посложению.Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна.Справедливость четырех аксиом из восьми показана.
Существует число 1, такое что 1 · y (x) есть решение, справедлива ассоциативность по умножению на число (λ (μy) = (λμ) y). Этодве аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающиеоперации сложения и умножения на число: λ (y1 + y2 ) = λy1 ++ λy2 , (λ + μ) y = λy + μy.Итак, налицо полный набор из восьми аксиом.Сформулируем определение линейной зависимости и независимости функций.Функции g1 (x) , g2 (x) , .
. . , gn (x) называются линейно независимыми, если λ1 g1 (x) + . . . + λn gn (x) ≡ 0 ⇒ λ1 = 0, . . . , λn = 0(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимостивекторов здесь имеет место тождество линейной комбинации нулю,а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.Функции g1 (x) , g2 (x) , . . .
, gn (x) называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) λ1 , . . . , λn , такой что λ1 g1 (x) + . . . + λn gn (x) ≡≡ 0 (λ21 + . . . + λ2n = 0) (существует нетривиальная линейнаякомбинация функций, тождественно равная нулю).83Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается также, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.В теории линейных дифференциальных уравнений большоезначение имеет определитель Вронского.Определитель Вронского для функций y1 , y2 , .
. . , yn вводитсякак определитель, столбцами которого являются производные этихфункций от нулевого (сами функции) до n − 1-го порядка: y1y2 . . .yn ... y1yyn2W (x) = ......... (n−1)(n−1)(n−1) yy2yn1.Теорема. Если функции y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы, то W (x) ≡ 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функции y1 (x) , y2 (x) , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
