Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Покажем, что существуют n линейно независимых решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x), удовлетворяющие следующим начальным условиям:y1 (x0 ) = 1, y2 (x0 ) = 0, .
. . , yn (x0 ) = 0;y1 (x0 ) = 0, y2 (x0 ) = 1, . . . , yn (x0 ) = 0;.......................................(n−1)y1(n−1)(x0 ) = 0, y2(x0 ) = 0, . . . , yn(n−1) (x0 ) = 1.Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через(n−1)проходит единственная интегральточку x0 , y0, y0 , y0 , . . . , ynная кривая — решение.
Через точку (x0 , 1, 0, 0, . . . , 0) проходитрешение y1 (x), через точку (x0 , 0, 1, 0, . . . , 0) — решение y2 (x),через точку (x0 , 0, 0, 0, . . . , 1) — решение yn (x) .Эти решения линейно независимы, так как 1 0 ... 0 W (x) = 0 1 . . . 0 = 1 = 0. 0 0 ... 1 862. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейнойкомбинацией).Рассмотрим два решения. В качестве первого — произвольное(n−1)решение y (x) с начальными условиями x0 , y0 , y0 , .
. . , y0.Справедливы соотношения:y (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) ;y (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) ;................................................(n−1)y (n−1) (x0 ) = C1 y1(n−1)(x0 ) + C2 y2(x0 ) + . . .
+ Cn yn(n−1) (x0 ) ,(n−1)где C1 = y0 , C2 = y0 , . . . , Cn = y0.В качестве второго решения выберем линейную комбинациюрешений y1 (x) , . . . , yn (x) с теми же коэффициентами y (x) = C1 y1 (x)++ . . . + Cn yn (x).Вычисляя начальные условия в точке x0 для решения y (x), убеждаемся, что они совпадают с начальными условиями для решенияy (x). Следовательно, по теореме Коши произвольное решение y (x)представляется в виде линейной комбинации линейно независимыхрешений y1 (x) , . . . , yn (x) y (x) ≡ y (x) .Таким образом, существует n линейно независимых решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения . Поэтому размерность пространства решений линейногооднородного дифференциального уравнения n-го порядка равна n(dim I = n).Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную системурешений.Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.
Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы:yoo (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) .87Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что линейная комбинацияyoo (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) является общим решением. Тоесть она удовлетворяет следующим пунктам определения общегорешения (см.
разд. 12).1. Функция yoo (x) — решение линейного однородного уравнения как линейная комбинация решений.(n−1)2. Зададим произвольные начальные условия y0 , y0 , . . . , y0,покажем, что можно подобрать константы C1 , . . . , Cn такие, чтоyoo (x) удовлетворяет этим начальным условиям:yoo (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 ;(n−1)(n−1)(x0 ) + .
. . + Cn yn(n−1) (x0 ) = y0.Получена система линейных алгебраических уравнений относительно констант C1 , . . . , Cn . Определитель этой системы — определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения y1 (x) , . . . ,. . . , yn (x) линейно независимы. Поэтому константы C1 , . . . , Cnопределяются из этой системы по начальным условиям — правымчастям системы единственным образом.Следовательно, yoo (x) = C1 y1 (x) + . .
. + Cn yn (x) — общеерешение.З а м е ч а н и е. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n-мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.Одной из основных формул в теории линейных дифференциальных уравнений является формула Остроградского — Лиувилля.Рассмотрим линейное однородное уравнениеa0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + . . .
+ an−1 (x) y + an (x) y = 0.Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского — ЛиувилляW (x) = Ce88−a1 (x)dxa0 (x). a11 (x) a12 (x)d a21 (x) a22 (x)...dx . . . an1 (x) an2 (x)= a11 a12 . . .a21 a22 . . .... ...an1 an2 . . ..
. . a1n (x). . . a2n (x)....... . . ann (x)a1na2n...ann= + ... + a11 a12 . . .a21 a22... ...an1 an2a1na2n...ann.Вычислим................................................(n−1)yoo(x0 ) = C1 y1Приведем вывод формулы Остроградского — Лиувилля.Известна формула для производной определителя y1y2 . . .yny2ynd y1dW (x)=......dx . . .dx y (n−1) y (n−1) y (n−1)n12 y1y2 . . .yn y1y2yn= ......... (n−1)(n−1)(n−1) yy2yn1y1y1=...
aan1 (n−1)− . . . − y1 − y1a0a0y1y1= 0 + ... + 0 + a ...1 (n−1) − y1a0 + ... + =y1 y2 . . . yny1y2 . . . yn.........(n)(n)(n)y1y2 . . . y n=...yn...yn=......a1 (n−1)an. . . − yn− . . . − yn a0a0...yn...yna1 = − W (x) .......a0a1 (n−1) . . . − yna089Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что линейная комбинацияyoo (x) = C1 y1 (x) + .
. . + Cn yn (x) является общим решением. Тоесть она удовлетворяет следующим пунктам определения общегорешения (см. разд. 12).1. Функция yoo (x) — решение линейного однородного уравнения как линейная комбинация решений.(n−1)2. Зададим произвольные начальные условия y0 , y0 , . . . , y0,покажем, что можно подобрать константы C1 , . . .
, Cn такие, чтоyoo (x) удовлетворяет этим начальным условиям:yoo (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 ;(n−1)(n−1)(x0 ) + . . . + Cn yn(n−1) (x0 ) = y0.Получена система линейных алгебраических уравнений относительно констант C1 , . . . , Cn . Определитель этой системы — определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения y1 (x) , .
. . ,. . . , yn (x) линейно независимы. Поэтому константы C1 , . . . , Cnопределяются из этой системы по начальным условиям — правымчастям системы единственным образом.Следовательно, yoo (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) — общеерешение.З а м е ч а н и е. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n-мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.Одной из основных формул в теории линейных дифференциальных уравнений является формула Остроградского — Лиувилля.Рассмотрим линейное однородное уравнениеa0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y = 0.Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского — ЛиувилляW (x) = Ce88−a1 (x)dxa0 (x). a11 (x) a12 (x)d a21 (x) a22 (x)...dx . .
. an1 (x) an2 (x)= a11 a12 . . .a21 a22 . . .... ...an1 an2 . . .. . . a1n (x). . . a2n (x)....... . . ann (x)a1na2n...ann= + ... + a11 a12 . . .a21 a22... ...an1 an2a1na2n...ann.Вычислим................................................(n−1)yoo(x0 ) = C1 y1Приведем вывод формулы Остроградского — Лиувилля.Известна формула для производной определителя y1y2 . .
.yny2ynd y1dW (x)=......dx . . .dx y (n−1) y (n−1) y (n−1)n12 y1y2 . . .yn y1y2yn= ......... (n−1)(n−1)(n−1) yy2yn1y1y1=... aan1 (n−1)− . . . − y1 − y1a0a0y1y1= 0 + ... + 0 + a ...1 (n−1) − y1a0 + ... + =y1 y2 . . . yny1y2 . . . yn.........(n)(n)(n)y1y2 . . . y n=...yn...yn=......a1 (n−1)an. . . − yn− . . .
− yn a0a0...yn...yna1 = − W (x) .......a0a1 (n−1) . . . − yna089−Получимa1 (x)dW (x)−=−; W (x) = CeW (x)a0 (x)a1 (x)dxa0 (x).З а м е ч а н и е. В формуле Остроградского — Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка:a0 (x) y + a1 (x) y + a2 (x) y = 0. Здесь формулу Остроградского — Лиувилля можно вывести проще. Введем y1 (x) , y2 (x) —два частных решения в виде a0 (x) y1 + a1 (x) y1 + a2 (x) y1 = 0;a0 (x) y2 + a1 (x) y2 + a2 (x) y2 = 0.
Умножим первое уравнение наy2 , а второе на y1 и вычтем первое уравнение из второго, тогдаa0 (x) y1 y2 − y2 y1 + a1 (x) y1 y2 − y2 y1 = 0. y1 y2 = y1 y − y2 y , то W (x) = y y +Так как W (x) = 211 2 y1 y2 + y1 y2 − y2 y1 − y2 y1 = y1 y2 − y2 y1 .Теперь исходное уравнение можно переписать в виде a0 (x) ××W (x)+a1 (x) W (x) = 0. Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского — Лиувилля−a1 (x)dxW (x) = Ce a0 (x) .Формула для построения второго частного решения по известному (построение фундаментальной системы) имеет вид a (x) y1 y2 − a1 (x) dx0= y1 y2 − y2 y1 = CeW (x) = .y1 y2 y12 (x)Разделим обе части уравнения на= 0 и запишем 1 − aa1 (x)y1 y2 − y2 y1y2dx0 (x)==Ce.y1y12y12y21 − a1 (x) dxОтсюда=C 2 e a0 (x) dx + C1 . Нам надо найти частноеy1y11×решение, поэтому выберем С = 1, C1 =0, получим y2 = y1y1290a1 (x)dx×e a0 (x) dx.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
