Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 24
Текст из файла (страница 24)
.. . . + an (x) (y1 (x) + y2 (x)) == (y1 (x))(n)+ a1 (x) (y1 (x))(n−1) + . . . + an (x) (y1 (x)) ++ (y2 (x))(n) + a1 (x) (y2 (x))(n−1) + . . . + an (x) (y2 (x)) == f1 (x) + f2 (x) .По теореме о структуре решения неоднородного уравненияyон (x) = yoo (x) + yчн (x). Общее решение однородного уравнениямы строить умеем. Остается подобрать частное решение неоднородного уравнения по известной правой части. При этом можновоспользоваться доказанной теоремой.
Если правая часть уравнения f (x) представляет собой сумму функций, то можно искатьчастные решения, соответствующие каждому слагаемому суммы, азатем сложить найденные частные решения.Если правая часть уравнения f (x) имеет специальный вид, томожно применить метод подбора формы частного решения.Рассмотрим сначала неоднородное уравнение второго порядкаy + py + qy = f (x) .Пусть правая часть представляет собой квазиполиномf (x) = Pn (x) e αx ,99где Pn (x) — полином n-й степени. Ищем частное решение в видеyч (x) = Q (x) e αx . Здесь Q (x) — полином, степень которого надоопределить:yч (x) = Q (x) e αx + Q (x) α e αx ;yч (x) = Q (x) e αx + Q (x) α e αx + Q (x) α e αx + Q (x) α2 e αx ;y + py + qy == e αx Q (x) + (2α + p)Q + (α2 + pα + q Q (x)) = e αx Pn (x) .Если α — не корень характеристического уравнения, то α2 ++ pα + q = 0, и многочлен Q (x) надо выбирать той же степени, чтои Pn (x), т.
е. степени n.Если α — простой корень характеристического уравнения, то2α + pα + q = 0, 2α + p = 0. В этом случае многочлен Q (x) надовыбирать той же степени, что и Pn (x), т. е. степени n. Тогда степеньмногочлена надо выбирать равной n + 1. Однако при дифференцировании Q (x) производная свободного члена (постоянной) равнанулю, поэтому Q (x) можно выбирать в виде Q (x) = xQn (x).Если α — кратный корень характеристического уравнения, то2α + pα + q = 0, 2α + p = 0.
В этом случае многочлен Q (x) надовыбирать той же степени, что и Pn (x), т. е. степени n. Тогда степеньмногочлена Q (x) надо выбирать равной n + 2. Однако при двукратном дифференцировании Q (x) производная не только свободногочлена равна нулю, но и производная линейного члена равна нулю.Поэтому Q (x) можно выбирать в виде Q (x) = x2 Qn (x).П р и м е р. Решить уравнение y − y = x + ex .
Получаем:k 2 − 1 = 0, k1 = 1, k2 = −1, yoo = C1 ex + C2 e−x .Ищем y1 (x) — частное решение, соответствующее правой частиf1 (x) = x, (Pn (x) = x, α = 0), α = 0 — не корень характеристического уравнения. Частное решение надо искать в том же виде, чтои правая часть: y1 = Ax + B, y1 = A, y1 = 0. Подставляем y1 , y1 ,y1 в неоднородное уравнение с правой частью f1 (x) = x:− Ax − B = x ⇒ B = 0, A + B = 1,y1 (x) = −x.100Ищем y2 (x) — частное решение, соответствующее правой части f2 (x) = ex , (Pn (x) = 1, α = 1). Корень α = 1 содержитсяодин раз среди корней характеристического уравнения, поэтомучастное решение ищется в виде y2 = Dxex , y2 = Dex (1 + x),y2 = Dex (2 + x) .Подставляем y2 , y2 , y2 в неоднородное уравнение с правой частью f2 (x) = ex :Dex (2 + x − x) = ex ⇒ D =y2 (x) =1;21 xxe .2Суммируя оба частных решения, получаем частное решение неоднородного уравнения для исходной правой части в виде1yчн = −x + xex .2Общее решение неоднородного уравнения будет1yон = C1 ex + C2 e−x − x + xex .2Пусть правая часть имеет вид f (x) = e αx (M (x) cos βx ++N (x) sin βx).Если α ± iβ — не корни характеристического уравнения, точастное решение ищется в том виде, в котором задана правая часть:yч = e αx (Um (x) cos βx + Vm (x) sin βx) ,где Um (x) , Vm (x) — полиномы степени m — максимальной из степеней полиномов M (x) , N (x).Если α ± iβ — пара корней характеристического уравнения, точастное решение ищется в видеyч = xe αx (Um (x) cos βx + Vm (x) sin βx) .П р и м е р.
Решить уравнение y + y = sin x. Получаем:k 2 + 1 = 0; k1,2 = ±i; yoo = С1 cos x + C2 sin x;101где Pn (x) — полином n-й степени. Ищем частное решение в видеyч (x) = Q (x) e αx . Здесь Q (x) — полином, степень которого надоопределить:yч (x) = Q (x) e αx + Q (x) α e αx ;yч (x) = Q (x) e αx + Q (x) α e αx + Q (x) α e αx + Q (x) α2 e αx ;y + py + qy == e αx Q (x) + (2α + p)Q + (α2 + pα + q Q (x)) = e αx Pn (x) .Если α — не корень характеристического уравнения, то α2 ++ pα + q = 0, и многочлен Q (x) надо выбирать той же степени, чтои Pn (x), т.
е. степени n.Если α — простой корень характеристического уравнения, то2α + pα + q = 0, 2α + p = 0. В этом случае многочлен Q (x) надовыбирать той же степени, что и Pn (x), т. е. степени n. Тогда степеньмногочлена надо выбирать равной n + 1. Однако при дифференцировании Q (x) производная свободного члена (постоянной) равнанулю, поэтому Q (x) можно выбирать в виде Q (x) = xQn (x).Если α — кратный корень характеристического уравнения, то2α + pα + q = 0, 2α + p = 0. В этом случае многочлен Q (x) надовыбирать той же степени, что и Pn (x), т.
е. степени n. Тогда степеньмногочлена Q (x) надо выбирать равной n + 2. Однако при двукратном дифференцировании Q (x) производная не только свободногочлена равна нулю, но и производная линейного члена равна нулю.Поэтому Q (x) можно выбирать в виде Q (x) = x2 Qn (x).П р и м е р. Решить уравнение y − y = x + ex . Получаем:k 2 − 1 = 0, k1 = 1, k2 = −1, yoo = C1 ex + C2 e−x .Ищем y1 (x) — частное решение, соответствующее правой частиf1 (x) = x, (Pn (x) = x, α = 0), α = 0 — не корень характеристического уравнения. Частное решение надо искать в том же виде, чтои правая часть: y1 = Ax + B, y1 = A, y1 = 0. Подставляем y1 , y1 ,y1 в неоднородное уравнение с правой частью f1 (x) = x:− Ax − B = x ⇒ B = 0, A + B = 1,y1 (x) = −x.100Ищем y2 (x) — частное решение, соответствующее правой части f2 (x) = ex , (Pn (x) = 1, α = 1).
Корень α = 1 содержитсяодин раз среди корней характеристического уравнения, поэтомучастное решение ищется в виде y2 = Dxex , y2 = Dex (1 + x),y2 = Dex (2 + x) .Подставляем y2 , y2 , y2 в неоднородное уравнение с правой частью f2 (x) = ex :Dex (2 + x − x) = ex ⇒ D =y2 (x) =1;21 xxe .2Суммируя оба частных решения, получаем частное решение неоднородного уравнения для исходной правой части в виде1yчн = −x + xex .2Общее решение неоднородного уравнения будет1yон = C1 ex + C2 e−x − x + xex .2Пусть правая часть имеет вид f (x) = e αx (M (x) cos βx ++N (x) sin βx).Если α ± iβ — не корни характеристического уравнения, точастное решение ищется в том виде, в котором задана правая часть:yч = e αx (Um (x) cos βx + Vm (x) sin βx) ,где Um (x) , Vm (x) — полиномы степени m — максимальной из степеней полиномов M (x) , N (x).Если α ± iβ — пара корней характеристического уравнения, точастное решение ищется в видеyч = xe αx (Um (x) cos βx + Vm (x) sin βx) .П р и м е р.
Решить уравнение y + y = sin x. Получаем:k 2 + 1 = 0; k1,2 = ±i; yoo = С1 cos x + C2 sin x;101f (x) = sin x, (α = 0, β = 1, M (x) , N (x) — многочлен степени 0).Пара корней α ± iβ = ±i — пара корней характеристическогоуравнения. Имеет частное решение в видеyч = x (A cos x + B sin x) .Дифференцируем его:yч = A cos x + B sin x − Ax sin x + Bx cos x,yч = −2A sin x + 2B cos x − Ax cos x − Bx sin x.Подставляем y2 , yч , yч в неоднородное уравнение, получаем1− 2A sin x + 2B cos x = sin x, откуда B = 0, A = − ;211yч = − x cos x, yон = C1 cos x + C2 sin x − x cos x.22Рассмотрим неоднородное уравнение n-го порядка, покажем,как в нем применять метод подбора формы частного решения.Здесь ситуация сложнее, так как в характеристическом уравнении n корней, действительные корни и комплексно-сопряженные,простые и кратные корни.Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид f (x) == e αx Pn (x).Если α не является корнем характеристического уравнения, точастное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде,что и правая часть уравнения yч = e αx Qn (x).Если α — корень характеристического уравнения r-й кратности, то частное решение неоднородного уравнения ищется в видеyч = xr e αx Qn (x).Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет видf (x) = e αx (M (x) cos βx + N (x) sin βx) .Если пара комплексно-сопряженных корней не является корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть уравнения102yч = e αx (Um cos βx + Vm sin βx), где степень m многочленов —максимальная из степеней многочленов M (x) , N (x).Если пара комплексно-сопряженных корней является корнямихарактеристического уравнения r-й кратности, то частное решениенеоднородного уравнения ищется в видеyч = xr e αx (Um cos βx + Vm sin βx) .П р и м е р.
Решить уравнение y (5) + y = x + sin x. Получаем:k 5 + k 2 = k 2 (k + 1) k 2 − k + 1 = 0; k1,2 = 0;√31;k3 = −1; k4,5 = ± i22√√ x33yoo = C1 + C2 x + C3 e−x + e 2 C4 cosx + C5 sinx .22Ищем yч1 — частное решение, соответствующее правой части уравнения f1 (x) = x, (α = 0, Pn (x) = x, n = 1). Кореньα = 0 содержится в корнях характеристического уравнения 2раза, поэтому yч1 = x2 (Ax + B) . Подставляя yч1 в неоднородное уравнение с правой частью f1 (x) = x, получаем 6Ax +11+ 2B = x ⇒ A = , B = 0, yч1 = x3 .66Ищем yч1 (x) — частное решение, соответствующее правой части уравнения f2 (x) = sin x, (α = 0, β = 1, α ± iβ = ±i) . Корни±i не содержатся в корнях характеристического уравнения, поэтому yч,2 = D cos x + E sin x.
Подставляя yч2 в неоднородное уравнение с правой частью f2 (x) = sin x, получаем(E − D) cos x − (E + D) sin x = sin x, ⇒ E − D = 0, E + D =1=1⇒E=D= ;21yч2 = D cos x + E sin x, yч2 = (cos x + sin x).2Объединим yч1 и yч2 в частное решениеyч =1 3 1x + (cos x + sin x).62103f (x) = sin x, (α = 0, β = 1, M (x) , N (x) — многочлен степени 0).Пара корней α ± iβ = ±i — пара корней характеристическогоуравнения. Имеет частное решение в видеyч = x (A cos x + B sin x) .Дифференцируем его:yч = A cos x + B sin x − Ax sin x + Bx cos x,yч = −2A sin x + 2B cos x − Ax cos x − Bx sin x.Подставляем y2 , yч , yч в неоднородное уравнение, получаем1− 2A sin x + 2B cos x = sin x, откуда B = 0, A = − ;211yч = − x cos x, yон = C1 cos x + C2 sin x − x cos x.22Рассмотрим неоднородное уравнение n-го порядка, покажем,как в нем применять метод подбора формы частного решения.Здесь ситуация сложнее, так как в характеристическом уравнении n корней, действительные корни и комплексно-сопряженные,простые и кратные корни.Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид f (x) == e αx Pn (x).Если α не является корнем характеристического уравнения, точастное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде,что и правая часть уравнения yч = e αx Qn (x).Если α — корень характеристического уравнения r-й кратности, то частное решение неоднородного уравнения ищется в видеyч = xr e αx Qn (x).Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет видf (x) = e αx (M (x) cos βx + N (x) sin βx) .Если пара комплексно-сопряженных корней не является корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть уравнения102yч = e αx (Um cos βx + Vm sin βx), где степень m многочленов —максимальная из степеней многочленов M (x) , N (x).Если пара комплексно-сопряженных корней является корнямихарактеристического уравнения r-й кратности, то частное решениенеоднородного уравнения ищется в видеyч = xr e αx (Um cos βx + Vm sin βx) .П р и м е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
