Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 19
Текст из файла (страница 19)
, yn (x)линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается черезостальные, например, y1 (x) ≡ λ2 y2 (x)+. . .+ λn yn (x) . Тождество(k)(k)можно дифференцировать, поэтому y1 (x) ≡ λ2 y2 (x) + . . . +(k)+ λn yn (x) , k = 1, 2, 3, . . . , (n − 1). Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы,поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.Теорема. Для того чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка были линейно зависимы,необходимо и достаточно, чтобы W (x) ≡ 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость следует из предыдущейтеоремы.
Докажем достаточность. Зафиксируем некоторую точкуx0 .ТаккакW (x0 ) = 0, то столбцы определителя, вычисленные в этой точке,представляют собой линейно зависимые векторы. Следовательно,∃k, C1 , . . . , Ck = 0, . . . , Cn ,84что выполнены соотношения;⎧⎪C1 y1 (x0 ) + . .
. + Ck yk (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = 0;⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ C1 y1 (x0 ) + . . . + Ck yk (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = 0;(n−1)(n−1)⎪⎪C1 y1(x0 ) + . . . + Ck yk(x0 ) + . . . +⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)⎩+C y(x ) = 0.n n0Поскольку линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, можно ввести решение видаy (x) ≡ C1 y1 (x) + . . .
+ Ck yk (x) + . . . + Cn yn (x)— линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.Заметим, что при x = x0 это решение удовлетворяет нулевымначальным условиям, это следует из записанной выше системыуравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям.Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,y (x) ≡ C1 y1 (x) + . . . + Ck yk (x) + . . . + Cn yn (x) ≡ 0, Ck = 0,поэтому решения линейно зависимы.Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотябы в одной точке, то он тождественно равен нулю.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если W (x0 ) = 0, то решения линейнозависимы, следовательно, W (x) ≡ 0.Теорема. (Критерий линейной зависимости и независимостирешений.)1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно W (x) ≡ 0 (или W (x0 ) = 0).2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно W (x0 ) = 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.85Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается также, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.В теории линейных дифференциальных уравнений большоезначение имеет определитель Вронского.Определитель Вронского для функций y1 , y2 , .
. . , yn вводитсякак определитель, столбцами которого являются производные этихфункций от нулевого (сами функции) до n − 1-го порядка: y1y2 . . .yn ... y1yyn2W (x) = ......... (n−1)(n−1)(n−1) yy2yn1.Теорема. Если функции y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы, то W (x) ≡ 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функции y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x)линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается черезостальные, например, y1 (x) ≡ λ2 y2 (x)+. .
.+ λn yn (x) . Тождество(k)(k)можно дифференцировать, поэтому y1 (x) ≡ λ2 y2 (x) + . . . +(k)+ λn yn (x) , k = 1, 2, 3, . . . , (n − 1). Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы,поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.Теорема. Для того чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка были линейно зависимы,необходимо и достаточно, чтобы W (x) ≡ 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость следует из предыдущейтеоремы. Докажем достаточность. Зафиксируем некоторую точкуx0 .ТаккакW (x0 ) = 0, то столбцы определителя, вычисленные в этой точке,представляют собой линейно зависимые векторы.
Следовательно,∃k, C1 , . . . , Ck = 0, . . . , Cn ,84что выполнены соотношения;⎧⎪C1 y1 (x0 ) + . . . + Ck yk (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = 0;⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ C1 y1 (x0 ) + . . . + Ck yk (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = 0;(n−1)(n−1)⎪⎪C1 y1(x0 ) + . . . + Ck yk(x0 ) + . . .
+⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)⎩+C y(x ) = 0.n n0Поскольку линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, можно ввести решение видаy (x) ≡ C1 y1 (x) + . . . + Ck yk (x) + . . . + Cn yn (x)— линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.Заметим, что при x = x0 это решение удовлетворяет нулевымначальным условиям, это следует из записанной выше системыуравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям.Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,y (x) ≡ C1 y1 (x) + . .
. + Ck yk (x) + . . . + Cn yn (x) ≡ 0, Ck = 0,поэтому решения линейно зависимы.Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотябы в одной точке, то он тождественно равен нулю.Д о к а з а т е л ь с т в о. Если W (x0 ) = 0, то решения линейнозависимы, следовательно, W (x) ≡ 0.Теорема. (Критерий линейной зависимости и независимостирешений.)1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно W (x) ≡ 0 (или W (x0 ) = 0).2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно W (x0 ) = 0.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.85Пусть решения линейно независимы. Если W (x0 ) = 0, то решения линейно зависимы. Пришли к противоречию. Следовательно, W (x0 ) = 0 ∀x0 .Пусть W (x0 ) = 0. Если решения линейно зависимы, то W (x) ≡≡ 0, следовательно, W (x0 ) = 0, пришли к противоречию. Поэтомурешения линейно независимы.Следствие.1. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в однойточке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.2. Отличие определителя Вронского от нуля является критериемлинейной независимости решений линейного однородного уравнения.Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-гo порядка равна n.Д о к а з а т е л ь с т в о.1.
Покажем, что существуют n линейно независимых решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x), удовлетворяющие следующим начальным условиям:y1 (x0 ) = 1, y2 (x0 ) = 0, . . . , yn (x0 ) = 0;y1 (x0 ) = 0, y2 (x0 ) = 1, . . . , yn (x0 ) = 0;.......................................(n−1)y1(n−1)(x0 ) = 0, y2(x0 ) = 0, .
. . , yn(n−1) (x0 ) = 1.Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через(n−1)проходит единственная интегральточку x0 , y0, y0 , y0 , . . . , ynная кривая — решение. Через точку (x0 , 1, 0, 0, . . . , 0) проходитрешение y1 (x), через точку (x0 , 0, 1, 0, . .
. , 0) — решение y2 (x),через точку (x0 , 0, 0, 0, . . . , 1) — решение yn (x) .Эти решения линейно независимы, так как 1 0 ... 0 W (x) = 0 1 . . . 0 = 1 = 0. 0 0 ... 1 862. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейнойкомбинацией).Рассмотрим два решения. В качестве первого — произвольное(n−1)решение y (x) с начальными условиями x0 , y0 , y0 , .
. . , y0.Справедливы соотношения:y (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) ;y (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) ;................................................(n−1)y (n−1) (x0 ) = C1 y1(n−1)(x0 ) + C2 y2(x0 ) + . . . + Cn yn(n−1) (x0 ) ,(n−1)где C1 = y0 , C2 = y0 , . . . , Cn = y0.В качестве второго решения выберем линейную комбинациюрешений y1 (x) , .
. . , yn (x) с теми же коэффициентами y (x) = C1 y1 (x)++ . . . + Cn yn (x).Вычисляя начальные условия в точке x0 для решения y (x), убеждаемся, что они совпадают с начальными условиями для решенияy (x). Следовательно, по теореме Коши произвольное решение y (x)представляется в виде линейной комбинации линейно независимыхрешений y1 (x) , . . . , yn (x) y (x) ≡ y (x) .Таким образом, существует n линейно независимых решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения . Поэтому размерность пространства решений линейногооднородного дифференциального уравнения n-го порядка равна n(dim I = n).Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную системурешений.Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.
Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы:yoo (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) .87Пусть решения линейно независимы. Если W (x0 ) = 0, то решения линейно зависимы. Пришли к противоречию. Следовательно, W (x0 ) = 0 ∀x0 .Пусть W (x0 ) = 0. Если решения линейно зависимы, то W (x) ≡≡ 0, следовательно, W (x0 ) = 0, пришли к противоречию.
Поэтомурешения линейно независимы.Следствие.1. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в однойточке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.2. Отличие определителя Вронского от нуля является критериемлинейной независимости решений линейного однородного уравнения.Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-гo порядка равна n.Д о к а з а т е л ь с т в о.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
