Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Решения y1 (x) и y2 (x) линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений уравнений второгопорядка.Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения. Общее решение линейного неоднородного уравнения естьсумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.yон (x) = yчн (x) + yоо (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что yон (x) = yчн (x) ++yоо (x) — общее решение неоднородного уравнения (см.
разд. 12),т. е. удовлетворяет пунктам определения общего решения.1. Функция yон (x) = yчн (x) + yоо (x) — решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородногоуравнений (теоремы о свойствах решений).2. Зададим произвольные начальные условия x0 , y0 , y0 , . . . ,(n−1). . . y0. Вычислим начальные условия для выбранного част (x ) , . . .
,ного решения неоднородного уравнения yчн (x0 ) , yчн0(т−1). . . yчн(x0 ). Получим систему линейных алгебраических уравнений для определения констант:yoo (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 − yчн (x0 ) ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 − yчн(x0 ) ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 − yчн(x0 ) ;......................................................(n−1)(n−1)yoo(x0 ) = C1 y1(n−1)= y0(x0 ) + . . . + Cn yn(n−1) (x0 ) =(n−1)− yчн.Определитель этой системы — определитель Вронского. Он неравен нулю, так как решения y1 (x) , .
. . , yn (x) линейно независимы. Поэтому константы C1 , . . . , Cn определяются из этой системыпо начальным условиям — правым частям системы единственнымобразом. Следовательно, yон (x) = yчн (x) + yоо (x) — общее решение неоднородного уравнения.91−Получимa1 (x)dW (x)−=−; W (x) = CeW (x)a0 (x)a1 (x)dxa0 (x).З а м е ч а н и е. В формуле Остроградского — Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка:a0 (x) y + a1 (x) y + a2 (x) y = 0. Здесь формулу Остроградского — Лиувилля можно вывести проще. Введем y1 (x) , y2 (x) —два частных решения в виде a0 (x) y1 + a1 (x) y1 + a2 (x) y1 = 0;a0 (x) y2 + a1 (x) y2 + a2 (x) y2 = 0.
Умножим первое уравнение наy2 , а второе на y1 и вычтем первое уравнение из второго, тогдаa0 (x) y1 y2 − y2 y1 + a1 (x) y1 y2 − y2 y1 = 0. y1 y2 = y1 y − y2 y , то W (x) = y y +Так как W (x) = 211 2 y1 y2 + y1 y2 − y2 y1 − y2 y1 = y1 y2 − y2 y1 .Теперь исходное уравнение можно переписать в виде a0 (x) ××W (x)+a1 (x) W (x) = 0. Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского — Лиувилля−a1 (x)dxW (x) = Ce a0 (x) .Формула для построения второго частного решения по известному (построение фундаментальной системы) имеет вид a (x) y1 y2 − a1 (x) dx0= y1 y2 − y2 y1 = CeW (x) = .y1 y2 y12 (x)Разделим обе части уравнения на= 0 и запишем 1 − aa1 (x)y1 y2 − y2 y1y2dx0 (x)==Ce.y1y12y12y21 − a1 (x) dxОтсюда=C 2 e a0 (x) dx + C1 .
Нам надо найти частноеy1y11×решение, поэтому выберем С = 1, C1 =0, получим y2 = y1y1290a1 (x)dx×e a0 (x) dx. Решения y1 (x) и y2 (x) линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений уравнений второгопорядка.Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения. Общее решение линейного неоднородного уравнения естьсумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.yон (x) = yчн (x) + yоо (x) .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Покажем, что yон (x) = yчн (x) ++yоо (x) — общее решение неоднородного уравнения (см. разд. 12),т. е. удовлетворяет пунктам определения общего решения.1. Функция yон (x) = yчн (x) + yоо (x) — решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородногоуравнений (теоремы о свойствах решений).2. Зададим произвольные начальные условия x0 , y0 , y0 , . . . ,(n−1). . . y0. Вычислим начальные условия для выбранного част (x ) , . . . ,ного решения неоднородного уравнения yчн (x0 ) , yчн0(т−1). . . yчн(x0 ). Получим систему линейных алгебраических уравнений для определения констант:yoo (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . .
. + Cn yn (x0 ) = y0 − yчн (x0 ) ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 − yчн(x0 ) ;yoo(x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = y0 − yчн(x0 ) ;......................................................(n−1)(n−1)yoo(x0 ) = C1 y1(n−1)= y0(x0 ) + . . . + Cn yn(n−1) (x0 ) =(n−1)− yчн.Определитель этой системы — определитель Вронского. Он неравен нулю, так как решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно независимы.
Поэтому константы C1 , . . . , Cn определяются из этой системыпо начальным условиям — правым частям системы единственнымобразом. Следовательно, yон (x) = yчн (x) + yоо (x) — общее решение неоднородного уравнения.91Опишем метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядкаy (n) + a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y = f (x) ;Вновь дифференцируем и т. д. В результате после n − 2 дифференцирования получим(n−2)C1 (x) y1(y (n) = −Ly + f (x)),(x) + . .
. + Cn (x) yn(n−2) (x) = 0;(n−−1)(n−1)yoн(x) = C1 (x) y1где L = a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y. Заметим, еслиy — решение однородного уравнения, то y (n) = −Ly.Применяя метод вариации, всегда надо делить уравнение на коэффициент при старшей производной, т. е. приводить уравнение.Пусть найдено решение однородного уравненияyoo (x) = C1 y1 (x) + . . .
+ Cn yn (x) .Дифференцируем последнее уравнение и подставляем(n)(n)yoн(x) = C1 y1 + . . . + Cn yn(n) +(n−1)+ C1 (x) y1(n)(n−1)C1 y1 +. . .+Cn yn(n) +C1 (x) y1Дифференцируем это соотношение:(n)Так как y1 , . . . , yn — решения однородного уравнения, то yk == −Lyk = 0, k = 1, .
. . , n.(n−1)(n−1)Получим C1 y1+ . . . + Cn yn= f (x) — последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберемвсе уравнения в систему для определения констант.yoн(x) = C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) ++ C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) .Потребуем, чтобыC1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) = 0;C1 (x) y1 (x) + .
. . + Cn (x) yn (x) = 0,C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) = 0;Cn (x) yn (x).тогда=+ ... +Дифференцируем полученное соотношение еще раз:yoн(x) =C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) + C1 y1C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) = 0, (x) = C (x) y (x) + . . . + C (x) y (x).тогда yoн1nn192....................................(n−1)(x) + . . . + Cn yn .Потребуем, чтобы(x)+. . .+Cn (x) yn(n−1) (x) == −L (C1 y1 + .
. . Cn yn ) + f (x) .yoн (x) = C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) .C1 (x) y1 (x)(x) + . . . + Cn (x) yn(n−1) (x)в неоднородное уравнение (y n ) = −Ly + f (x), получаемВарьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде (x)yoн(x) + . . . + Cn (x) yn(n−1) (x) .C1 y1+ . . . + Cn yn(n−1) = f (x) .Так как определитель системы — определитель Вронского, не равный нулю в силу линейной независимости решений, то функцииC1 (x) , . . .
, Cn (x) определяются из этой системы однозначно.Теперь общее решение неоднородного уравнения представляютв виде yoн (x) = C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x).93Опишем метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядкаy (n) + a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y = f (x) ;Вновь дифференцируем и т.
д. В результате после n − 2 дифференцирования получим(n−2)C1 (x) y1(y (n) = −Ly + f (x)),(x) + . . . + Cn (x) yn(n−2) (x) = 0;(n−−1)(n−1)yoн(x) = C1 (x) y1где L = a1 (x) y (n−1) + . . . + an−1 (x) y + an (x) y. Заметим, еслиy — решение однородного уравнения, то y (n) = −Ly.Применяя метод вариации, всегда надо делить уравнение на коэффициент при старшей производной, т. е.
приводить уравнение.Пусть найдено решение однородного уравненияyoo (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) .Дифференцируем последнее уравнение и подставляем(n)(n)yoн(x) = C1 y1 + . . . + Cn yn(n) +(n−1)+ C1 (x) y1(n)(n−1)C1 y1 +. . .+Cn yn(n) +C1 (x) y1Дифференцируем это соотношение:(n)Так как y1 , . . . , yn — решения однородного уравнения, то yk == −Lyk = 0, k = 1, .
. . , n.(n−1)(n−1)Получим C1 y1+ . . . + Cn yn= f (x) — последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберемвсе уравнения в систему для определения констант.yoн(x) = C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) ++ C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) .Потребуем, чтобыC1 (x) y1 (x) + .
. . + Cn (x) yn (x) = 0;C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) = 0,C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) = 0;Cn (x) yn (x).тогда=+ ... +Дифференцируем полученное соотношение еще раз:yoн(x) =C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) + C1 y1C1 (x) y1 (x) + . . . + Cn (x) yn (x) = 0, (x) = C (x) y (x) + . . . + C (x) y (x).тогда yoн1nn192....................................(n−1)(x) + . . . + Cn yn .Потребуем, чтобы(x)+. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
