Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаС.В. ГалкинИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯРекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Бауманав качестве учебного пособияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2007УДК 517.3(075.8)ББК 22.161.1+22.161.6Г16Рецензенты: С.А. Агафонов, В.В. НитусовГ16Галкин С.В.Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения:Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. –164 с.: ил.ISBN 5-7038Рассмотрены неопределенный и определенный интегралы, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла, а также основные уравнения первого порядка, способы снижения порядкадифференциальных уравнений, линейные уравнения второго и высшего порядков с постоянными и переменными коэффициентами.
Приведены основные теоремы линейной теории, примеры решения уравнений с постоянными коэффициентами на метод подбора формы частного решения и метод вариации. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений, основы теории устойчивости, а также поведениетраекторий систем в окрестности точек покоя на примерах системуравнений с двумя и тремя переменными.
Изложены приближенныеметоды решения систем дифференциальных уравнений.Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана.Ил. 7. Библиогр. 9 назв.УДК 517.3(075.8)ББК 22.161.1+22.161.6Учебное пособиеСергей Владимирович ГалкинИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯРедактор О.М. КоролеваКорректор Л.И. МалютинаКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать ??.??.2007. Формат 60×84/16.
Бумага офсетная.Печ. л. ?,?. Усл. печ. л. ?,?. Уч.-изд. л. ?,? Тираж 1500 экз. Изд. № 146.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.ISBN 5-7038-c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20071. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВФункция F (x) называется первообразной для функции f (x),если F (x) = f (x).1.1. Теоремы о первообразныхТеорема. Если функция F (x) — первообразная для функцииf (x), то F (x) + С , где С — константа, — тоже первообразная дляфункции f (x).Д о к а з а т е л ь с т в о: (F (x) + C) = (F (x)) + C = f (x).Теорема.
Пусть F (x) , G (x) — две первообразных для функции f (x), тогда они различаются на некоторую константу (F (x) −−G (x) = C — константа).Рассмотрим функцию V (x) = F (x) − G (x), она непрерывнаи дифференцируема на всей числовой оси, как и функции F (x),G (x). Тогда для любых конечных значений x1, x2 (x2 > x1 ) по формуле конечных приращений Лагранжа получимV (x2 ) − V (x1 ) = V (c) (x2 − x1 ) == F (c) − G (c) (x2 − x1 ) = (f (c) − f (c)) (x2 − x1 ) = 0.Следовательно, V (x) ≡ C, F (x) − G (x) = C.f (x) dx (интеграл от функцииНеопределенным интеграломf (x) по dx) называется совокупность всех первообразных функцийдля функции f (x):f (x) dx = F (x) + C.3УДК 517.3(075.8)ББК 22.161.1+22.161.6Г16Рецензенты: С.А. Агафонов, В.В. НитусовГ16Галкин С.В.Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения:Учеб.
пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. –164 с.: ил.ISBN 5-7038Рассмотрены неопределенный и определенный интегралы, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла, а также основные уравнения первого порядка, способы снижения порядкадифференциальных уравнений, линейные уравнения второго и высшего порядков с постоянными и переменными коэффициентами. Приведены основные теоремы линейной теории, примеры решения уравнений с постоянными коэффициентами на метод подбора формы частного решения и метод вариации.
Рассмотрены системы дифференциальных уравнений, основы теории устойчивости, а также поведениетраекторий систем в окрестности точек покоя на примерах системуравнений с двумя и тремя переменными. Изложены приближенныеметоды решения систем дифференциальных уравнений.Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана.Ил.
7. Библиогр. 9 назв.УДК 517.3(075.8)ББК 22.161.1+22.161.6Учебное пособиеСергей Владимирович ГалкинИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯРедактор О.М. КоролеваКорректор Л.И. МалютинаКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать ??.??.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Печ. л. ?,?. Усл.
печ. л. ?,?. Уч.-изд. л. ?,? Тираж 1500 экз. Изд. № 146.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.ISBN 5-7038-c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20071. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВФункция F (x) называется первообразной для функции f (x),если F (x) = f (x).1.1. Теоремы о первообразныхТеорема. Если функция F (x) — первообразная для функцииf (x), то F (x) + С , где С — константа, — тоже первообразная дляфункции f (x).Д о к а з а т е л ь с т в о: (F (x) + C) = (F (x)) + C = f (x).Теорема.
Пусть F (x) , G (x) — две первообразных для функции f (x), тогда они различаются на некоторую константу (F (x) −−G (x) = C — константа).Рассмотрим функцию V (x) = F (x) − G (x), она непрерывнаи дифференцируема на всей числовой оси, как и функции F (x),G (x). Тогда для любых конечных значений x1, x2 (x2 > x1 ) по формуле конечных приращений Лагранжа получимV (x2 ) − V (x1 ) = V (c) (x2 − x1 ) == F (c) − G (c) (x2 − x1 ) = (f (c) − f (c)) (x2 − x1 ) = 0.Следовательно, V (x) ≡ C, F (x) − G (x) = C.f (x) dx (интеграл от функцииНеопределенным интеграломf (x) по dx) называется совокупность всех первообразных функцийдля функции f (x):f (x) dx = F (x) + C.3Функция f (x), стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx — подынтегральным выражением.1.2.
Свойства неопределенного интегралаСвойства неопределенного интеграла можно условно подразделить на две группы. К первой группе относятся свойства, вытекающие из того, что интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Этисвойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование, является линейной операцией.Первая группа свойств:d1)f (x) dx = f (x);dxd2)f (x)dx = f (x) + C;dx3) df (x) dx = f (x) dx;4)df (x) = f (x) + C.Докажем первое свойство.
Так как f (x) dx = F (x) + C, тоdddF (x)f (x) dx == f (x) .(F (x) + C) =dxdxdxЗдесь функция F (x) является первообразной для f (x).df (x)= f (x),Докажем второе свойство. Обозначим g (x) =dxΦ (x) = g (x) dx. Тогда f (x) = g (x), а Φ (x) = g (x) по первомусвойству. Поэтому функции Φ (x) , f (x) являются первообразными для функции g (x). Следовательно, по теоремам о первообразныхони различаются на константу, т. е. Φ (x) = f (x) + C, илиdf (x) dx = f (x) + C.dx4Третье свойство вытекает из первого: df (x) dx=df (x) dx=dx = f (x) dx.dxЧетвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что сдифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записипервого дифференциала).
Поэтому надо доказать два первых свойства.Втораягруппа свойств:1)(f1 (x) + f2 (x)) dx =ство суперпозиции;2)λf (x) dx = λf1 (x) dx +f2 (x) dx — свой-f (x) dx — свойство однородности.Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично.Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правуючасти этих равенств, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая части равенств, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу. Этаконстанта может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.Для того чтобы вычислить интеграл от функции, проще всегонайти первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций:x μ+1+ C, μ = −1;x μ dx =μ+1 dx11(1)= ln |x| + C,− 2 dx = + C;xxx√dx√ = x+C2 x— эти формулы лучше запомнить, они очень часто встречаются;axax dx =+ C; ex dx = ex + C;(2)ln a5Функция f (x), стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx — подынтегральным выражением.1.2.
Свойства неопределенного интегралаСвойства неопределенного интеграла можно условно подразделить на две группы. К первой группе относятся свойства, вытекающие из того, что интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Этисвойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование, является линейной операцией.Первая группа свойств:d1)f (x) dx = f (x);dxd2)f (x)dx = f (x) + C;dx3) df (x) dx = f (x) dx;4)df (x) = f (x) + C.Докажем первое свойство. Так как f (x) dx = F (x) + C, тоdddF (x)f (x) dx == f (x) .(F (x) + C) =dxdxdxЗдесь функция F (x) является первообразной для f (x).df (x)= f (x),Докажем второе свойство. Обозначим g (x) =dxΦ (x) = g (x) dx. Тогда f (x) = g (x), а Φ (x) = g (x) по первомусвойству.
Поэтому функции Φ (x) , f (x) являются первообразными для функции g (x). Следовательно, по теоремам о первообразныхони различаются на константу, т. е. Φ (x) = f (x) + C, илиdf (x) dx = f (x) + C.dx4Третье свойство вытекает из первого: df (x) dx=df (x) dx=dx = f (x) dx.dxЧетвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что сдифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записипервого дифференциала). Поэтому надо доказать два первых свойства.Втораягруппа свойств:1)(f1 (x) + f2 (x)) dx =ство суперпозиции;2)λf (x) dx = λf1 (x) dx +f2 (x) dx — свой-f (x) dx — свойство однородности.Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично.Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правуючасти этих равенств, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая части равенств, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
