Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если f (x) — периодическая функция с периодом T , то f (αx)T— периодическая функция с периодом .αДокажем, что это утверждение справедливо: T= f (αx + T ) = f (αx) .f α x+αxравен 8π и т. д.42. Если f (x) — периодическая функция с периодом T , тоa+TTf (x) dx = f (x) dx.Поэтому период sin 2x равен π, период cosa380f (x) dx = [y = x − T ] =f (x) dx +aaf (−x) dx +a+TTaTf (x) dx +Tf (y) dy = [x = y] =0af (x) dx.0Следовательно, интеграл от периодической функции на отрезкедлиной, равной периоду, можно вычислять на любом таком отрезке,результат будет тем же самым.2π2πЗаметим, что sin x dx = 0, cos x dx = 0. Поэтому, напри-так как(f (−x) + f (x)) =T00=−a+Taf (x) dx +Докажем, что это утверждение справедливо:2πмер,0πsin x dx = 0,−4π0πsin 4x dx = 0,0cos 8x dx = 0.−πИнтегралы от синусов и косинусов на отрезке длиной, кратнойпериоду, вычислять не стоит, они равны нулю.8.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫВ разд. 5 мы строили определенный интеграл на отрезке [a, b],где a, b — конечные числа, т. е. на конечном промежутке числовойоси.Кроме того, предполагалось, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода.Если снимается хотя бы одно из этих условий, то понятие интеграла надо обобщать, вводя в прежнюю конструкцию интегралапредельный переход и получая так называемые несобственные интегралы.
Если снимается первое условие, то мы имеем несобственный интеграл первого рода, если снимается второе условие, то мыимеем несобственный интеграл второго рода.398.1. Несобственные интегралы от непрерывной функциипо бесконечному промежутку (первого рода)−∞П р и м е р. Интеграл+∞Пусть отрезок [a, b] числовой оси неограничен. Это возможнов трех случаях: [−∞, b] , [a, +∞] , [−∞, +∞]. Определим несобственные интегралы как пределы:bf (x) dx;a→−∞−∞1dx = lim ln x |+∞= +∞.1b→+∞x+∞У п р а ж н е н и е.
Проверьте, что интегралax dx сходитсяbf (x) dx = lim111dx расходится:xпри a < 1 и расходится при a > 1.a+∞bf (x) dx = limf (x) dx;a1+∞bf (x) dx = lima→−∞,b→+∞−∞f (x) dx.a1=Если сходятся интегралы от функций f (x) , g (x), то сходятсяинтегралы от функций λ f (x) , f (x)±g (x) . Это следует из теоремо пределах.+∞1П р и м е р. Интегралdx сходится:x21+∞1401dx = limb→+∞x2b111dx = lim − |b1 = 1.b→+∞ xx2+∞При n = 1дится.1dx:xnb111−n xdx=lim =(n=1)b→+∞ 1 − nxn1В последнем интеграле a и b независимо друг от друга стремятся к±∞. Если |a| = |b|, то предел в правой части последнего равенстваназывается главным значением несобственного интеграла.Если предел существует и конечен, то несобственный интегралназывается сходящимся.
Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся.+∞Рассмотрим интеграл Дирихлеb→+∞a+∞0111−nlim b1−n − 1b→+∞⎧⎨ +∞,n < 1;1=, n > 1.⎩n−11dx = lim (ln x − 1) = +∞, т. е. интеграл расхоb→+∞xn+∞Итак, несобственный интеграл Дирихле первого родасходится при n > 1, расходится при n 1.11dxxn8.2. Признаки сравнения несобственных интегралов(достаточные признаки сходимости и расходимостинесобственных интегралов)Рассмотрим первый признак сравнения.Теорема. Пусть при x > a выполнено неравенство 0 < f (x) g (x).418.1. Несобственные интегралы от непрерывной функциипо бесконечному промежутку (первого рода)−∞П р и м е р. Интеграл+∞Пусть отрезок [a, b] числовой оси неограничен.
Это возможнов трех случаях: [−∞, b] , [a, +∞] , [−∞, +∞]. Определим несобственные интегралы как пределы:bf (x) dx;a→−∞−∞1dx = lim ln x |+∞= +∞.1b→+∞x+∞У п р а ж н е н и е. Проверьте, что интегралax dx сходитсяbf (x) dx = lim111dx расходится:xпри a < 1 и расходится при a > 1.a+∞bf (x) dx = limf (x) dx;a1+∞bf (x) dx = lima→−∞,b→+∞−∞f (x) dx.a1=Если сходятся интегралы от функций f (x) , g (x), то сходятсяинтегралы от функций λ f (x) , f (x)±g (x) .
Это следует из теоремо пределах.+∞1П р и м е р. Интегралdx сходится:x21+∞1401dx = limb→+∞x2b111dx = lim − |b1 = 1.b→+∞ xx2+∞При n = 1дится.1dx:xnb111−n xdx=lim =(n=1)b→+∞ 1 − nxn1В последнем интеграле a и b независимо друг от друга стремятся к±∞. Если |a| = |b|, то предел в правой части последнего равенстваназывается главным значением несобственного интеграла.Если предел существует и конечен, то несобственный интегралназывается сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся.+∞Рассмотрим интеграл Дирихлеb→+∞a+∞0111−nlim b1−n − 1b→+∞⎧⎨ +∞,n < 1;1=, n > 1.⎩n−11dx = lim (ln x − 1) = +∞, т. е.
интеграл расхоb→+∞xn+∞Итак, несобственный интеграл Дирихле первого родасходится при n > 1, расходится при n 1.11dxxn8.2. Признаки сравнения несобственных интегралов(достаточные признаки сходимости и расходимостинесобственных интегралов)Рассмотрим первый признак сравнения.Теорема. Пусть при x > a выполнено неравенство 0 < f (x) g (x).41+∞+∞Если интегралg (x) dx сходится, то и интегралf (x) dxaсходится.a+∞Если интегралa+∞f (x) dx расходится, то и интегралag (x) dxaрасходится.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Проинтегрируем неравенство 0 < f (x) g (x) на отрезке [a, b] , b > a:b0bf (x) dx ag (x)dx.aТак как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b.+∞+∞Еслиg (x) dx сходится (g (x) dx = I), где I — конечноеaaчисло, то при любом неравенстве b > a имеемb0bf (x) dx a+∞g (x)dx g (x) dx = I,aabгде I — конечное число, поэтомуf (x) dx — монотонно возaрастающая ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл какфункция b имеет пределbf (x) dx = J I,limb→+∞a+∞т. е.
интегралf (x) dx сходится.a42+∞Пусть теперь интегралf (x) dx расходится. Если интеграл+∞+∞g (x) dx сходится, то по доказанному выше и интеграл f (x) dxaaсходится, приходим к противоречию. Теорема доказана.Справедливость теоремы ясна из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции подграфиком функции. Если значения одной функции больше, чемзначения другой функции, то и соответствующая криволинейнаятрапеция имеет бо́льшую площадь. И если эта площадь конечна, тои меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна,то и бо́льшая площадь бесконечна.Рассмотрим второй признак сравнения.Теорема.
Пусть при x > a f (x) > 0, g (x) > 0. Если существует конечный пределf (x)= K = 0,limx→+∞ g (x)+∞+∞то интегралыf (x) dx,g (x) dx сходятся или расходятся одaaновременно (если один сходится, то и другой сходится; если одинрасходится, то и другой расходится).Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения предела следует, что f (x)− K < ε ⇒ K − ε <∀ε > 0 ∃δ (ε) > 0 : x > δ ⇒ g (x)<f (x)< K + ε ⇒ (K − ε) g (x) < f (x) < (K + ε) g (x) .g (x)+∞Если интегралf (x) dx сходится, то по первому признакуa+∞сравнения сходится интеграл(K − ε) g (x) dx, а, следовательa43+∞+∞Если интегралg (x) dx сходится, то и интегралf (x) dxaсходится.a+∞Если интегралa+∞f (x) dx расходится, то и интегралag (x) dxaрасходится.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Проинтегрируем неравенство 0 < f (x) g (x) на отрезке [a, b] , b > a:b0bf (x) dx ag (x)dx.aТак как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b.+∞+∞Еслиg (x) dx сходится (g (x) dx = I), где I — конечноеaaчисло, то при любом неравенстве b > a имеемb0bf (x) dx a+∞g (x)dx g (x) dx = I,aabгде I — конечное число, поэтомуf (x) dx — монотонно возaрастающая ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл какфункция b имеет пределbf (x) dx = J I,limb→+∞a+∞т. е.
интегралf (x) dx сходится.a42+∞Пусть теперь интегралf (x) dx расходится. Если интеграл+∞+∞g (x) dx сходится, то по доказанному выше и интеграл f (x) dxaaсходится, приходим к противоречию. Теорема доказана.Справедливость теоремы ясна из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции подграфиком функции. Если значения одной функции больше, чемзначения другой функции, то и соответствующая криволинейнаятрапеция имеет бо́льшую площадь. И если эта площадь конечна, тои меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна,то и бо́льшая площадь бесконечна.Рассмотрим второй признак сравнения.Теорема.
Пусть при x > a f (x) > 0, g (x) > 0. Если существует конечный пределf (x)= K = 0,limx→+∞ g (x)+∞+∞то интегралыf (x) dx,g (x) dx сходятся или расходятся одaaновременно (если один сходится, то и другой сходится; если одинрасходится, то и другой расходится).Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из определения предела следует, что f (x)− K < ε ⇒ K − ε <∀ε > 0 ∃δ (ε) > 0 : x > δ ⇒ g (x)<f (x)< K + ε ⇒ (K − ε) g (x) < f (x) < (K + ε) g (x) .g (x)+∞Если интегралf (x) dx сходится, то по первому признакуa+∞сравнения сходится интеграл(K − ε) g (x) dx, а, следовательa43+∞+∞но, сходится интегралg (x) dx. Если интегралg (x) dx схоaa+∞дится, то сходится интеграл(K + ε) g (x) dx, а, следовательно,+∞П р и м е р.
Интеграл2+∞знаку сравнения с интеграломe−x dx.2a+∞по первому признаку сравнения сходится интегралf (x) dx.8.3. Несобственные интегралы от разрывной функциипо конечному промежутку (второго рода)aПусть интеграл+∞f (x) dx расходится. Если интегралa+∞g (x) dx сходится, то по первому признаку сравнения сходит-e−x√dx сходится по первому приx−1Функция f (x) может терпеть разрыв на левом конце отрезка[a, b], на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] за исключениbем точки x = a, тогда несобственным интегралом f (x) dx вто-a+∞ся интегралf (x) dx, т.
е. приходим к противоречию.aПустьинтеграл+∞g (x) dx расходится.aрого рода от функции f (x) по отрезку [a, b] называется пределblimε→0a+εЕсли интегралa+∞f (x) dx сходится, то по первому признаку сравнения сходитa+∞ся интегралg (x) dx, т. е. приходим к противоречию. Теорема1+∞признаку сравнения с интегралом1441dx.x2f (x) dx =f (x) dx.aПусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] за исключениbем точки x = b, тогда несобственным интегралом f (x) dx второaго рода от функции f (x) по отрезку [a, b] называется пределb−εblimf (x) dx = f (x) dx.aдоказана.Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле илиинтегралы от показательной функции.+∞1 + cos3 x + xП р и м е р. Интегралdx сходится по второмуx2 (1 + x)bε→0aaПусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] за исключением точки c ∈ (a, b), тогда несобственным интегралом второго рода от функции f (x) по отрезку [a, b] называется интегралbcbf (x) dx =f (x) dx + f (x) dx (интегралы в правой частиaacэтого равенства определены выше).45+∞+∞но, сходится интегралg (x) dx.
Если интегралg (x) dx схоaa+∞дится, то сходится интеграл(K + ε) g (x) dx, а, следовательно,+∞П р и м е р. Интеграл2+∞знаку сравнения с интеграломe−x dx.2a+∞по первому признаку сравнения сходится интегралf (x) dx.8.3. Несобственные интегралы от разрывной функциипо конечному промежутку (второго рода)aПусть интеграл+∞f (x) dx расходится. Если интегралa+∞g (x) dx сходится, то по первому признаку сравнения сходит-e−x√dx сходится по первому приx−1Функция f (x) может терпеть разрыв на левом конце отрезка[a, b], на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] за исключениbем точки x = a, тогда несобственным интегралом f (x) dx вто-a+∞ся интегралf (x) dx, т. е. приходим к противоречию.aПустьинтеграл+∞g (x) dx расходится.aрого рода от функции f (x) по отрезку [a, b] называется пределblimε→0a+εЕсли интегралa+∞f (x) dx сходится, то по первому признаку сравнения сходитa+∞ся интегралg (x) dx, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
