Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Сначала вычисляют дифференциал величины, которую надо определить, а затем, интегрируя этотдифференциал, по формуле Ньютона — Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность — доказать, чтовычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либоиное.+∞asin xdxxПредположим, что фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.Если функция f (x) принимает только неотрицательные значения, то площадь S (x) под графиком функции на отрезке [a, b] можетbбыть вычислена с помощью определенного интегралаf (x) dxaкак предела интегральных сумм. Однако заметим, что dS (x) == f (x) dx, поэтому здесь можно применить и метод дифференциалов.51+∞поэтому интеграл9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАsin xdx сходится.xaПокажем, что рассматриваемый интеграл не сходится абсолютно.
Справедливо неравенство |sin x| sin2 x. Преобразуем интеграл:bsin2 xdx =xaba1 − cos 2xdx =2xb1dx −2xabcos 2xdx.2xaПереходя к пределу при b → +∞, видим, что интеграл+∞+∞cos 2xsin xdx сходится (аналогично интегралуdx), инте2xxa+∞гралa1dx расходится. Поэтому интеграл2xa+∞sin2 xdx расxaходится. Если бы он сходился, то, складывая его со сходящимся+∞cos 2xdx, получили бы сходящийся интегралинтегралом 0,5x+∞(0,5a1dx), а этот интеграл расходится.x9.1. Вычисление площадей плоских фигурaИспользуя неравенство |sin x| sin2 x и расходимость интегра-+∞лаsin2 xdx, по первому признаку сравнения получаем расходиxa+∞мость интегралаaусловно сходится.50|sin x|dx. Следовательно, интегралxПриложение интеграла к физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла по множеству.
C помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны помножеству. Например, площадь фигуры равна сумме площадей еечастей. Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса телаобладают тем же свойством. Все эти величины можно вычислять спомощью определенного интеграла.Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов.Метод интегральных сумм повторяет схему построения определенного интеграла: выполняется разбиение, отмечаются точки,в них вычисляются функция, интегральная сумма, осуществляетсяпредельный переход.
В этом методе основная трудность — доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче.Метод дифференциалов использует неопределенный интеграли формулу Ньютона — Лейбница. Сначала вычисляют дифференциал величины, которую надо определить, а затем, интегрируя этотдифференциал, по формуле Ньютона — Лейбница получают требуемую величину.
В этом методе основная трудность — доказать, чтовычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либоиное.+∞asin xdxxПредположим, что фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.Если функция f (x) принимает только неотрицательные значения, то площадь S (x) под графиком функции на отрезке [a, b] можетbбыть вычислена с помощью определенного интегралаf (x) dxaкак предела интегральных сумм. Однако заметим, что dS (x) == f (x) dx, поэтому здесь можно применить и метод дифференциалов.51Если функция на некотором отрезке может принимать и отрицательные значения, то интеграл на этом отрезке будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.b|f (x)| dx.
ЭтоСледует вычислять площадь по формуле S =aравносильно изменению знака функции в тех областях, в которыхона принимает отрицательные значения.Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверхуграфиком функции f (x), а снизу графиком функции g (x), то можноbпользоваться формулой S = (f (x) − g (x)) dx при f (x) g (x).aП р и м е р. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x = 0, x = 2 и графиками функций y = x2 , y = x3 .Заметим, что на интервале (0, 1) выполняется неравенство x2 >> x3 , а при x > 1 выполняется неравенство x3 > x2 . Поэтому1S==03x2 − x3 dx +2x3 − x2 dx =1 4xx 1xx3 2 1 18 1 13−− + = − +4− − + = .34 043 1 3 43 4 324Предположим, что фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.Пусть график функции f (x) задан в полярной системе координат и требуется вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ2 и графиком функцииρ = ρ (ϕ) в полярной системе координат.Используем метод интегральных сумм.
Вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарныхсекторов, в которых график функции заменен дугой окружности,получаемnρ2 (ςi )S=limΔϕi .2max(Δϕi )→0i=152Можно применить и метод дифференциалов, тогда1ΔS ≈ dS = ρ2 (ϕ) dϕ, S =2ϕ2ϕ1ρ2 (ϕ)dϕ.2Рассуждать можно так. Заменяя элементарный криволинейныйсектор, соответствующий центральному углу dϕ, круговым сектором, имеем пропорцию:2π ⇔ πρ2 ;dϕ ⇔ dS.πρ2 dϕρ2dϕ. Интегрируя и используя формулу=2π2ϕ2 2ρ (ϕ)dϕ.Ньютона — Лейбница, получаем S =2Отсюда dS =ϕ1П р и м е р. Вычислим площадь круга (проверим формулу).
По2π11 2R dϕ = R2 2π = πR2 .ложим ρ ≡ R. Площадь круга равна220П р и м е р. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидойρ = a (1 + cos ϕ). Получим1S=222ππ =a0a2 (1 + cos ϕ)2 dϕ =01 + cos 2ϕ1 + 2 cos ϕ +233dϕ = a2 π + 0 + 0 = πa2 .22Предположим, что фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически.Функция может быть задана параметрически в виде%x = x (t) ;y = y (t) .53Если функция на некотором отрезке может принимать и отрицательные значения, то интеграл на этом отрезке будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.b|f (x)| dx. ЭтоСледует вычислять площадь по формуле S =aравносильно изменению знака функции в тех областях, в которыхона принимает отрицательные значения.Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверхуграфиком функции f (x), а снизу графиком функции g (x), то можноbпользоваться формулой S = (f (x) − g (x)) dx при f (x) g (x).aП р и м е р.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x = 0, x = 2 и графиками функций y = x2 , y = x3 .Заметим, что на интервале (0, 1) выполняется неравенство x2 >> x3 , а при x > 1 выполняется неравенство x3 > x2 . Поэтому1S==03x2 − x3 dx +2x3 − x2 dx =1 4xx 1xx3 2 1 18 1 13−− + = − +4− − + = .34 043 1 3 43 4 324Предположим, что фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.Пусть график функции f (x) задан в полярной системе координат и требуется вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ2 и графиком функцииρ = ρ (ϕ) в полярной системе координат.Используем метод интегральных сумм.
Вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарныхсекторов, в которых график функции заменен дугой окружности,получаемnρ2 (ςi )S=limΔϕi .2max(Δϕi )→0i=152Можно применить и метод дифференциалов, тогда1ΔS ≈ dS = ρ2 (ϕ) dϕ, S =2ϕ2ϕ1ρ2 (ϕ)dϕ.2Рассуждать можно так.
Заменяя элементарный криволинейныйсектор, соответствующий центральному углу dϕ, круговым сектором, имеем пропорцию:2π ⇔ πρ2 ;dϕ ⇔ dS.πρ2 dϕρ2dϕ. Интегрируя и используя формулу=2π2ϕ2 2ρ (ϕ)dϕ.Ньютона — Лейбница, получаем S =2Отсюда dS =ϕ1П р и м е р. Вычислим площадь круга (проверим формулу). По2π11 2R dϕ = R2 2π = πR2 .ложим ρ ≡ R. Площадь круга равна220П р и м е р.
Вычислим площадь, ограниченную кардиоидойρ = a (1 + cos ϕ). Получим1S=222ππ =a0a2 (1 + cos ϕ)2 dϕ =01 + cos 2ϕ1 + 2 cos ϕ +233dϕ = a2 π + 0 + 0 = πa2 .22Предположим, что фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически.Функция может быть задана параметрически в виде%x = x (t) ;y = y (t) .53Используем формулу S =b|f (x)| dx, подставляя в нее dx =a= |ẋ (t)| dt, |f (x)| = |y (t)| и пределы интегрирования по новойt2переменной t; получим S = |y (t) ẋ (t)|dt.t1Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, гдеподынтегральная функция имеет определенный знак, и учитываютсоответствующую площадь с тем или иным знаком.П р и м е р. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом%x = a cos t;y = b sin t.Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте.
В этом квадранте y 0,π2ẋ = −a sin t 0. Поэтому S = 4 b sin t a sin t dt = 4ab ××01π1 − cos 2tdt = 4ab= πab.2229.2. Вычисление объемов телРассмотрим вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений S (x) этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка[a, b] прямой OX.Используем метод дифференциалов.
Считая элементарный объем dV над отрезком [x, x + dx] объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания S (x) и высотой dx, получаем ΔV ≈≈ dV = S (x) dx. Интегрируя это соотношение и применяя формуbлу Ньютона — Лейбница, определяем объем V = S (x) dx.a54aОбъем тела вращения вокруг оси OY , если функция заданав виде x = x (y), можно вычислить по аналогичной формулеdV = x2 (y) dy.cЕсли функция задана в виде y = y (x) и требуется определитьобъем тела вращения вокруг оси OY , то формулу для вычисленияобъема можно получить следующим образом:ΔV (x) = V (x + dx) − V (x) = πy 2 (x + dx) − πy 2 (x) == π (y (x) + dy)2 − y 2 (x) = π y 2 (x) + 2y (x) dy++ dy 2 − y 2 (x) = 2πxy (x) dx + πdy 2 .0π2Рассмотрим вычисление объемов тел вращения.Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг осиOX.bТогда S (x) = πy 2 (x) , V = π y 2 (x) dx.Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, находим dV (x) = 2πy 2 (x) dx.
Интегрируя это соотношение и применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем V =b= 2π xydx.aП р и м е р. Вычислим объем шара, полученного вращениемокружности x2 + y 2 = R2 вокруг оси OX:RR2πy (x) dx = πV =−RR2 − x2 dx =−Rx3 R2πR34= πR 2R − π = 2πR3 −= πR3 .3 −R332П р и м е р. Вычислим объем прямого кругового конуса, ограx2 + y 2z2ниченного поверхностью=и плоскостью z = H.R2H255Используем формулу S =b|f (x)| dx, подставляя в нее dx =a= |ẋ (t)| dt, |f (x)| = |y (t)| и пределы интегрирования по новойt2переменной t; получим S = |y (t) ẋ (t)|dt.t1Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, гдеподынтегральная функция имеет определенный знак, и учитываютсоответствующую площадь с тем или иным знаком.П р и м е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
