Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вычислим интеграл. Подстановкой1 + 3 cos2 xt = tg x этот интеграл сводится к интегралуsin x = √t2dt(1 + t2 ) 1 +31 + t2=t2dt1t= arctg + C =+422tg x+ C.2Интегралы sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx ×1= arctg2× cos nx dx сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функцийв сумму по формулам1[sin (m + n) x + sin (m − n) x] ;21sin mx sin nx = [cos (m − n) x − cos (m + n) x] ;21cos mx cos nx = [cos (m − n) x + cos (m + n) x] ;2112sin x = (1 − cos 2x) ; cos2 x = (1 + cos 2x) .22sin 3x sin 5x dxП р и м е р.
Вычислим интеграл:11(cos 2x − cos 8x) dx = sin 2x − sin 4x + C.=24sin mx cos nx =22Интегралы видаsinm x cosn x dx вычисляются различнымиспособами.Если m или n — нечетные положительные числа, то sin x илиcos x вносят под дифференциал.sin3 x cos2 x dx =П р и м е р. Вычислим интеграл:11=−1 − cos2 x cos2 x d cos x = − cos3 x + cos5 x + C.35Если m, n — четные положительные числа, то применяют фор1 − cos 2x1 + cos 2x.мулы удвоения аргумента cos2 x =, sin2 x =22П р и м е р.
Вычислим интеграл:sin2 x cos2 x dx =1 − cos 4x11112dx = x −=sin 2x dx =sin 4x + C.44832 2Интегралы вида tgm x dx, ctgm x dx, где m — целое положи-тельное число, берутся с использованием формул tg2 x = sec2 x−1,ctg2 x = cos ec2 x − 1. 14−П р и м е р. Вычислим интеграл: ctg x dx =sin2 x21dx−1 dx =dx − 2dx + x = −1 + ctg2 x ×42sin xsin x1× d ctg x + 2 ctg x + x = −c tg x − ctg3 x + 2 ctg x + x + C.3В общем случае интегралы вида=sinm x cosn x dx вычисля-ются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества. 2sin x + cos2 xdxП р и м е р.
Вычислим интеграл:=×sin3xsin3 xcos xdx1cos xdxdx x+ cos x+= ln tg −×dx =32 −22sinxsinxsin x2 sin x1 x cos x+C =+ C.ln tg −22sin2 x23Если рациональная функция R (sin x, cos x) нечетна по cos x, тоделают подстановку t = sin x.Если рациональная функция R (sin x, cos x) не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановкуt = tg x:dtt1; cos x = √; x = arctg t; dx =.21 + t2+1t +1dxП р и м е р. Вычислим интеграл. Подстановкой1 + 3 cos2 xt = tg x этот интеграл сводится к интегралуsin x = √t2dt(1 + t2 ) 1 +31 + t2=t2dt1t= arctg + C =+422tg x+ C.2Интегралы sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx ×1= arctg2× cos nx dx сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функцийв сумму по формулам1[sin (m + n) x + sin (m − n) x] ;21sin mx sin nx = [cos (m − n) x − cos (m + n) x] ;21cos mx cos nx = [cos (m − n) x + cos (m + n) x] ;2112sin x = (1 − cos 2x) ; cos2 x = (1 + cos 2x) .22sin 3x sin 5x dxП р и м е р.
Вычислим интеграл:11(cos 2x − cos 8x) dx = sin 2x − sin 4x + C.=24sin mx cos nx =22Интегралы видаsinm x cosn x dx вычисляются различнымиспособами.Если m или n — нечетные положительные числа, то sin x илиcos x вносят под дифференциал.sin3 x cos2 x dx =П р и м е р. Вычислим интеграл:11=−1 − cos2 x cos2 x d cos x = − cos3 x + cos5 x + C.35Если m, n — четные положительные числа, то применяют фор1 − cos 2x1 + cos 2x.мулы удвоения аргумента cos2 x =, sin2 x =22П р и м е р.
Вычислим интеграл:sin2 x cos2 x dx =1 − cos 4x11112dx = x −=sin 2x dx =sin 4x + C.44832 2Интегралы вида tgm x dx, ctgm x dx, где m — целое положи-тельное число, берутся с использованием формул tg2 x = sec2 x−1,ctg2 x = cos ec2 x − 1. 14−П р и м е р. Вычислим интеграл: ctg x dx =sin2 x21dx−1 dx =dx − 2dx + x = −1 + ctg2 x ×42sin xsin x1× d ctg x + 2 ctg x + x = −c tg x − ctg3 x + 2 ctg x + x + C.3В общем случае интегралы вида=sinm x cosn x dx вычисля-ются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества. 2sin x + cos2 xdxП р и м е р. Вычислим интеграл:=×sin3xsin3 xcos xdx1cos xdxdx x+ cos x+= ln tg −×dx =32 −22sinxsinxsin x2 sin x1 x cos x+C =+ C.ln tg −22sin2 x23Здесь проведено интегрирование по частямcos x1 1dv =dx; du = − sin x dx; v = −.2 sin2 xsin3 xu=cos x;4.2.
Интегрирование иррациональных функцийОбщая идея интегрирования состоит в том, чтобы придумать рационализирующую подстановку, т. е. найти такую замену переменных, чтобы в новых переменных интеграл был интегралом от рациональной функции. Интегралы от рациональных функций всегдаможно взять.Ниже приведены интегралы, для которых известны рационализирующие подстановки. m p ax + b nax + b qR x,,dx,Для интегралов видаcx + dcx + dгде R(·) — рациональная функция аргументов, иcпользуется рациax + b, где n = НОК (n, q), гдеонализирующая подстановка z n =cx + dНОК — наименьшее общеекратное.√3x+1t7√П р и м е р.
Имеемdt — интегралdx = 61 + t31+ x+1√66от рациональной функции, если взять t = x + 1, t = x + 1.Pn (x)√можно представить в видеИнтегралax2 + bx + cdxPn (x) dx2√,= Qn−1 (x) ax + bx + c + λ √22ax + bx + cax + bx + cа затем искать коэффициенты полинома n−1-й степени и константу,дифференцируя обе части соотношения, приводя дроби к общемузнаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной.x2 dx√= (Ax + B) x2 − x + 1 +П р и м е р. Пустьx2 − x + 1dx√+λ.x2 − x + 1Дифференцируем обе части уравнения:24(Ax + B) x − 12x22√=A x −x+1+ √+x2 − x + 1x2 − x + 1+λ√x21.−x+1Приводим к общему знаменателю и получаем1x2 = A x2 − x + 1 + (Ax + B) x −+ λ.2Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим131A = , B = , λ = − .
Теперь, выделяя полный квадрат,248получаем в правой части разложения «длинный логарифм»:x 3 2x − x + 1−+2 4 1 12− ln x −+ x − x + 1 + C.82dx√В интегралах видаиспользуется раn(x − α)ax2 + bx + c1ционализирующая подстановка z =.x− αdx√П р и м е р. К интегралуприменяем подстановку5x x2 − 111t = , dx = − 2 dt. Получаемxtdxt5 dtt4 dt√=−=− √.x5 x2 − 11 − t2t2 2 1x2 dx√=x2 − x + 1t −1Рассмотрим дифференциальный бином xm (a + bxn )p dx, гдеm1n1p1m=, n=, p=— рациональные числа. Такие интеграm2n2p2лы берутся только в трех случаях (условия√ П.Л.
Чебышева):а) p — целое число (подстановка t = λ x, где λ = НОК (m2 , n2 ));25Здесь проведено интегрирование по частямcos x1 1dv =dx; du = − sin x dx; v = −.2 sin2 xsin3 xu=cos x;4.2. Интегрирование иррациональных функцийОбщая идея интегрирования состоит в том, чтобы придумать рационализирующую подстановку, т. е. найти такую замену переменных, чтобы в новых переменных интеграл был интегралом от рациональной функции. Интегралы от рациональных функций всегдаможно взять.Ниже приведены интегралы, для которых известны рационализирующие подстановки.
m p ax + b nax + b qR x,,dx,Для интегралов видаcx + dcx + dгде R(·) — рациональная функция аргументов, иcпользуется рациax + b, где n = НОК (n, q), гдеонализирующая подстановка z n =cx + dНОК — наименьшее общеекратное.√3x+1t7√П р и м е р. Имеемdt — интегралdx = 61 + t31+ x+1√66от рациональной функции, если взять t = x + 1, t = x + 1.Pn (x)√можно представить в видеИнтегралax2 + bx + cdxPn (x) dx2√,= Qn−1 (x) ax + bx + c + λ √22ax + bx + cax + bx + cа затем искать коэффициенты полинома n−1-й степени и константу,дифференцируя обе части соотношения, приводя дроби к общемузнаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной.x2 dx√= (Ax + B) x2 − x + 1 +П р и м е р.
Пустьx2 − x + 1dx√+λ.x2 − x + 1Дифференцируем обе части уравнения:24(Ax + B) x − 12x22√=A x −x+1+ √+x2 − x + 1x2 − x + 1+λ√x21.−x+1Приводим к общему знаменателю и получаем1x2 = A x2 − x + 1 + (Ax + B) x −+ λ.2Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим131A = , B = , λ = − . Теперь, выделяя полный квадрат,248получаем в правой части разложения «длинный логарифм»:x 3 2x − x + 1−+2 4 1 12− ln x −+ x − x + 1 + C.82dx√В интегралах видаиспользуется раn(x − α)ax2 + bx + c1ционализирующая подстановка z =.x− αdx√П р и м е р.
К интегралуприменяем подстановку5x x2 − 111t = , dx = − 2 dt. Получаемxtdxt5 dtt4 dt√=−=− √.x5 x2 − 11 − t2t2 2 1x2 dx√=x2 − x + 1t −1Рассмотрим дифференциальный бином xm (a + bxn )p dx, гдеm1n1p1m=, n=, p=— рациональные числа. Такие интеграm2n2p2лы берутся только в трех случаях (условия√ П.Л. Чебышева):а) p — целое число (подстановка t = λ x, где λ = НОК (m2 , n2 ));25√m+1= q — целое число (подстановка t = p2 a + bxn );nap2+ b).в) p + q — целое число (подстановка t =n xП р и м е р.
Покажем, что в интегралеx (a + bx)dx числоa+bp + q — целое и равно 2. Покажем, что подстановка t =xявляется рационализирующей. Интегралы вида R x, ax2 + bx + c dx сводятся к одномуиз трехинтегралов: типов а) R z, m2 − z 2 dz с рационализирующей подстановкой5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛб)5.1.
Задача о площади криволинейной трапецииРассмотрим криволинейную трапецию (рис. 1), образованнуюотрезком [a, b] оси OX (основание трапеции), прямыми x = a,x = b (на них лежат боковые стороны трапеции) и графиком функции y = f (x). Так как график функции — кривая линия, то такаятрапеция называется криволинейной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
