Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 31
Текст из файла (страница 31)
. , λnлинейного оператора с матрицей A (или все характеристические числа матрицы A, что одно и то же) действительны и различны.Из линейной алгебры известно, что действительным различнымсобственным значениям λ1 , . . . , λn соответствуют линейно незави1nсимые собственные векторы α , . . . , α , которые можно определить по собственным значениям из системы уравненийA α = λ α или (A − λE) α = 0.В развернутом виде уравнения для λk, αk можно записать так:⎛⎞⎛ k ⎞ ⎛⎞a1nα1a11 − λk .
. .0⎝⎠⎝ ... ⎠ = ⎝ ... ⎠..........a1n0. . . ann − λkαknТеперь решения системы линейных однородных уравнений спостоянными коэффициентами будут иметь вид1y 1 = e λ1 x α , . . . , y n = e λn x ᾱn .126Проверим, что решения являются линейно независимыми. Составим определитель Вронского: 1 y1 . . . y1n α11 . . .
αn1 W = . . . . . . . . . = . . . . . . . . . y 1 . . . y n α1 . . . αnnnnn×× exp((λ1 + . . . + λn ) x) = 0,так как векторы α1 , . . . , αn линейно независимы и определитель изкоординат этих векторов отличен от нуля. Поскольку определительВронского отличен от нуля, полученные решения линейно независимы. Этих решений ровно n, поэтому они составляют фундаментальную систему решений. Следовательно, общее решение системы линейных однородных уравнений может быть записано такимобразом:yoo = C1 y1 + . . . + Cn yn =nCk e λk x αk .k=1П р и м е р.
Решить систему уравненийẋ = x + 4y;ẏ = x − 2y;, A=Получаем: 1− λ4|A − λE| = 1−2 − λ141 −2. = λ2 + λ − 6 = 0;λ1 = −3; λ2 = 2; 1 4 41α11λ1 = −3;;= 0; α11 = −α12 ; α =11 1−1α2 2 −1 44α12λ2 = 2;;= 0; α21 = 4α22 ; α =1 −41α22127имеет ненулевое решение только когда определитель системы равеннулю, т. е.|A − λE| = 0.Это уравнение характеристическим уравнением системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В развернутом виде его можно записать так: a11 − λa12...a1n a21a22 − λ . . .a2n = 0.
............ an1an2. . . ann − λ Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-го порядка относительно λ. Из основной теоремывысшей алгебры известно, что оно имеет ровно n корней. Часть корней может быть действительными корнями, часть — комплексными, но комплексные корни встречаются только парами комплексносопряженных корней.
Это следует из действительности коэффициентов характеристического уравнения и теорем Виета.Рассмотрим случай, когда все собственные значения λ1 , . . . , λnлинейного оператора с матрицей A (или все характеристические числа матрицы A, что одно и то же) действительны и различны.Из линейной алгебры известно, что действительным различнымсобственным значениям λ1 , .
. . , λn соответствуют линейно незави1nсимые собственные векторы α , . . . , α , которые можно определить по собственным значениям из системы уравненийA α = λ α или (A − λE) α = 0.В развернутом виде уравнения для λk, αk можно записать так:⎛⎞⎛ k ⎞ ⎛⎞a1nα1a11 − λk . . .0⎝⎠⎝ ...
⎠ = ⎝ ... ⎠..........a1n0. . . ann − λkαknТеперь решения системы линейных однородных уравнений спостоянными коэффициентами будут иметь вид1y 1 = e λ1 x α , . . . , y n = e λn x ᾱn .126Проверим, что решения являются линейно независимыми. Составим определитель Вронского: 1 y1 . . . y1n α11 . . . αn1 W = . . . .
. . . . . = . . . . . . . . . y 1 . . . y n α1 . . . αnnnnn×× exp((λ1 + . . . + λn ) x) = 0,так как векторы α1 , . . . , αn линейно независимы и определитель изкоординат этих векторов отличен от нуля. Поскольку определительВронского отличен от нуля, полученные решения линейно независимы. Этих решений ровно n, поэтому они составляют фундаментальную систему решений. Следовательно, общее решение системы линейных однородных уравнений может быть записано такимобразом:yoo = C1 y1 + . . . + Cn yn =nCk e λk x αk .k=1П р и м е р. Решить систему уравненийẋ = x + 4y;ẏ = x − 2y;, A=Получаем: 1− λ4|A − λE| = 1−2 − λ141 −2.
= λ2 + λ − 6 = 0;λ1 = −3; λ2 = 2; 1 4 41α11λ1 = −3;;= 0; α11 = −α12 ; α =11 1−1α2 2 −1 44α12λ2 = 2;;= 0; α21 = 4α22 ; α =1 −41α22127yoo = C1 e−3tx = C1 e−3t1−1+ C2 e2t4;12t+ 4C2 e ;y = −C1 e−3t + C2 e2t .Рассмотрим случай, когда среди корней характеристическогоуравнения имеются s простых корней λ1 , . . . , λs .Этот случай легко свести к предыдущему. Для каждого собственного значения (характеристического числа) отыщем собственный вектор αk из системы уравнений⎛⎞⎛ k ⎞ ⎛⎞a1nα1a11 − λk . . .0⎝⎠⎝ ... ⎠ = ⎝ ... ⎠..........a1n0. .
. ann − λkαknЗатем найдем соответствующие им решения из фундаменталь1ной системы решений y 1 = e λ1 x α , . . . ., y s = e λn x ᾱs и запишемобщее решение в видеyoo = . . . + C1y1 + . . . + Cs ys + . . .Вся разница с предыдущим случаем в том, что фундаментальнаясистема решений не исчерпывается найденными решениями, естьеще решения, соответствующие другим корням характеристического уравнения.Рассмотрим случай, когда среди корней характеристическогоуравнения имеется простая пара комплексно-сопряженных корнейλ1,2 = γ ± iβ.Справедливо утверждение, которое мы примем без доказательства: простой паре комплексно-сопряженных корней λ1,2 = γ ± iβсоответствует пара комплексно-сопряженных собственных векторов u ± iv .Запишем формально соответствующую пару решений:Эти решения комплексные. Вместо них мы (по линейности итеоремам о свойствах решений) можем взять решения1 y1 =y 1 + y 2 = e γx (u cos βx − v sin βx) ;21 y2 =y 1 − y 2 = e γx (u sin βx + v cos βx) .2iОбщее решение можно записать в видеyoo = .
. . + C1 y1 + C2 y2 + . . .П р и м е р. Решить систему уравнений%1 −1ẋ = x − y;A=.1 1ẏ = x + y;Получаем:[A − λE] =λ1,2 = 1 ± i;λ1 = 1 + i;α2 =−i1y 1 = ety 2 = et−111− λ1=128e γx [(u cosβx − v sin βx) ± i (u sin βx + v cos βx)] .= λ2 − 2λ + 1 + 1 = 0;−i −1α1−i= 0; α1 =α2; γ = 1; β = 1; u =010cos t −10i;11; v =1;0sin t ;01sin t +1y 1,2 = e γ±iβ (u ± iv ) = e γx (cos β ± i sin β) (u ± iv ) =1− λyoo = C1 y1 + C2 y2 = etcos t ;0−C1 sin t + C2 cos t;C1 cos t + C2 sin t129yoo = C1 e−3tx = C1 e−3t1−1+ C2 e2t4;12t+ 4C2 e ;y = −C1 e−3t + C2 e2t .Рассмотрим случай, когда среди корней характеристическогоуравнения имеются s простых корней λ1 , .
. . , λs .Этот случай легко свести к предыдущему. Для каждого собственного значения (характеристического числа) отыщем собственный вектор αk из системы уравнений⎛⎞⎛ k ⎞ ⎛⎞a1nα1a11 − λk . . .0⎝⎠⎝ ... ⎠ = ⎝ ... ⎠..........a1n0. . . ann − λkαknЗатем найдем соответствующие им решения из фундаменталь1ной системы решений y 1 = e λ1 x α , .
. . ., y s = e λn x ᾱs и запишемобщее решение в видеyoo = . . . + C1y1 + . . . + Cs ys + . . .Вся разница с предыдущим случаем в том, что фундаментальнаясистема решений не исчерпывается найденными решениями, естьеще решения, соответствующие другим корням характеристического уравнения.Рассмотрим случай, когда среди корней характеристическогоуравнения имеется простая пара комплексно-сопряженных корнейλ1,2 = γ ± iβ.Справедливо утверждение, которое мы примем без доказательства: простой паре комплексно-сопряженных корней λ1,2 = γ ± iβсоответствует пара комплексно-сопряженных собственных векторов u ± iv .Запишем формально соответствующую пару решений:Эти решения комплексные.
Вместо них мы (по линейности итеоремам о свойствах решений) можем взять решения1 y1 =y 1 + y 2 = e γx (u cos βx − v sin βx) ;21 y2 =y 1 − y 2 = e γx (u sin βx + v cos βx) .2iОбщее решение можно записать в видеyoo = . . . + C1 y1 + C2 y2 + . . .П р и м е р.
Решить систему уравнений%1 −1ẋ = x − y;A=.1 1ẏ = x + y;Получаем:[A − λE] =λ1,2 = 1 ± i;λ1 = 1 + i;α2 =−i1y 1 = ety 2 = et−111− λ1=128e γx [(u cosβx − v sin βx) ± i (u sin βx + v cos βx)] .= λ2 − 2λ + 1 + 1 = 0;−i −1α1−i= 0; α1 =α2; γ = 1; β = 1; u =010cos t −10i;11; v =1;0sin t ;01sin t +1y 1,2 = e γ±iβ (u ± iv ) = e γx (cos β ± i sin β) (u ± iv ) =1− λyoo = C1 y1 + C2 y2 = etcos t ;0−C1 sin t + C2 cos t;C1 cos t + C2 sin t129x = et (−C1 sin t + C2 cos t);y = et (C1 cos t + C2 sin t).Рассмотрим случай, когда среди корней характеристическогоуравнения встречаются кратные действительные корни или кратные пары комплексно-сопряженных корней.Этот случай мы не можем рассмотреть подробно, так какпока в курсе математики для инженеров не рассматривается жорданова форма матрицы, а именно к матрице с жордановыми клетками в общем случае приводится матрица системы (хотя иногдаматрица может привестись и к диагональному виду).
Укажем алгоритм действий для действительного корня (или пары комплексносопряженных корней) кратности r. Алгоритм этот основан на двухтеоремах.Теорема 1. Существует система из n линейно независимых векk1kqторов α . . . α k , удовлетворяющих соотношениямA αk1 = λk αk1 ;A αk2= λk αk2k1+ α ;........................A αkqk= λk αkqk+ αkqk−1.Векторы αk2 . . . αkqk — присоединенные векторы, порожденные собственным вектором αk1 ; qk — кратность корня λk , суммаqk для различных корней λk равна n.Теорема 2. Каждому корню λk соответствует qk решений видаk1y k1 = α e λk x ;k2y k2 = ( αkqkk1+ x αkqk −1+ ...
+xqk −1αk1 ) e λk x .(qk − 1) !Для каждого кратного корня надо найти присоединенные векторы по теореме 1 и построить решения по теореме 2.130ż = x + y;1 1 0Заметим, что матрица симметрическая, она приводится к диагональному виду ортогональным преобразованием. Следовательно, собственные векторы можно выбрать ортогональными, так какименно в базисе из собственных векторов матрица имеет диагональный вид, а ортогональное преобразование переводит один ортонормированный базис в другой.Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни: −λ 11 |A − λE| = 1 −λ 1 = −λ3 + 3λ + 2 = 11 −λ = − (λ − 2) (λ + 1)2 = 0; λ1 = 2; λ2,3 = −1;⎛⎞⎛ 1 ⎞α1−2 11⎝⎠⎝α12 ⎠ = 0;1 −2 1λ=2α1311 −2−2α11 + α12 + α13 = 0;+ x α )e λk x ;...........................y kqk = ( αЕсли порядок системы мал, то можно действовать проще.Пусть матрица (A − λE) для корня, кратности r будет иметьранг n − r.Это означает, что для данного корня можно подобрать r линейно независимых собственных векторов и соответственно r линейнонезависимых решений вида y = e λx α в фундаментальной системерешений.П р и м е р.
Решить систему уравнений⎛⎞ẋ = y + z;0 1 1⎜⎟ẏ = z + x; A = ⎝ 1 0 1 ⎠ .α11 − 2α12 + α13 = 0;α11 + α12 − 2α13 = 0;⎛⎞11α11 = α12 = α13 ; α = ⎝ 1 ⎠ ;1131x = et (−C1 sin t + C2 cos t);y = et (C1 cos t + C2 sin t).Рассмотрим случай, когда среди корней характеристическогоуравнения встречаются кратные действительные корни или кратные пары комплексно-сопряженных корней.Этот случай мы не можем рассмотреть подробно, так какпока в курсе математики для инженеров не рассматривается жорданова форма матрицы, а именно к матрице с жордановыми клетками в общем случае приводится матрица системы (хотя иногдаматрица может привестись и к диагональному виду).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
