Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

2 будут направлены в другуюсторону. Направление движения другое (t < 0). Такая точка называется неустойчивым узлом.Если λ1 < 0, λ2 > 0, то по вектору ᾱ1 точка, находясь на тра2ектории, стремится к нулю, по вектору α , наоборот, удаляется отнуля. Такая точка покоя называется седлом (рис.

3).Если λ1 > 0, λ2 < 0, то точка покоя также представляет собой тоже седло, но стрелки на рис. 3 направлены в другую сторону.Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.Седла — неустойчивые точки покоя.З а м е ч а н и е. В ситуациях узла и седла траектория, начавшисьв определенном квадранте, в нем и остается.Если λ1 = λ2 = λ, то точка покоя называется дикритическимузлом: устойчивым при λ < 0 (рис. 4), неустойчивым при λ > 0.Если λ1 < 0, λ2 < 0, то при t → ∞x (t) → 0 и y (t) → 0.Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом(рис.

2, стрелками показано направление движения).Рис. 3Рис. 2138Если λ1 < 0, λ2 = 0, то точкапокоя называется вырожденным узлом,устойчивым при λ1 < 0 (рис. 5), но неасимптотически устойчивым. Если приλ1 > 0, то точка покоя будет неустойчивой (стрелки на рис. 5 направлены вобратную сторону).Рис. 4Рис. 5139Тривиальное решение устойчиво.Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя,то, зная поведение решений в окрестности различных точек покоя,мы выясним тем самым поведение траекторий систем.Рассмотрим классификацию точек покоя для автономных систем второго порядка.Запишем уравнение автономной системы второго порядка в векторной форме x˙ = Ax и в покоординатной форме%ẋ = a11 x + a12 y;ẏ = a21 x + a22 y.Будем классифицировать точку покоя x0=.y0В случае действительных корней характеристического уравнения λ1 , λ2 решение системы можно записать так: x12= C1 e λ1 t α + C2 e λ2 t α .yРассматриваем траектории движения (интегральные кривые системы) в окрестности точки покоя.Заметим, что первое слагаемое решения системы — это проек1ция траектории на ось α , второе слагаемое — проекция на ось.Если λ1 > 0, λ2 > 0, то при t < 0 получим те же траектории,что и при t → ∞, но стрелки на рис.

2 будут направлены в другуюсторону. Направление движения другое (t < 0). Такая точка называется неустойчивым узлом.Если λ1 < 0, λ2 > 0, то по вектору ᾱ1 точка, находясь на тра2ектории, стремится к нулю, по вектору α , наоборот, удаляется отнуля. Такая точка покоя называется седлом (рис. 3).Если λ1 > 0, λ2 < 0, то точка покоя также представляет собой тоже седло, но стрелки на рис. 3 направлены в другую сторону.Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.Седла — неустойчивые точки покоя.З а м е ч а н и е.

В ситуациях узла и седла траектория, начавшисьв определенном квадранте, в нем и остается.Если λ1 = λ2 = λ, то точка покоя называется дикритическимузлом: устойчивым при λ < 0 (рис. 4), неустойчивым при λ > 0.Если λ1 < 0, λ2 < 0, то при t → ∞x (t) → 0 и y (t) → 0.Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом(рис. 2, стрелками показано направление движения).Рис. 3Рис. 2138Если λ1 < 0, λ2 = 0, то точкапокоя называется вырожденным узлом,устойчивым при λ1 < 0 (рис. 5), но неасимптотически устойчивым. Если приλ1 > 0, то точка покоя будет неустойчивой (стрелки на рис. 5 направлены вобратную сторону).Рис.

4Рис. 5139Если λ1 = 0, λ2 = 0, то точка покоя называется точкой безразличного равновесия. При изменении времени любая точкаx (t)y (t)1= C1 α + C2 α2остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.В случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения λ1,2 = γ ± iβ.Решение системы можно записать в виде x= e γt [C1 (u cos βt − v sin βt) + C2 (u sin βt + v cos βt)] .yПараметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат(в периодической составляющей).Если γ < 0, то траектория приближается к началу координат сростом t (спираль), так как e γt — убывающая функция. Точка покояназывается устойчивым фокусом, она асимптотически устойчива(рис.

6, а).Если γ > 0, то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как e γt — возрастающая функция. Точка покоя называется неустойчивым фокусом и являетя неустойчивой(рис. 6, б).Если γ = 0, то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя называется центром иявляется устойчивой, но не асимптотически устойчивой (рис.

6, в).Рис. 6140П р и м е р. Классифицировать точки покоя системы)ẋ = x + βy;1 βA=.ẏ = x + y;1 1Найдем собственное значения:|A − λE| = λ2 − 2λ + 1 − β, λ1,2 = 1 ±β.Пусть β > 0, если:β > 1, λ1 > 0, λ2 < 0, то точка покоя — седло;β < 1, λ1 > 0, λ2 > 0, то точка покоя — неустойчивый узел;β = 1, λ1 = 2, λ2 = 0, то точка покоя — вырожденный узел.Пусть β < 0 λ1,2 — комплексно-сопряженные корни.Так как Re (λ1 ) = Re (λ2 ) = 1 > 0, то точка покоя — неустойчивый фокус.Пусть β = 0 λ1 = λ2 = 1. Тогда точка покоя — неустойчивыйдикритический узел.Рассмотрим классификацию точек покоя для автономной системы третьего порядка.Запишем уравнение автономной системы третьего порядка ввекторной форме x˙ = Ax и в координатной форме⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ẋxa11 a12 a13⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ẏ ⎟ = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ ⎜ y ⎟ .⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠a31 a32 a33żzВ случае, когда все корни характеристического уравнения действительны и различны, решение системы можно записать в виде⎛ ⎞x⎜ ⎟⎜ ⎟123⎜ y ⎟ = C1 e λ1 t α + C2 e λ2 t α + C3 e λ3 t α .⎝ ⎠zКартину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях,141Если λ1 = 0, λ2 = 0, то точка покоя называется точкой безразличного равновесия.

При изменении времени любая точкаx (t)y (t)1= C1 α + C2 α2остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.В случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения λ1,2 = γ ± iβ.Решение системы можно записать в виде x= e γt [C1 (u cos βt − v sin βt) + C2 (u sin βt + v cos βt)] .yПараметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат(в периодической составляющей).Если γ < 0, то траектория приближается к началу координат сростом t (спираль), так как e γt — убывающая функция. Точка покояназывается устойчивым фокусом, она асимптотически устойчива(рис.

6, а).Если γ > 0, то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как e γt — возрастающая функция. Точка покоя называется неустойчивым фокусом и являетя неустойчивой(рис. 6, б).Если γ = 0, то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя называется центром иявляется устойчивой, но не асимптотически устойчивой (рис. 6, в).Рис. 6140П р и м е р. Классифицировать точки покоя системы)ẋ = x + βy;1 βA=.ẏ = x + y;1 1Найдем собственное значения:|A − λE| = λ2 − 2λ + 1 − β, λ1,2 = 1 ±β.Пусть β > 0, если:β > 1, λ1 > 0, λ2 < 0, то точка покоя — седло;β < 1, λ1 > 0, λ2 > 0, то точка покоя — неустойчивый узел;β = 1, λ1 = 2, λ2 = 0, то точка покоя — вырожденный узел.Пусть β < 0 λ1,2 — комплексно-сопряженные корни.Так как Re (λ1 ) = Re (λ2 ) = 1 > 0, то точка покоя — неустойчивый фокус.Пусть β = 0 λ1 = λ2 = 1.

Тогда точка покоя — неустойчивыйдикритический узел.Рассмотрим классификацию точек покоя для автономной системы третьего порядка.Запишем уравнение автономной системы третьего порядка ввекторной форме x˙ = Ax и в координатной форме⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ẋxa11 a12 a13⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ẏ ⎟ = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ ⎜ y ⎟ .⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠a31 a32 a33żzВ случае, когда все корни характеристического уравнения действительны и различны, решение системы можно записать в виде⎛ ⎞x⎜ ⎟⎜ ⎟123⎜ y ⎟ = C1 e λ1 t α + C2 e λ2 t α + C3 e λ3 t α .⎝ ⎠zКартину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях,141натянутых на пары собственных векторов.

Этот случай уже изученвыше.Если λ1 < 0, λ2 < 0, λ3 < 0, то в плоскостях α1 , α2 , α1 , α3 , α2 , α3 , имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя называется — устойчивым узлом (рис. 7, а).12Если λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 > 0, то в плоскостях α , α , α1 , α3 , α2 , α3 имеем неустойчивые узлы. Такая точка покояназывается неустойчивым узлом (рис. 7, б).Рис. 8Рис. 7Если один корень имеет знак, противоположный остальнымдвум корням. то точка покоя называется седлом-узлом и являетсянеустойчивой (рис.

8).Пусть,например,λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0. Тогдав плоско1213сти α , α имеем неустойчивый узел, а в плоскостях α , α ,α2 , α3 — седла. Если λ1 < 0, λ2 < 0, λ3 > 0, то в плоскости α1 , α2 имеем устойчивый узел, а в плоскостях α1 , α3 ,α2 , α3 — седла.Заметим, что в ситуациях узла и седла-узла траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.Рассмотрим случай, когда λ3 — действительный корень характеристического уравнения, λ1,2 = γ ± iβ — комплексно-сопряженная пара корней.142Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.12В плоскости α , α имеем фокус, устойчивый при γ < 0,неустойчивый при γ > 0.Если λ3 < 0, γ < 0, то такая точка покоя называется устойчивым фокусом (рис.

9, а).Если λ3 > 0, γ > 0, то такая точка покоя называется неустойчивым фокусом (рис. 9, б).Рис. 9143натянутых на пары собственных векторов. Этот случай уже изученвыше.Если λ1 < 0, λ2 < 0, λ3 < 0, то в плоскостях α1 , α2 , α1 , α3 , α2 , α3 , имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя называется — устойчивым узлом (рис. 7, а).12Если λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 > 0, то в плоскостях α , α , α1 , α3 , α2 , α3 имеем неустойчивые узлы.

Такая точка покояназывается неустойчивым узлом (рис. 7, б).Рис. 8Рис. 7Если один корень имеет знак, противоположный остальнымдвум корням. то точка покоя называется седлом-узлом и являетсянеустойчивой (рис. 8).Пусть,например,λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0. Тогдав плоско1213сти α , α имеем неустойчивый узел, а в плоскостях α , α ,α2 , α3 — седла. Если λ1 < 0, λ2 < 0, λ3 > 0, то в плоскости α1 , α2 имеем устойчивый узел, а в плоскостях α1 , α3 ,α2 , α3 — седла.Заметим, что в ситуациях узла и седла-узла траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.Рассмотрим случай, когда λ3 — действительный корень характеристического уравнения, λ1,2 = γ ± iβ — комплексно-сопряженная пара корней.142Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.12В плоскости α , α имеем фокус, устойчивый при γ < 0,неустойчивый при γ > 0.Если λ3 < 0, γ < 0, то такая точка покоя называется устойчивым фокусом (рис.

9, а).Если λ3 > 0, γ > 0, то такая точка покоя называется неустойчивым фокусом (рис. 9, б).Рис. 9143Если λ3 < 0, γ > 0 или λ3 > 0, γ < 0, то такая особая точка называется седлом-фокусом и является неустойчивой. В первом3случаепо оси α точка по траектории приближается к плоскостиα1 , α2 и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеемфокус (рис. 10, а). Во втором случае на неустойчивый12плоскости α , α имеем устойчивый фокус, поэтому траектория3стремится к оси α , но удаляется от начала координат по этой оси,так как λ3 > 0 (рис. 10, б).• она знакоотрицательна;• V (x1 , . .

Характеристики

Список файлов книги