Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Привести схемы вычислений для интегралаxn+1f (x, y) dx.xnЗапишемxn+1f (x, y) dx ≈h(fn + fn+1 ).2xnПолучим формулуyn+1 = yn +h(fn + fn+1 )2метода Адамса — Мултона второго порядка.157Более точен метод Адамса — Мултона четвертого порядка:yn+1 = yn +h(9fn+1 + 19fn − 5fn=1 + fn−2 ) .24Эти методы также требуют «разгона».Обобщением методов Адамса являются линейные многошаговые методы:kj=0αj yn+j = hkβj fn+j ,n = 0, 1 . . .j=0Если βk = 0, то метод — явный, если βk = 0, то метод — неявный.Есть методы, сочетающие явные и неявные методы.
Таковы,например, методы типа предиктор — корректор (предиктор Pпредсказатель — явный метод, корректор С — неявный метод). Этиметоды содержат обычно и этапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса — Башфорта второго порядка, а в качестве метода С — метод Адамса — Мултонавторого порядка.Схемы методов могут быть записаны в следующем виде:h(3fn − fn−1 ) ;2Е : fn+1 = f (xn+1 , yn+1 ) ;hС : yn+1 = yn + (fn + fn+1 ) ;2Е : fn+1 = f (xn+1 , yn+1 ) .Р : yn+1 = yn +Метод Р «предсказывает», прогнозирует значение yn+1 . Вычисляется значение правой части уравнения.
Оно используется в методе С для коррекции приближения значения yn+1 , затем вычисляется более точное значение правой части уравнения, которое вновьиспользуется в методе Р.15821.4. Сходимость, устойчивость разностных схем,порядок точности методовРассмотрим дифференциальное уравнение y = f (x, y), равномерную сетку на отрезке интегрирования [a, b]: x0 = a, x1 = a ++ h, .
. . , xn = a + nh, . . . , b.Исследуем сеточную функцию f (h) — правую часть уравнения,определенную на сетке f (xk , yk ) , k = 1, . . . , n, yk = y (xk ).Введем аппроксимации производной:yk+=11(yk+1 − yk ) ; yk−= (yk − yk−1 ) ;hh1(yk+1 − yk−1 ) .2hЗадача Коши (дифференциальная задача)% y = f (x, y) ;=yk0y (x0 ) = y0заменяется разностной задачей (разностной схемой)%L (y) = f ;y (x0 ) = y0или Lh y (h) = f (h) .Разностная схема отличается от дифференциального уравнениятем, что функции заменены сеточными, производные — их аппроксимациями.Функция y (h) — решение разностной задачи, y — решение дифференциальной задачи, [y]h — сеточная функция, построенная по y.Дадим определение сходимости разностной схемы с порядком hk .Решение y (h) сходится к решению y с порядком hk , если ||[y]h −−y (h) || ≤ Chk , где C > 0, k > 0, · = maxi [·] .Дадим определение аппроксимации дифференциальной задачи с порядком hk .159Более точен метод Адамса — Мултона четвертого порядка:yn+1 = yn +h(9fn+1 + 19fn − 5fn=1 + fn−2 ) .24Эти методы также требуют «разгона».Обобщением методов Адамса являются линейные многошаговые методы:kj=0αj yn+j = hkβj fn+j ,n = 0, 1 .
. .j=0Если βk = 0, то метод — явный, если βk = 0, то метод — неявный.Есть методы, сочетающие явные и неявные методы. Таковы,например, методы типа предиктор — корректор (предиктор Pпредсказатель — явный метод, корректор С — неявный метод). Этиметоды содержат обычно и этапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса — Башфорта второго порядка, а в качестве метода С — метод Адамса — Мултонавторого порядка.Схемы методов могут быть записаны в следующем виде:h(3fn − fn−1 ) ;2Е : fn+1 = f (xn+1 , yn+1 ) ;hС : yn+1 = yn + (fn + fn+1 ) ;2Е : fn+1 = f (xn+1 , yn+1 ) .Р : yn+1 = yn +Метод Р «предсказывает», прогнозирует значение yn+1 . Вычисляется значение правой части уравнения. Оно используется в методе С для коррекции приближения значения yn+1 , затем вычисляется более точное значение правой части уравнения, которое вновьиспользуется в методе Р.15821.4.
Сходимость, устойчивость разностных схем,порядок точности методовРассмотрим дифференциальное уравнение y = f (x, y), равномерную сетку на отрезке интегрирования [a, b]: x0 = a, x1 = a ++ h, . . . , xn = a + nh, . . . , b.Исследуем сеточную функцию f (h) — правую часть уравнения,определенную на сетке f (xk , yk ) , k = 1, . . . , n, yk = y (xk ).Введем аппроксимации производной:yk+=11(yk+1 − yk ) ; yk−= (yk − yk−1 ) ;hh1(yk+1 − yk−1 ) .2hЗадача Коши (дифференциальная задача)% y = f (x, y) ;=yk0y (x0 ) = y0заменяется разностной задачей (разностной схемой)%L (y) = f ;y (x0 ) = y0или Lh y (h) = f (h) .Разностная схема отличается от дифференциального уравнениятем, что функции заменены сеточными, производные — их аппроксимациями.Функция y (h) — решение разностной задачи, y — решение дифференциальной задачи, [y]h — сеточная функция, построенная по y.Дадим определение сходимости разностной схемы с порядком hk .Решение y (h) сходится к решению y с порядком hk , если ||[y]h −−y (h) || ≤ Chk , где C > 0, k > 0, · = maxi [·] .Дадим определение аппроксимации дифференциальной задачи с порядком hk .159Пусть задача Lh y (h) = f (h) имеет единственное решение.Пусть Lh [y] h = f (h) + δf (h) (δf (h) — невязка).Разностная задача аппроксимирует.
(h)дифференциальную., (h) - задачуk..на решении y с порядком h , если δf≤ C1 hk .= maxh δfП р и м е р. Рассмотрим схему Эйлера для задачи%y = f (x, y) ;y (0) = y0 .Разностная задача имеет видyn+1 − yn= f (xn , yn ) , yn+1 = yn + hf (xn , yn ) ,hyn+1 − yn= y (xn ) + o (h) .hПоэтомуLh [y]h =yn+1 − yn= y (xn ) + o (h) = f (h) (xn ) + o (h) .hТо есть, δf (n) = o (h), следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.З а м е ч а н и е. Ошибку аппроксимации τ можно оценить поправилу Рунге, решая дифференциальное уравнение с шагом h, аhзатем с шагом и сравнивая решения:2, (h)y − y (h/2)- ≈ 2p ,τ = , (h/2)− y (h/4)yгде p — порядок аппроксимации.Введем понятие устойчивости разностной схемы.Разностная схеманазываетсяустойчивой, если ∃h0 , δ > 0, что..для ∀h < h0 , ∀ .
ε(h) . < δ разностная задача Lh z (h) = f (h) ++ ε(h) имеет единственное решение z (h) такое, что ||z (h) − y (h) || ≤≤ ||С ε(h) ||. Другими словами, при малых возмущениях f (h) маловозмущается y (h) .160Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении y с порядком hk и устойчива. Тогдарешениеразностнойзадачи сходится к y с порядком hk , причем...[y] − y (h) . ≤ CC1 hk . Здесь С — константа устойчивости; C1h— константа аппроксимации.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε(h) = δf (h) . По единственностирешения (определение устойчивости)аппроксима..
и определению....ции [y]h = z (h) . Тогда .[y]h − y (h) . ≤ C . ε(h) . = C . δf (h) . ≤≤ CC1 hk . При ε(h) = δf (h) имеем z (h) = [y]h .Пусть задача Lh y (h) = f (h) имеет единственное решение.Пусть Lh [y] h = f (h) + δf (h) (δf (h) — невязка).Разностная задача аппроксимирует. (h)дифференциальную., (h) - задачуk..на решении y с порядком h , если δf≤ C1 hk .= maxh δfП р и м е р.
Рассмотрим схему Эйлера для задачи%y = f (x, y) ;y (0) = y0 .Разностная задача имеет видyn+1 − yn= f (xn , yn ) , yn+1 = yn + hf (xn , yn ) ,hyn+1 − yn= y (xn ) + o (h) .hПоэтомуLh [y]h =yn+1 − yn= y (xn ) + o (h) = f (h) (xn ) + o (h) .hТо есть, δf (n) = o (h), следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.З а м е ч а н и е.
Ошибку аппроксимации τ можно оценить поправилу Рунге, решая дифференциальное уравнение с шагом h, аhзатем с шагом и сравнивая решения:2, (h)y − y (h/2)- ≈ 2p ,τ = , (h/2)− y (h/4)yгде p — порядок аппроксимации.Введем понятие устойчивости разностной схемы.Разностная схеманазываетсяустойчивой, если ∃h0 , δ > 0, что..для ∀h < h0 , ∀ . ε(h) . < δ разностная задача Lh z (h) = f (h) ++ ε(h) имеет единственное решение z (h) такое, что ||z (h) − y (h) || ≤≤ ||С ε(h) ||. Другими словами, при малых возмущениях f (h) маловозмущается y (h) .160Теорема.
Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении y с порядком hk и устойчива. Тогдарешениеразностнойзадачи сходится к y с порядком hk , причем...[y] − y (h) . ≤ CC1 hk . Здесь С — константа устойчивости; C1h— константа аппроксимации.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε(h) = δf (h) . По единственностирешения (определение устойчивости)аппроксима.. и определению....ции [y]h = z (h) . Тогда .[y]h − y (h) . ≤ C . ε(h) . = C . δf (h) . ≤≤ CC1 hk . При ε(h) = δf (h) имеем z (h) = [y]h .ОГЛАВЛЕНИЕСПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н.
Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред.В.С. Зарубина и А.П. Крищенко. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальныеуравнения: Учеб. для вузов / Под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
