Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛАЕсли на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбратьравной y1 , то на последнем отрезке высота прямоугольника будетравна yn . Получим вторую формулу прямоугольниковbf (x) dx ≈ h (y1 + . . . + yn ).aОценим погрешность формул прямоугольников. Разложимфункцию f (x) в ряд Тейлора и оценим остаточный член.147bf (x) dx =n−1k=0ax0 +(k+1)hyk + y (θ) h dx x0 +kh h (y0 + . . . + yn−1 ) + M h2 n = h (y0 + . . . + yn−1 ) ++ M (b − a) h,где M = max[a, b] f (x) .Для второй формулы прямоугольниковbf (x) dx =n−1k=0ax0 +(k+1)hx0 +kh hhf (x) dx ≈ h f x0 ++ .
. . + f xn−1 +.22af (x) dx =a148k=0x0 +(k+1)hfx0 +khhxk +2bf (x) dx ≈h11y0 + y1 + . . . + yn−1 + yn .22aПоясним название формулы. Приблизим площадь под графиком функции на отрезке [kh, (k + 1) h] площадью трапеции1(yk + yk+1 ). Суммируя площади по всему отрезку интегриро2вания, получаемba+fhxk +2 h1 h 2dx + f (θ) x − xk −× x − xk −222 hh h f x0 ++ . . . + f xn−1 ++22Сложим первую и вторую формулы прямоугольников и разделим пополам.
Получим формулу трапеций1(y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + . . . + yn−2 + yn−1 +211+ yn−1 + yn ) = hy0 + y1 + . . . + yn−1 + yn .22f (x)dx =Оценим погрешность этой формулы:n−120.2. Формула трапецийгде M = max[a, b] f (x) .Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.Можно повысить точность формул прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получим третью формулу прямоугольниковbТаким образом, погрешность третьей формулы прямоугольниM2ков не превышает(b − a) h2 , где M2 = max[a,b] f (x).
Эта фор24мула прямоугольников имеет второй порядок точности.yk+1 + y (θ) h dx h (y1 + . . . + yn ) + M h2 n = h (y1 + . . . + yn ) + M (b − a) h,b h 1h 2 x0 +(k+1)hx − xk −+f xk ++2 22 x0 +khk=0 1 1h 3 x0 +(k+1)hx − xk −+ f (θ)232 x0 +kh M2hh(b − a) h2 .+ . . . + f xn−1 ++0+ h f x0 +2422n−1Для первой формулы прямоугольников×Аппроксимируем функцию кусочно-линейной функцией, значения которой совпадают со значениями функции в точках разбиения.
Площадь под графиком кусочно-линейной функции на отрезке[kh, (k + 1) h] составитyk h +11(yk+1 − yk ) h = (yk + yk+1 ) .22149bf (x) dx =n−1k=0ax0 +(k+1)hyk + y (θ) h dx x0 +kh h (y0 + . . . + yn−1 ) + M h2 n = h (y0 + . . . + yn−1 ) ++ M (b − a) h,где M = max[a, b] f (x) .Для второй формулы прямоугольниковbf (x) dx =n−1k=0ax0 +(k+1)hx0 +kh hhf (x) dx ≈ h f x0 ++ . .
. + f xn−1 +.22af (x) dx =a148k=0x0 +(k+1)hfx0 +khhxk +2bf (x) dx ≈h11y0 + y1 + . . . + yn−1 + yn .22aПоясним название формулы. Приблизим площадь под графиком функции на отрезке [kh, (k + 1) h] площадью трапеции1(yk + yk+1 ). Суммируя площади по всему отрезку интегриро2вания, получаемba+fhxk +2 h1 h 2dx + f (θ) x − xk −× x − xk −222 hh h f x0 ++ .
. . + f xn−1 ++22Сложим первую и вторую формулы прямоугольников и разделим пополам. Получим формулу трапеций1(y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + . . . + yn−2 + yn−1 +211+ yn−1 + yn ) = hy0 + y1 + . . . + yn−1 + yn .22f (x)dx =Оценим погрешность этой формулы:n−120.2. Формула трапецийгде M = max[a, b] f (x) .Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.Можно повысить точность формул прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получим третью формулу прямоугольниковbТаким образом, погрешность третьей формулы прямоугольниM2ков не превышает(b − a) h2 , где M2 = max[a,b] f (x).
Эта фор24мула прямоугольников имеет второй порядок точности.yk+1 + y (θ) h dx h (y1 + . . . + yn ) + M h2 n = h (y1 + . . . + yn ) + M (b − a) h,b h 1h 2 x0 +(k+1)hx − xk −+f xk ++2 22 x0 +khk=0 1 1h 3 x0 +(k+1)hx − xk −+ f (θ)232 x0 +kh M2hh(b − a) h2 .+ .
. . + f xn−1 ++0+ h f x0 +2422n−1Для первой формулы прямоугольников×Аппроксимируем функцию кусочно-линейной функцией, значения которой совпадают со значениями функции в точках разбиения. Площадь под графиком кусочно-линейной функции на отрезке[kh, (k + 1) h] составитyk h +11(yk+1 − yk ) h = (yk + yk+1 ) .22149Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получаемвновь формулу трапеций.Можно показать, что формула трапеций — формула второго порядка точности.
Погрешность вычисления интеграла с помощьюM2этой формулы не превышает(b − a) h2 , т. е. в два раза больше,12чем по третьей формуле прямоугольников.20.3. Формула СимпсонаАппроксимируем функцию f (x)на отрезке разбиения квадратичной функцией fq = ax2 + bx + c так, чтобыf (kh) = fq (kh) , f ((k + 1)h) = fq ((k + 1)h) , f ((k + 2) h) == fq ((k + 2) h) , k = 0, 2, . . .Лемма.*+v 2u−vu+vax + bx + c dx =fq (u) + 4fq () + fq (v) .62uД о к а з а т е л ь с т в о. Докажем лемму для u = kh, v = (k+2)h.Сделаем замену переменных z = x − (k + 1)h.Тогда формула сведется к следующей:h 2hax + bx + c dx = [fq (−h) + 4fq (0) + fq (h)].3−hЛевая часть исходного равенства имеет видh−h112ax2 + bx + c dx = ax3 |h−h + bx2 |h−h + 2ch = ah3 + 2ch.323Правая часть исходного равенства имеет вид- 2h, 2ah − bh + c + 4c + ah2 + bh + c = ah3 + 2ch.33Лемма доказана.150Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на 2n частей (h =b−a).
Применяя лемму к отрезкам [x0 , x0 + 2h], [x0 + 2h, x0 +=2n+ 4h],. . . , получаем формулу Симпсонаbf (x) dx ≈h[y0 + 4y1 + y2 + y2 + 4y3 + y4 + . . . + y2n−2 +3a+ 4y2n−1 + y2n ] =h[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . . +3+ 2y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ].Можно показать, что формула Симпсона — формула четвертого порядка точности, ее погрешность не превосходит значенияM4 (b − a) 4h , где M4 = max[a,b] f (IV ) (x).
Это означает, что при180интегрировании многочлена третьей степени формула Симпсонаточна, ее погрешность равна нулю.11П р и м е р. Вычислить приближенно интеграл I = x3 dx =401с шагом h = .4Вычислим значение интеграла I и оценку ε погрешности вычисления.По первой формуле прямоугольников (см. разд. 20.1)111 27I=0++ += 0, 14, ε = 0, 11.464 8 64По второй формуле прямоугольников (см. разд.
20.1)1 11 27I=+ ++ 1 = 0, 39, ε = 0, 14.4 64 8 64По третьей формуле прямоугольников (см. разд. 20.1)125 3431127+= 0, 242, ε = 0, 008.I=++4 216 216 216 216151Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получаемвновь формулу трапеций.Можно показать, что формула трапеций — формула второго порядка точности. Погрешность вычисления интеграла с помощьюM2этой формулы не превышает(b − a) h2 , т. е. в два раза больше,12чем по третьей формуле прямоугольников.20.3. Формула СимпсонаАппроксимируем функцию f (x)на отрезке разбиения квадратичной функцией fq = ax2 + bx + c так, чтобыf (kh) = fq (kh) , f ((k + 1)h) = fq ((k + 1)h) , f ((k + 2) h) == fq ((k + 2) h) , k = 0, 2, .
. .Лемма.*+v 2u−vu+vax + bx + c dx =fq (u) + 4fq () + fq (v) .62uД о к а з а т е л ь с т в о. Докажем лемму для u = kh, v = (k+2)h.Сделаем замену переменных z = x − (k + 1)h.Тогда формула сведется к следующей:h 2hax + bx + c dx = [fq (−h) + 4fq (0) + fq (h)].3−hЛевая часть исходного равенства имеет видh−h112ax2 + bx + c dx = ax3 |h−h + bx2 |h−h + 2ch = ah3 + 2ch.323Правая часть исходного равенства имеет вид- 2h, 2ah − bh + c + 4c + ah2 + bh + c = ah3 + 2ch.33Лемма доказана.150Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на 2n частей (h =b−a). Применяя лемму к отрезкам [x0 , x0 + 2h], [x0 + 2h, x0 +=2n+ 4h],.
. . , получаем формулу Симпсонаbf (x) dx ≈h[y0 + 4y1 + y2 + y2 + 4y3 + y4 + . . . + y2n−2 +3a+ 4y2n−1 + y2n ] =h[y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . . +3+ 2y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ].Можно показать, что формула Симпсона — формула четвертого порядка точности, ее погрешность не превосходит значенияM4 (b − a) 4h , где M4 = max[a,b] f (IV ) (x). Это означает, что при180интегрировании многочлена третьей степени формула Симпсонаточна, ее погрешность равна нулю.11П р и м е р. Вычислить приближенно интеграл I = x3 dx =401с шагом h = .4Вычислим значение интеграла I и оценку ε погрешности вычисления.По первой формуле прямоугольников (см. разд. 20.1)111 27I=0++ += 0, 14, ε = 0, 11.464 8 64По второй формуле прямоугольников (см.
разд. 20.1)1 11 27I=+ ++ 1 = 0, 39, ε = 0, 14.4 64 8 64По третьей формуле прямоугольников (см. разд. 20.1)125 3431127+= 0, 242, ε = 0, 008.I=++4 216 216 216 216151Подставим в функцию Δ (xn , yn , h) производные, вычисленные из исходного дифференциального уравнения:По формуле трапеций (см. разд. 20.1)I=1(0, 14 + 0, 39) = 0, 265,2ε = 0, 115.По формуле Симпсона142 4 · 27+ 1 = 0, 25,I=0++ +641264 8ε = 0.Будем рассматривать схемы численных методов для уравненияпервого порядкаy = f (x, y) , y (x0 ) = y0 .Это самый простой случай, но к нему по аналогии сводятся схемы методов решения для системы дифференциальных уравнений идифференциального уравнения n-го порядка.21.1.
Методы, основанные на разложении функциив ряд ТейлораЗапишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки x2xx−+ ...y (x) = y x + y x x − x + y x2!Рассмотрим равномерную сетку по x : a = x0 , x0 + h, x0 ++ 2h, . . . , x0 + nh, . . .Пусть x = xn , x = xn+1 , xn+1 − xn = h, тогда разложениефункции в ряд Тейлора можно записать в видеhyn+1 = yn + h y (xn ) + y (xn ) + .
. . = yn + hΔ (xn , yn , h) ,2152y (xn ) = (f (x, y)) (xn , yn ) == fx (xn , yn ) + fy (xn , yn ) y (xn , yn ) =21. ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯЗАДАЧИ КОШИгде Δ (xn , yn , h) = y (xn ) + y (xn ) h2 + . . .y (xn ) = f (xn , yn ) ,= fx (xn , yn ) + fy (xn , yn ) f (xn , yn ) .Тогда Δ (xn , yn , h) ≈ ϕ (xn , yn , h) = f (xn , yn )+ h2 (fx (xn , yn )++ fy (xn , yn ) f (xn , yn )),yn+1 = yn + hϕ (xn , yn , h) .Это основная расчетная формула метода.Учитывая в ϕ (xn , yn , h) слагаемые с производными высшихпорядков, получим более точные приближенные формулы.Если взять ϕ (xn , yn , h) = f (xn , yn ), то получим метод Эйлера:yn+1 = yn + hf (xn , yn ) .21.2.
Методы Рунге — КуттаОсновная идея методов Рунге — Кутта заключается в том,что вместо вычисления производных высших порядков в функцииϕ (xn , yn , h) вычисляются значения в некоторых точках, отличныхот xn .Выберемϕ (xn , yn , h) = c1 f (x, y) + c2 f (x + ha2 , y + hb21 f (x, y)) .Разложим функцию ϕ (xn , yn , h) по h:ϕ (xn , yn , h) = c1 f (x, y) + c2 f (x, y) + c2 fx (x, y) ha2 ++ c2 fy (x, y) hb21 f (x, y) + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
