Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 33
Текст из файла (страница 33)
. . , xn ) и изменяющей это положение сизменением времени t. Таким образом, движение — это частноерешение системы дифференциальных уравнений.Зададим некоторые начальные условия t0 , x (t0 ) = x0 . Пусть∂fkвыполняются условия теоремы Коши (непрерывны функции f,∂xsk = 1, .
. . , n, s = 1, . . . , n в рассматриваемой области). Тогда через любую точку рассматриваемой области расширенного фазовогопространства (t0 , x01 , . . . , x0n ) проходит единственная интегральная кривая — график частного решения x (t, t0 , x01 , . . . , x0n ).Назовем движение, «начинающееся» в точке (t0 , x01 , . . . , x0n ), невозмущенным движением x (t, t0 , x01 , .
. . , x0n ). Если «возмутить»— несколько изменить начальные условия в фазовом пространстве,выбрать их t0 , x 01 , . . . , x 0n , то изменится и движение. Назовемдвижение, «начинающееся» в точке t0 , x 01 , . . . , x 0n , возмущенным движением x t, t0 , x 01 , . . . , x 0n . Если возмущение начальных условий невелико, то в некоторой окрестности начальной точкитраектории — движения тоже близки.Справедлива теорема о непрерывности решения по начальным условиям.
Пустьусловия теоремы Коши. Тогда выполнены∀ε > 0 ∃ δ (ε) > 0, x0k − x 0k < δ ⇒xk t, t0 , x 01 , . . . , x 0n −−xk (t, t0 , x01 , . . . , x0n ) < ε при (k = 1, . . . , n), |t − t0 | < δ (ε) .Отсюда видно, что близость возмущенного и невозмущенногодвижений гарантируется в некоторой временной окрестности, размер которой зависит от размеров трубки — окрестности («допуска») в фазовом пространстве координат.134В практике встречаются процессы, для которых надо гарантировать близость возмущенного и невозмущенного движений прилюбом времени t > T (важно, чтобы существовало это некотороевремя T ).Например, запустив спутник на орбиту, полезно быть уверенным, что он не свалится нам на голову через 10 или 100 лет, а будет«вечно» находиться на орбите.В наше время приходится сталкиваться с экологическими проблемами.
Кто же знал, конструируя двигатель внутреннего сгорания, что через некоторое время использование этого открытия поставит под угрозу существование жизни на Земле?Рассматривая близость возмущенного и невозмущенного движений при любом времени t > T , мы приходим к определениюустойчивости движения по Ляпунову.Движение называетсяустойчивымЛяпунову, если ∀ε >по > 0 ∃ δ (ε) > 0, ∃T : x0k − x 0k < δ ⇒xk t, t0 , x 01 , . . .
, x 0n −−xk (t, t0 , x01 , . . . , x0n ) < ε при (k = 1, . . . , n), ∀t > T.Смысл определения в том, что для любого размера окрестности «допуска» (по фазовым координатам) невозмущенного движения существует размер окрестности, в которой можно «возмутить»начальные условия. Причем это возмущение приведет к тому, чтовозмущенное движение после некоторого момента времени Т войдет в окрестность «допуска» и останется в этой окрестности прилюбом t > T .Если движение устойчиво по Ляпунову и limt→∞ x(t, t0 , x̄ 0 ) −−x(t, t0 , x0 ) = 0, то такое движение называется асимптотическиустойчивым.Если движение асимптотически устойчиво, то возмущенноедвижение с ростом времени стремится к невозмущенному.Движение называется неустойчивым по Ляпунову,если∃ε > 0 ∀ δ (ε) > 0, ∃T, ∃s ∈ [1, n] : x0k − x 0k < δ ⇒ ⇒ xs t, t0 , x 01 , .
. . , x 0n − xs (t, t0 , x01 , . . . , x0n ) ε при(k = 1, . . . , n) , ∀t > T.135Смысл этого определения в том, что как бы ни было мало возмущение начальных условий, все равно со временем хотя бы по однойкоординате возмущенное движение выйдет из некоторой окрестности («допуска») невозмущенного движения.Теорема. Задача об устойчивости движения может быть сведена к задаче об устойчивости тривиального (тождественно равногонулю) решения системы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим z = x(t, t0 , x 0 ) −x (t, t0 , x0 ).Тогдаz˙ = x˙ (t, t0 , x 0 ) − x˙ (t, t0 , x0 ) = f(t, x(t, t0 , x 0 ))−− f(t, x (t, t0 , x̄0 )) = f(t, (z + x (t, t0 , x0 ))) − f(t, x (t, t0 , x0 )).При z (t) ≡ 0 имеем z˙ (t) = 0, поэтому задача об устойчивостидвижения для исходной системы уравнений может быть замененаэквивалентной ей задачей об устойчивости тривиального решениядля системыz˙ = f(t, (z + x (t, t0 , x0 ))) − f(t, x (t, t0 , x0 )).Поэтому обычно заранее делают указанную замену и исследуют задачу об устойчивости тривиального решения.Таким образом, задача об устойчивости движения может бытьсведена для автономной системы к исследованию характера ее точки покоя x = 0 (при рассмотрении свойств автономных систем было показано: если x = 0 — точка покоя, то x (t) ≡ 0 — решениесистемы).Рассмотрим устойчивость по первому приближению.Будем рассматривать автономную систему x˙ = f (x) и систему∂ f|x=0 .первого приближения для нее x˙ = Ax, A =∂xЗаметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пусть функции fk (x1 , . . . , xn ) непрерывны и непрерывно136дифференцируемы по x1 , . . . , xn и⎞α⎛ n|fk (x1 , . . . , xn )| ⎝x2s ⎠ , (α > 0) , k = 1, . . . , n.s=1Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.Если хотя бы одно собственное число имеет положительнуюдействительную часть, то тривиальное решение неустойчиво. (Бездоказательства.)П р и м е р.
Исследовать тривиальное решение системы наустойчивость%ẋ = sin x + 1 − cos2 y;ẏ = x + sin y.Система первого приближения имеет вид%1 0ẋ = x;A=;1 1ẏ = x + y;01− λ|A − λE| == (λ − 1)2 = 0; λ1 = λ2 = 1.−1 1 − λТривиальное решение неустойчиво.П р и м е р. Исследовать тривиальное решение системы наустойчивость%ẋ = − sin x + 1 − cos2 y;ẏ = x − sin y.Система первого приближения имеет вид%−1 0ẋ = −x;A=;1 −1ẏ = x − y;−1 − λ0|A − λE| == (λ + 1)2 = 0, λ1 = λ2 = −1.1−1 − λ137Смысл этого определения в том, что как бы ни было мало возмущение начальных условий, все равно со временем хотя бы по однойкоординате возмущенное движение выйдет из некоторой окрестности («допуска») невозмущенного движения.Теорема.
Задача об устойчивости движения может быть сведена к задаче об устойчивости тривиального (тождественно равногонулю) решения системы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим z = x(t, t0 , x 0 ) −x (t, t0 , x0 ).Тогдаz˙ = x˙ (t, t0 , x 0 ) − x˙ (t, t0 , x0 ) = f(t, x(t, t0 , x 0 ))−− f(t, x (t, t0 , x̄0 )) = f(t, (z + x (t, t0 , x0 ))) − f(t, x (t, t0 , x0 )).При z (t) ≡ 0 имеем z˙ (t) = 0, поэтому задача об устойчивостидвижения для исходной системы уравнений может быть замененаэквивалентной ей задачей об устойчивости тривиального решениядля системыz˙ = f(t, (z + x (t, t0 , x0 ))) − f(t, x (t, t0 , x0 )).Поэтому обычно заранее делают указанную замену и исследуют задачу об устойчивости тривиального решения.Таким образом, задача об устойчивости движения может бытьсведена для автономной системы к исследованию характера ее точки покоя x = 0 (при рассмотрении свойств автономных систем было показано: если x = 0 — точка покоя, то x (t) ≡ 0 — решениесистемы).Рассмотрим устойчивость по первому приближению.Будем рассматривать автономную систему x˙ = f (x) и систему∂ f|x=0 .первого приближения для нее x˙ = Ax, A =∂xЗаметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пусть функции fk (x1 , . . . , xn ) непрерывны и непрерывно136дифференцируемы по x1 , . . . , xn и⎞α⎛ n|fk (x1 , . . . , xn )| ⎝x2s ⎠ , (α > 0) , k = 1, . . . , n.s=1Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.Если хотя бы одно собственное число имеет положительнуюдействительную часть, то тривиальное решение неустойчиво. (Бездоказательства.)П р и м е р.
Исследовать тривиальное решение системы наустойчивость%ẋ = sin x + 1 − cos2 y;ẏ = x + sin y.Система первого приближения имеет вид%1 0ẋ = x;A=;1 1ẏ = x + y;01− λ|A − λE| == (λ − 1)2 = 0; λ1 = λ2 = 1.−1 1 − λТривиальное решение неустойчиво.П р и м е р. Исследовать тривиальное решение системы наустойчивость%ẋ = − sin x + 1 − cos2 y;ẏ = x − sin y.Система первого приближения имеет вид%−1 0ẋ = −x;A=;1 −1ẏ = x − y;−1 − λ0|A − λE| == (λ + 1)2 = 0, λ1 = λ2 = −1.1−1 − λ137Тривиальное решение устойчиво.Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя,то, зная поведение решений в окрестности различных точек покоя,мы выясним тем самым поведение траекторий систем.Рассмотрим классификацию точек покоя для автономных систем второго порядка.Запишем уравнение автономной системы второго порядка в векторной форме x˙ = Ax и в покоординатной форме%ẋ = a11 x + a12 y;ẏ = a21 x + a22 y.Будем классифицировать точку покоя x0=.y0В случае действительных корней характеристического уравнения λ1 , λ2 решение системы можно записать так: x12= C1 e λ1 t α + C2 e λ2 t α .yРассматриваем траектории движения (интегральные кривые системы) в окрестности точки покоя.Заметим, что первое слагаемое решения системы — это проек1ция траектории на ось α , второе слагаемое — проекция на ось.Если λ1 > 0, λ2 > 0, то при t < 0 получим те же траектории,что и при t → ∞, но стрелки на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
