Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В любой точке(x0, y10, . . . , yn0 ) для однородной системы выполнены условия теоремы Коши, следовательно, через любую такую точку пройдетединственная интегральная кривая (график решения однороднойсистемы). Зададим такие точки — начальные условия, которые потеореме Коши определят решения⎛⎞1⎜ 0 ⎟⎟y1 (x) , y1 (x0 ) = ⎜⎝ ... ⎠;0⎛⎞⎛0⎜ 1 ⎟⎜⎟⎜y2 (x) , y2 (x0 ) = ⎜⎝ . . .
⎠ , . . . , yn (x) , ȳn (x0 ) = ⎝0118⎞00 ⎟⎟.... ⎠1Эти решения линейно независимы, так как 10...0 01 . . . 0 W (x0 ) = = 1 = 0. ... ... ... ... 00 ... 1 Таким образом существование n линейно независимых решений однородной системы доказано.Докажем второе утверждение.Рассмотрим произвольное решение однородной системы y̆ (x).В точке x0 вектор y̆ (x0 ) разлагается по естественному базису⎛⎞⎛⎞⎛⎞100⎜ 0 ⎟⎜ 1 ⎟⎜ 0 ⎟⎟⎜⎟⎜⎟y1 (x0 ) = ⎜⎝ .
. . ⎠ , y2 (x0 ) = ⎝ . . . ⎠ , . . . , ȳn (x0 ) = ⎝ . . . ⎠ .001Поэтому y̆ (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) .Рассмотрим решение y̆ (x) = C1 y1 (x)+. . .+Cn yn (x) — линейную комбинацию этих линейно независимых решений. Оно имеетте же начальные условия, что и выбранное произвольное решениеy (x). Следовательно, по теореме Коши выбранное произвольноерешение y (x) и есть (т. е. тождественно равно) y (x) = C1 y1 (x) ++ . . . + Cn yn (x). Поэтому произвольное решение линейно выражается через выбранные линейно независимые решения. Теоремадоказана.Любые n линейно независимых решений однородной системыпредставляют собой базис в пространстве решений и называютсяфундаментальной системой решений однородной системы.Матрица Y (x), составленная из этих решений (det Y (x)) == W (x) = 0, называется фундаментальной матрицей однороднойсистемы.Теорема о структуре общего решения однородной системы.Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы решений.yoo (x) = C1 y1 (x) + .
. . + Cn yn (x) .119Следствие. Равенство определителя Вронского нулю для решений однородной системы хотя бы в одной точке — критерий линейной зависимости решений, отличие определителя Вронского отнуля для решений однородной системы хотя бы в одной точке —критерий линейной независимости решений.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ∃x0 : W (x0 ) = 0, тогда решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы. Если решенияy1 (x) , . .
. , yn (x) линейно зависимы, то W (x) ≡ 0 по теореме о равенстве определителя Вронского нулю для системы линейно зависимых функций. Заметим, что тогда ∃x0 : W (x0 ) = 0 ⇒ W (x) ≡ 0.Пусть ∃x0 : W (x0 ) = 0. Если решения y1 (x) , . . . , yn (x) линейно зависимы, то W (x) ≡ 0 (пришли к противоречию). Пустьрешения линейно независимы. Если ∃x0 : W (x0 ) = 0, то решенияy1 (x) , . . .
, yn (x) линейно зависимы (пришли к противоречию).Теорема. Размерность пространства решений однородной системы равна n.Д о к а з а т е л ь с т в о. Надо доказать, что: 1) существуют nлинейно независимых решений однородной системы; 2) любое решение однородной системы линейно выражается через эти линейнонезависимые решения.Докажем первое утверждение теоремы. В любой точке(x0, y10, .
. . , yn0 ) для однородной системы выполнены условия теоремы Коши, следовательно, через любую такую точку пройдетединственная интегральная кривая (график решения однороднойсистемы). Зададим такие точки — начальные условия, которые потеореме Коши определят решения⎛⎞1⎜ 0 ⎟⎟y1 (x) , y1 (x0 ) = ⎜⎝ ... ⎠;0⎛⎞⎛0⎜ 1 ⎟⎜⎟⎜y2 (x) , y2 (x0 ) = ⎜⎝ . . . ⎠ , .
. . , yn (x) , ȳn (x0 ) = ⎝0118⎞00 ⎟⎟.... ⎠1Эти решения линейно независимы, так как 10...0 01 . . . 0 W (x0 ) = = 1 = 0. ... ... ... ... 00 ... 1 Таким образом существование n линейно независимых решений однородной системы доказано.Докажем второе утверждение.Рассмотрим произвольное решение однородной системы y̆ (x).В точке x0 вектор y̆ (x0 ) разлагается по естественному базису⎛⎞⎛⎞⎛⎞100⎜ 0 ⎟⎜ 1 ⎟⎜ 0 ⎟⎟⎜⎟⎜⎟y1 (x0 ) = ⎜⎝ . .
. ⎠ , y2 (x0 ) = ⎝ . . . ⎠ , . . . , ȳn (x0 ) = ⎝ . . . ⎠ .001Поэтому y̆ (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) .Рассмотрим решение y̆ (x) = C1 y1 (x)+. . .+Cn yn (x) — линейную комбинацию этих линейно независимых решений. Оно имеетте же начальные условия, что и выбранное произвольное решениеy (x). Следовательно, по теореме Коши выбранное произвольноерешение y (x) и есть (т.
е. тождественно равно) y (x) = C1 y1 (x) ++ . . . + Cn yn (x). Поэтому произвольное решение линейно выражается через выбранные линейно независимые решения. Теоремадоказана.Любые n линейно независимых решений однородной системыпредставляют собой базис в пространстве решений и называютсяфундаментальной системой решений однородной системы.Матрица Y (x), составленная из этих решений (det Y (x)) == W (x) = 0, называется фундаментальной матрицей однороднойсистемы.Теорема о структуре общего решения однородной системы.Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы решений.yoo (x) = C1 y1 (x) + .
. . + Cn yn (x) .119Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим, что yoo (x) = C1 y1 (x) + . . . ++ Cn yn (x) является общим решением, исходя из пунктов определения общего решения:1) yoo (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) — решение однороднойсистемы как линейная комбинация ее решений (теорема о свойствахрешений);2) зададим произвольные начальные условия⎞y01y0 = ⎝ .
. . ⎠y0n⎛и покажем, что можно единственным образом выбрать набор констант C1 , . . . , Cn , при котором yoo (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + . . . ++Cn yn (x0 ) = y0 . Запишем это соотношение покоординатно каксистему уравнений относительно C1 , . . . , Cn , т.
е. ⇒C = Y −1 (x0 ) y0 ,y (x0 ) = y0 = Y (x0 ) C = Y (x) Y −1 (x0 ) y0 = K (x, x0 ) y0 .y (x) = Y (x) CМатрица K (x, x0 ) = Y (x) Y −1 (x0 ) называется матрицей Коши,y (x) = K (x, x0 ) y0 .Теорема. Фундаментальная матрица удовлетворяет однородной системе Y (x) = A (x) Y (x).Д о к а з а т е л ь с т в о. Столбцы фундаментальной матрицы являются решениями однородной системы. Объединяя записьy k (x) = A (x) yk (x) , k = 1, . . . , n в матрицу, получим утверждение теоремы.Рассмотрим формулу Остроградского — Лиувилля.⎛ x⎞W (x) = C expTrA (x) dx = W (x0 ) exp ⎝ TrA (x) dx⎠ ;x0C1 y11 (x0 ) + . .
. + Cn yn1 (x0 ) = y01 ;C1 y12 (x0 ) + . . . + Cn yn2 (x0 ) = y02 ;.................................C1 y1n (x0 ) + . . . + Cn ynn (x0 ) = y0n .Определитель этой системы равен W (x0 ) = 0, так как решениялинейно независимы. Поэтому набор констант C1 , . . . , Cn определяется из системы уравнений единственным образом. Теорема доказана.Следствие. Общее решение однородной системы можно записать в виде⎛⎞C1 C = ⎝ ... ⎠.yoo (x) = Y (x) C,CnВведем определение матрицы Коши (матрициант).Пусть надо записать решение задачи Коши, удовлетворяющееначальным условиям y (x0 ) = y0 :120TrA (x) = a11 (x) + a22 (x) + . .
. + ann (x) .Выведем эту формулу.Фундаментальная матрица системы является решением однородной системы. Запишем уравнение для k-го столбца фундаментальной матрицы — координат решения yk :⎛ ⎞ ⎛⎞⎛⎞yka11 . . . a1nyk1⎝ ... ⎠ = ⎝ ... ... ... ⎠⎝ ... ⎠.yk nan1 . .
. annyknОтсюда yks= as1 yk1 + as2 yk2 + . . . + asn ykn .Запишем определитель Вронского и продифференцируем его,подставляя вместо производных координат решений полученноесоотношение: y11y2 1...yn 1 .......... . . W (x) = y; 1 n−1 y2 n−1 . . . yn n−1 y1 ny2 n...yn n 121Д о к а з а т е л ь с т в о.
Проверим, что yoo (x) = C1 y1 (x) + . . . ++ Cn yn (x) является общим решением, исходя из пунктов определения общего решения:1) yoo (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x) — решение однороднойсистемы как линейная комбинация ее решений (теорема о свойствахрешений);2) зададим произвольные начальные условия⎞y01y0 = ⎝ . . . ⎠y0n⎛и покажем, что можно единственным образом выбрать набор констант C1 , . . . , Cn , при котором yoo (x0 ) = C1 y1 (x0 ) + .
. . ++Cn yn (x0 ) = y0 . Запишем это соотношение покоординатно каксистему уравнений относительно C1 , . . . , Cn , т. е. ⇒C = Y −1 (x0 ) y0 ,y (x0 ) = y0 = Y (x0 ) C = Y (x) Y −1 (x0 ) y0 = K (x, x0 ) y0 .y (x) = Y (x) CМатрица K (x, x0 ) = Y (x) Y −1 (x0 ) называется матрицей Коши,y (x) = K (x, x0 ) y0 .Теорема. Фундаментальная матрица удовлетворяет однородной системе Y (x) = A (x) Y (x).Д о к а з а т е л ь с т в о. Столбцы фундаментальной матрицы являются решениями однородной системы.
Объединяя записьy k (x) = A (x) yk (x) , k = 1, . . . , n в матрицу, получим утверждение теоремы.Рассмотрим формулу Остроградского — Лиувилля.⎛ x⎞W (x) = C expTrA (x) dx = W (x0 ) exp ⎝ TrA (x) dx⎠ ;x0C1 y11 (x0 ) + . . . + Cn yn1 (x0 ) = y01 ;C1 y12 (x0 ) + . . . + Cn yn2 (x0 ) = y02 ;.................................C1 y1n (x0 ) + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
