Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения (2007) (1135775), страница 35
Текст из файла (страница 35)
. , xn ) = 0 ⇔ x1 = 0, . . . , xn = 0.Назовем функцию V (x1 , . . . , xn ) знакоопределенной, если онаявляется отрицательно-определенной или положительно-определенной.Введем производную функции V (x1 , . . . , xn ) в силу системыx˙ = f (x):ndV∂V=fk .dt∂xkk=1Заметим, что−−→dV= gradV, f .dtПоэтому еслиdV< 0,dtРис. 10Рассмотрим функцию Ляпунова, «вторую методу Ляпунова».Пусть автономная система имеет вид⎞⎛x1x˙ = f (x) , x = ⎝ . . .
⎠ .xnВведем функцию Ляпунова V (x1 , . . . , xn ).Назовем эту функцию знакоположительной, если V (x1 , . . . ,. . . xn ) 0, и знакоотрицательной, если V (x1 , . . . , xn ) 0.Назовем функцию V (x1 , . . . , xn ) положительно-определенной, если:• она знакоположительна;• V (x1 , . . . , xn ) = 0 ⇔ x1 = 0, . . . , xn = 0.Назовем функцию V (x1 , . . . , xn ) отрицательно-определенной,если:144то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движениюпо фазовым траекториям внутрь линии уровня V (x1 , .
. . , xn ) = С .На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводитсяк трем теоремам Ляпунова.Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функция V (x1 , . . . , xn ) (функция Ляпунова), положительно-определенdVная и имеющая знакоотрицательную производнуюв некоторойdtокрестности точки x = 0. Тогда тривиальное решение автономнойсистемы x (t) ≡ 0 устойчиво по Ляпунову.Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.Пусть существует функция V (x1 , .
. . , xn ) , положительно-определенная и имеющая отрицательно-определенную производнуюdVв некоторой окрестности точки x = 0. Тогда тривиальное реdtшение автономной системы x (t) ≡ 0 асимптотически устойчивопо Ляпунову.Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть V (0) = 0. ПустьdVпроизводнаязнакоопределена в некоторой окрестности точкиdt145Если λ3 < 0, γ > 0 или λ3 > 0, γ < 0, то такая особая точка называется седлом-фокусом и является неустойчивой. В первом3случаепо оси α точка по траектории приближается к плоскостиα1 , α2 и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеемфокус (рис.
10, а). Во втором случае на неустойчивый12плоскости α , α имеем устойчивый фокус, поэтому траектория3стремится к оси α , но удаляется от начала координат по этой оси,так как λ3 > 0 (рис. 10, б).• она знакоотрицательна;• V (x1 , . . . , xn ) = 0 ⇔ x1 = 0, . . . , xn = 0.Назовем функцию V (x1 , .
. . , xn ) знакоопределенной, если онаявляется отрицательно-определенной или положительно-определенной.Введем производную функции V (x1 , . . . , xn ) в силу системыx˙ = f (x):ndV∂V=fk .dt∂xkk=1Заметим, что−−→dV= gradV, f .dtПоэтому еслиdV< 0,dtРис. 10Рассмотрим функцию Ляпунова, «вторую методу Ляпунова».Пусть автономная система имеет вид⎞⎛x1x˙ = f (x) , x = ⎝ .
. . ⎠ .xnВведем функцию Ляпунова V (x1 , . . . , xn ).Назовем эту функцию знакоположительной, если V (x1 , . . . ,. . . xn ) 0, и знакоотрицательной, если V (x1 , . . . , xn ) 0.Назовем функцию V (x1 , . . . , xn ) положительно-определенной, если:• она знакоположительна;• V (x1 , . . . , xn ) = 0 ⇔ x1 = 0, . . .
, xn = 0.Назовем функцию V (x1 , . . . , xn ) отрицательно-определенной,если:144то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движениюпо фазовым траекториям внутрь линии уровня V (x1 , . . .
, xn ) = С .На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводитсяк трем теоремам Ляпунова.Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функция V (x1 , . . . , xn ) (функция Ляпунова), положительно-определенdVная и имеющая знакоотрицательную производнуюв некоторойdtокрестности точки x = 0. Тогда тривиальное решение автономнойсистемы x (t) ≡ 0 устойчиво по Ляпунову.Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.Пусть существует функция V (x1 , . . . , xn ) , положительно-определенная и имеющая отрицательно-определенную производнуюdVв некоторой окрестности точки x = 0.
Тогда тривиальное реdtшение автономной системы x (t) ≡ 0 асимптотически устойчивопо Ляпунову.Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть V (0) = 0. ПустьdVпроизводнаязнакоопределена в некоторой окрестности точкиdt145x = 0. Если в любой окрестности точки x = 0 найдутся такие точdVки, в которых знаки функции V (x1 , . .
. , xn ) и ее производнойdtсовпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво.П р и м е р. Исследовать устойчивость тривиального решениясистемы%ẋ = −x − y − x3 − y 2 ;ẏ = x − y + xy.Выберем:V = x2 + y 2 ;∂V∂VdVf1 +f2 = 2x −x − y − x3 − y 2 +=∂x∂ydt+ 2y (x − y + xy) = −2x2 1 + x2 − 2y 2 .Функция V — положительно-определенная ее производная,dV— отрицательно-определенная. Поэтому тривиальное решениеdtасимптотически устойчиво.П р и м е р.
Исследовать устойчивость тривиальной системы%ẋ = y + x3 ;ẏ = −x +Часто нужно вычислить интегралf (x) dx, а аналитическиaэто сделать невозможно (интеграл не берется) или слишком громоздко. Тогда применяют приближенные методы вычисления интеграла на отрезке. Для методов пишут алгоритмы и программыреализации на ЭВМ. Численный расчет дает значение интеграла снекоторой погрешностью, которая зависит как от погрешности метода, так и от погрешности вычислений.
Чаще всего рассматриваютравномерную сетку, разбивая отрезок [a, b] на отрезки длиной h:xn = x0 + kh, k = 0, 1, . . . , n; a = x0 ; b = xn ; n =b−a.h20.1. Формулы прямоугольниковОбозначим yk = f (xk ). Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотой yk .Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбратьравной y0 , то на последнем отрезке высота прямоугольника будетравна yn−1 .
Получим первую формулу прямоугольниковbf (x) dx ≈ h (y0 + . . . + yn−1 ).a2V =x +y ;∂V∂VdVf1 +f2 = 2x y + x3 + 2y −x + y 3 ==∂x∂ydt 44=2 x +y .dVФункция V и ее производнаяявляются положительноdtопределенными, поэтому тривиальное решение неустойчиво.146by3.Выберем:220. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛАЕсли на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбратьравной y1 , то на последнем отрезке высота прямоугольника будетравна yn .
Получим вторую формулу прямоугольниковbf (x) dx ≈ h (y1 + . . . + yn ).aОценим погрешность формул прямоугольников. Разложимфункцию f (x) в ряд Тейлора и оценим остаточный член.147x = 0. Если в любой окрестности точки x = 0 найдутся такие точdVки, в которых знаки функции V (x1 , . . . , xn ) и ее производнойdtсовпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво.П р и м е р. Исследовать устойчивость тривиального решениясистемы%ẋ = −x − y − x3 − y 2 ;ẏ = x − y + xy.Выберем:V = x2 + y 2 ;∂V∂VdVf1 +f2 = 2x −x − y − x3 − y 2 +=∂x∂ydt+ 2y (x − y + xy) = −2x2 1 + x2 − 2y 2 .Функция V — положительно-определенная ее производная,dV— отрицательно-определенная.
Поэтому тривиальное решениеdtасимптотически устойчиво.П р и м е р. Исследовать устойчивость тривиальной системы%ẋ = y + x3 ;ẏ = −x +Часто нужно вычислить интегралf (x) dx, а аналитическиaэто сделать невозможно (интеграл не берется) или слишком громоздко.
Тогда применяют приближенные методы вычисления интеграла на отрезке. Для методов пишут алгоритмы и программыреализации на ЭВМ. Численный расчет дает значение интеграла снекоторой погрешностью, которая зависит как от погрешности метода, так и от погрешности вычислений. Чаще всего рассматриваютравномерную сетку, разбивая отрезок [a, b] на отрезки длиной h:xn = x0 + kh, k = 0, 1, . . . , n; a = x0 ; b = xn ; n =b−a.h20.1. Формулы прямоугольниковОбозначим yk = f (xk ).
Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотой yk .Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбратьравной y0 , то на последнем отрезке высота прямоугольника будетравна yn−1 . Получим первую формулу прямоугольниковbf (x) dx ≈ h (y0 + . . . + yn−1 ).a2V =x +y ;∂V∂VdVf1 +f2 = 2x y + x3 + 2y −x + y 3 ==∂x∂ydt 44=2 x +y .dVФункция V и ее производнаяявляются положительноdtопределенными, поэтому тривиальное решение неустойчиво.146by3.Выберем:220.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
