Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 70
Текст из файла (страница 70)
С какой точностью можно вычислить г' 115 с помощью интерполяцяонной формулы Лагранжа для' функции у =)/х, выбрав узлы интерполирования хе = 100, х, = 121, х, = 144? Решен и.е. Имеем: 1 а В 1 1 — „, 3 у= — х ' у= — — х ' у =3» 2 ' 4 Отсюда Мз=шах1у"'! = — ° = — ° 10 ' прн 100(х(144. 3 1 3 =3 р 1ООа 3' На основании формулы (6) получаем: (Йа(~ (3 ° 1О а — 1((115 — 100) (115 — 121) (115 — 144) (= 1 16 = — ° 1О а 15.6 29 ж1 6 10 з. й 1Б. Оценки погрешностей интерполяционнык формул Ньютона Если узлы интерполирования х, х, ..., х„— равноотстоящие, причем х;+,— х1 — — Ь (1=0, 1, 2, ..., а — 1), то, полагая 538 интвгполитовлиив этнкций (гл1 хтч на основаняи формулы (5) из предыдущего параграфа получим остаточный член первой интерлоллционной формулы Ньютона й.+1,Ч(Ч-1) ." (а- )т.1.
— (а+1)1 (1) где $ — некоторое промежуточное значение между узлами ннтерПОЛйРОзаина МЫ Х1, „ Ма И РаССМатРИВаЕМОй тОЧНОй Х. ЗаМЕтИМ, что для случая интерполирования в узком смысле слова $ Е 1хь,хД; при экстраполировании возможно, что $ ~ (хь, ха). Аналогично, полагая в формуле (5) из э 14 х — ха 4= Ь 1 получим остаточный клен второй интерлоллционной формулы Ньютона да+1, Ч(Ч+!) «Ч+л) а1а+11(ьь) (2) (л+ !)! где $ — некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования мы м„..., ха и точкой х.
Обычно при практических вычислениях ннтерполяционная формула Ньютона обрывается на членах, содержащих такие разности, которые в пределах заданной точности можно считать постоянными. Предполагая, что Д"+ту почти постоянны для функции у =,«(х) и Ь достаточно мало, и учитывая, что Даа1у у1"+" (Х) = !!Ш вЂ” „а+,, ь ал"" приближенно можно положить: да+1 В этом случае остаточный член первой интерполяциониой формулы Ньютона равен А1 (х) ч(ч-1) " (ч — л)д +1 «л+ !)! Уь' В этих же условиях для остаточного члена второй интерполяционной формулы Ньютона получаем выражение я (Х) Ч(Ч+!) " (Ч+л) д +1 ах«л!В! а' Пример 1. В пятизначных таблицах логарифмов даются логарифмы целых чисел от х=!000 до х=10000 с предельной абсолютной погрешностью, равной — 10, Возможно ли линейное 1 интерполирование с той же степенью точностиг 4 16) оцвнки погтвшноствй цвнттальных интвтполяционных еотмтл 539 Решение.
Полагая у=16х, будем иметь: М „М у'= — и у"= — —, Х Х~ где М=0,43. Отсюда М = шах(у"! < — '= — ° 1О е. !Ог 2 Из формулы (1) при л=2.и Ь= 1 получаем оценку для погрешности линейного интерполирования: 1Я (х)1<)У(Š— !).)М <«' — Ч). '. 1О-. 2! г 2 2 Так как при 0 <д < 1 имеем ! Г! '~в 1 р(1 — р)= —,— ~-,— р) < —,, то окончательно получаем: ! ))с' (х)) < — — . 10 е < 1О 4 ! Следовательно, линейное интерполирование вполне допустимо. Пример 2. Оценить погрешность, получающуюся при приближении функции )г(х) = в!пх интерполяционным полиномом пятой степени Ра(х), совпадающим с данной функцией при значениях Оо 5в 10о 15о 20о 25о Решение. Здесь ~"'(х)= — в!пх; поэтому ~у"'(х))<1. На основании формулы (1) имеем: ) з! и х — Р, (х) ! ( Например, прн х= 12' 30'=агс0,21616 получям: !з!пх — Рв(х)) < 2,2 10 в.
6 16. Оценки погрешностей цеятральнык иитерполиционнык формул Ирнводим без доказательства остаточные члены для формул Стнрлинга и Бессели 131. а) Остаточный член интерноллиионной формулы Стирлинга. асан 2л †поряд максимальной используемой разности таблицы и хЕ 1х,— лЬ, хе+лЬ), то Ьгв+ ьргг+и (х) й„(х) = ' 6(йа — 1') (дз — 2') (д' — Зв) ... (д' — на), (2н+ 1)! 540 [гл. х!т ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ где д= — ""' и $~~х — лй, ха+Нее. Вели же аналитическое выражение функции Дх) неизвестно, то при й малом полагают: Л'"+'у +А'"+' Л„(х)ж "-"-'+ "-" д(аа — 1а)(уа — 2') ...
(ра — л'). 2 (2Н+1)! б) Остаточный член интерлояяционной формулы Бесселя. Вели 2л+ 1 †поряд максимальной используемой разности таблицы н хна — лй, ха+(л+1))11, то ,вв+а (2Н+2)! Уч (в) Ч(в — 1 ) (аа — 2 )... (в — Л ) вв (Л+1Д, где ч= а н НЕ(хв-лн, ха+(л+1)Ь).
Всли же функция у'(х) задана таблнчно и шаг Ь мал, то принимают: во+в аа+в (Х) ~ У-» 1+ -и д(да 1в)(ав 2в) а 2 (2Н+ 2)! ... (ов — ла) ~~у — (и+1)). В частности, прн у=- получаем погрешность при интерлояироеач 1 нии на середину аа"+а)1'в+и (ф) а+111 3.5 ... (2н+ !)Р или 2(2Н+2)! 1 ! 2вв+а Если положить 1 Ч=Р+ 2 ) то формула для остаточного члена форйулы Бесселя принимает вид ав+а й 17. О наилучшем выборе узлов интерполировании Анализяруя формулу (5) нз $14, мы видим, что погрешность Л„(х) формулы Лагранжа представляет собой, с точностью до числовой постоянной, произведение двух множителей, из которых один, ув"+" я), зависит от свойств функции у (х) и не поддается регулированию, э 17) о нлилгчшвм вывогв гзлов интзгполиговання 541 а величина другого, П„+,(х), определяется исключительно выбором узлов интерполированйя.
При неудачном расположении узлов интерполнровання х1.верхняя грань модуля погрешности 1«„(х) ((6) 2 14) может быть весьма большой. Например, если мы сконцентрируем узлы х» вблизи одного конца отрезка [а, Ь], то 1«„(х) прн 1=Ь- а ) 1, вообще говоря, будет велик в точках х, блйзких к другому концу отрезка. Поэтому возникает задача о наиболее рациональном выборе узлов интерполирования х1 (при заданном числе узлов и) с тем, чтобы находящаяся в нашей власти часть погрешности — полином П„, (х) имел наименьшее максимальное значение по абсолютной величийе на отрезке [а, Ь], или, как коротко говорят, «нанменее отклонялся от нуля на [а, Ь]».
Эта задача была решена русским.математиком П. Л, Чебышевым [2], [6], который доказал, что наилучший выбор в указанном смысле узлов интерполирования дается формулой Ь+а Ь вЂ” а х» = — + — $» 2 2 где $1 — — — соз — и (1=0, 1, 2...,, и) 21+ 1 2н+ 2 — нули так называемого полннона Чебышева 7'„+т(х). В этом слу- чае мы будем иметь: Интересно отметить, что эти узлы не являются равноотстоящимн, а сгущаются около концов отрезка. Даже при таком подборе узлов в общем случае нельзя гарантировать, что абсолютная велячпна погрешности будет сколь угодно мала при достаточно большом и. Сделаем общие замечания об определении погрешностей интерполяционных формул.
Если максимальные разности практически постоянны, то результат интерполирования в узком смысле обыкновенно имеет столько верных десятичных знаков, сколько их есть в табличных данных, и поэтому оценка погрешностей не обязательна. Прн пользовании интерполяционной фориулой Лагранжа нет возможности следить за ходом конечных разностей, и поэтому следует, если это возможно, оценивать остаточный член, Если функция ~'(х) задана таблпчно и аналитическое выражение ее неизвестно, то оценка погрешности пнтерполяционного полинома, строго говоря, является невозможной. Действительно, для данного полинома теоретически можно построить бесчисленное множество различных функций, 'совпада1ощих с этим полиномом в данной системе узлов.
Таким образом, в промежуточных точках отклонение ннтерполяцнонного полинома от функции может быть каким угодно. 542 иитагполиговлняв ехнкцнй [гл. тмт й 18. Разделенные разности Прн построении таблицы разностей мы до сих пор предполагали, что значенияаргументафункцни — равноотстоящие, т.е. имеют постоянный асаг. Однако на практике встречаются также таблицы для не равноотстоящих значений аргумента, т.
е. таблицы с переменным шагом. Например, такой характер часто имеют эмпирические данные. Для таблиц с переменным шагом понятие конечных разностгй обобщается, а именно: вводятся так называемые разделенныг разности. Пусть функция у= г"(х) задана таблично и м„ х» я„ значения аргумента, а у , у„ у, ... — соответствующие значения функции, где разности (1=0, 1, ...) Лхс= 1+,— ~ФО не равны между собой. Отношения [х, м ~+а хс+г — х~ (1= О, 1, 2, ...) называются разделанными разностями первого порядка. Например, [х, х ) =~ — -~ н т. д.
хг — хс [яг яЛ ="' х,— хг' Аналогично определяются разделенные разности второго порядка [х~+» хс+с) — [хь хс+г) (1=0, 1, 2, ...). Например, [х» хз) — [хо х~) [мсье х1 сг) хс — хг и т. д. Вообще, разделенные разности и-го порядка получаются из разделенных разностей (и†1)-го порядка с помощью рекуррентного соотношения [хс+1 ° ° ° хг+х1 [хь ° ° ° х!+и-з1 1+с (а=1, 2, ...; 1=0, 1, 2, ...). Однако, если природа функции такова, что график ее представляет собой плавную кривую, то приближенно погрешности интерполирующих полиномов с большой степенью уверенности можно определять на основании значений конечных разностей высших порядков по приведенным выше формулам.
$18) 543 газдвлвнныв глзности Заметим, что разделенные разности не меняются при перестановке элементов, т. е. представляют собой симметрические функции своих аргументов. Например, (х„х,]= — =: (хы хе) и т. д. Уг — Уа Уе — Уе хх — хе хе — х, Разделенные разности обычно располагаются в таблицу прнведенного ниже вида (таблица 49). Табл и на 49 Таблица разделенных разностей П р и м е р. Составить разделенные разности для функции, заданной следующей таблицей: Р е ш е н и е. Последовательно применяя формулу (1), будем иметь ! 48, 877 — 132,851 1= — 'тт о -8~.1ч ! 157,464 †1,877 85,87 — 81,13 0,3 — О и т.
д. Результаты вычислений приведены в таблице 59. 544 интерполировании атикций (гд. х1т .Таблица бб Разделенные разности фуииции у и-и пор. з А пор. д-а пор. 9 19. Иитерполяциоииая формула Ньютона .для иеравяоотстоящих виачеии)в аргумента Пользуясь понятием разделенных разностей, интерполяционную формулу Лагранжа можно представить в виде, аналогичном первой интерполяцяонной формуле Ньютона.
Докажем предварительно одну лемму, представляющую также самостоятельный интерес. Л е м м а. Если у = Р(х) есть полинам н-й степени, то его разделенная разность (и+ 1)-го порядка тождестеенно равна нлю т.е, у (х, х„х„..., х„]= — 0 для любой системы различных между собой чисел х, х, х, ..., х .
Действительно, если Р(х) — поливом н-й степени, то д» ход = х „= Р(»»о) Р (х) — Р (х,) является полиномом (н- 1)-й степени относительно х. Далее, Р (х хо) Р (хо хд) (х, х,хд)= ' ' =Р(х, х, х) представляет собой полинам (и — 2)-й степени относительно х. В самом деле, функция Р(х,х ) — Р(х,х ) = Р(х,хо) — Р(х, хо) имеет корень х=х и, следовательно, на основании теоремы Безу полинам Р(х, х )- Р(х„х,) без остатка делится на двучлен х — хд. С помощью аналогичных рассуждений убеждаемся, что д» «о ''' х д~д Р(» «ы ''' » -д) есть полинам нулевой степени, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
