Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(6) Внося выражения (6) и (7) в формулу (5), получиьп Уь » (х) = П»+ г (х) Е П' (х,) (х „Р) ' (5') Дифференцируя по х это произведение, получим: П„+, (х) = ~~.",(х -х,)(х — х,)...(х — хг ) (х — х~+,)...(х — х„). 1=» Полагая х =х;(1 = О, 1, 2, ..., и), будем иметь: П»+,(х,) = (хь — х,)(хь — х,)...(хь — х~ т)(х; — х~,„)...(х, †).
(7) 530 интвгполиговьния етнкций (гл. хш х — Ь х — а а — ЬУс+ Ь вЂ” аун где а, Ь -абсциссы этих точек. При л = 2 получим уравнение параболы у = Е,(х), проходящей через три точки: У= (х — Ь) (х — с) (х — а) (х — с) (х-а) (х — Ь) (а — Ь) (а — с) Ус (Ь вЂ” а) (Ь вЂ” с) 1 (с — а) (с — Ь) ! ю + У + где а, Ь, с — абсциссы данных точек. Пример 1. Для функции У=а!п!ьх построить интерполяционный полинам Лагранжа, выбрав узлы 1 1 х=О, х= — ха=в с ' т 6 ~ х 2 Р е ш е н н е. Вычисляем соответствующие значения функции: у =О, у,=а!и — = —, у =а!и — =1. и 1 и Применяя формулу (5), получим: илн Е, (х) = — х — Зх .
Ч а Пример 2. Дана таблица значений функции у=у(х)(3): 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 321,0 Зхх.8 324,2 325,0 Вычислить значение у'(323,5). Следует отметить, что формула Лагранжа в отличие от предыдущих интеРполнцнонных фоРмУл содеРжит Явно Уп что бывает иногда важно, Рассмотрим два частных случая ннтерполяционного полннома Лагранжа. При л=1 мы имеем две точки, и формула Лагранжа представляет в атом случае уравнение прямой У=Е,(л), проходящей через две заданные точки: 631 6 13) вычислинив ллгелнжввых коэееицивнтов Решение.
Положим х=323,5; и=3. Тогда по формуле (5) будем иметгс 323 5 (323,5 — 322,3) (323,5 — 324,2) (323,5 — 325,0) 2 50651 (321 — 322,3) (321 — 324,2) (321 — 325) (323,5 — 321) (323,5 — 324,2) (323,5 325) 2 50893 +(322,3 — 21) (322,8 — 324,2) (322,8 325) (323,5 — 321) (323,5 — Згг,з) (323,5 — 325) 2 51081 +(324,2 — 321) (324,2 — Зхх,з) (324,2 325) (323,5 — 321) (323,5 — 322,3) (323,5 — 324,2) 2 51188 (325 — 321) (325 — 322,3) (325 — 324,2) =- — 0,07996+ 1,18794+ 1,83897 — 0,43708 = 2,50987. $ !Зе. Вычисление лаграижевых коэффициентов или в более компактной записи Ы) П„+д(х) (х-х)) П„+, (х)) где П„+, (х) = (х — х,)... (х — х„). (2) Формула Лагранжа при этом имеет вид х Е„(х) = ХЕ!") (х)уп )ва Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки х = а1+Ь (а, Ь постоянны и а ~ О).
Действительно, положив в формуле (1) х=а1+Ь; х =а1+Ь Ц=О, 1, ..., и), после сокращения числителя н знаменателя на а", получим: ( ) () — тг) (г — ),)... (1 — О )) П вЂ” гг+ 1),, () — г„) (С) — "' '' " (3) 0)- г,) (О в гх) ...())†)г ,) ()1 — О+ )...(с)†г. ) нлн 7 ы) Пх+т ()) () — )6 П„'„(О) ' (3') где П„е, (1) = (1- 1,) (1 — 1))... (1 — 1„), что и требовалось доказать, Укажем схему, облегчающую вычисление коэффициентов при У)(1=0, 1, 2, ..., и) в формуле Лагранжа, так называемых лагранжевых коэффициентов 6(х) (х — хь) (х — х,)... (х — х) 1) (х — хг+,)... (х — х„) (хг — хь) (хг — хт)...(хг — хг,) (х) — х)е )...(х)-х„) 532 (гл.
юо интегполнговониз отнкцнй Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть исполь. зована приведенная ниже схема, особенно удобная при применении счетной машины. Сначала располагаем в таблицу разности следующим образом: ха хо хо хо хо хо хл Обозначим произведение элементов первой строки через Ра, вто- рой — через Р, и т.
д. Произведение же элементов главной диагонали (в схеме эти элементы подчеркнуты), очевидно, будет Пл+т(х). Отсюда следует, что ь)") (х) = и" +1( ) (7 = О, 1, ..., л). ыг Следовательно, л 7.„(х) = П„+, (х) ~', — "'. о о (5) В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты мо. гут быть приведены к более простому виду. В самом деле, полагая х=х +М, Подставив эти выражения в формулу (3'), получим: ( — Пл-'с'„ 7.)"'(Ф)=,—,П„ат(Ф),, " (7=0, 1, ..., и), (6) где Отсюда (7) будем иметь: Отсоода х — х, х — х, х,— х, ...х,— хл х х х х х — х ... х — х х„— х х„— х, х„— х, ...
х-х„. 8а — — О, Ф,=1, ..., 1л=л. Пл„, (Е) = Ф (Š— 1) (Ф вЂ” 2)... (Š— л) П,',+, (1) =( — 1)"-'П (и-Х)! л С' Ь„( ) =-', П„„(7) ~~',( — П"-' —,".уп Оло % 13) Вычисление лагганжезых 'коэФФнциентоВ 533 где х — хе И Задача интерполировании в случае постоянного шага Ь облегчается еще тем, что имеются таблицы для лагранжевых коэффициентов (см.
(51), так что фактически все вычислении сводятся к умножению табличных коэффициентов на соответствующие значения функции у~ и к суммированию. Пряме р 1. Для фуккции у=у(х) дана таблица значений Найти у (0,45). Р е ш е н и е. Для упрощения вычислений полагаем: х = 0,05г. Тогда значения новой переменной г, соответствующие узлам интерполирования, будут 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11. Нам нужно найти значение у пря х=0,45, т. е. при г=9. Полагая 4=1 (1=0, 1, ..., 7), зычнсленяя располагаем по приведенной ниже схеме (таблица 47).
Таблица 47 Схема вычислении лагранженых ноаффициентов и-0 «мп 3 = 1,6633 10 е П (9) = 3840 534 интегполиговлник отнкций [гл. х»т Отсюда у(0,45)=П(9)~~» Уг=П(9).8=3840 1,6535 10 =О,6349. »=о П риме р 2. Функция у = сов х задана таблицей Щ Найти соз 5,347. Р е ш е н я е, Сделаем замену переменной по формуле х = О, !1+5.
Тогда значения переменной 1, соответствующие узлам интерполирования, будут О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а искомое значение х = 5,347 перейдет в 1=3,47. Учитывая, что узлы 1, =1(1 = О, 1, ..., 7)— равноотстоящие, вычисления можно произвести по указанной выше схеме (таблнца 48). Таблице 48 Схема вмчисления лагранмевых ков4»фнциентов даи случаи равноотстоящях узлов интериолирования Я 69,67576724 П ~42,8848749 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 0,283662! 85 0,377977743 0,4685!6671 0,554374336 0,634692876 0,708669774 0,775565879 0,834712785 3,47 2,47 1,47 0,47 -0,53 — 1,53 — 2,63 — 3,53 — 1 7 — 21 35 — 35 21 — 7 1 -О, 08174702 1,07119198 — 6,69309530 41,28319523 41,91368048 — 9, 72684003 2, 14583444 — 0,23646254 э'14) оцннкл поггвшности ннтвгполяционной еегмьлы лагглнжа 535 Из таблнцы 48 имеем: П (3,47) = И (3,47 — !) = 42,8848749 г=",( — Ц -'С' —,",' .=69,67575724.
~=о На основании формулы (7) получаем: соз 5,347 = — ° П (3,47) 8 = 0,592864312. я 14. Оцеяка погрешности интерполяцнонной формулы Лагранжа Для функции у=-у'(х) мы построили в 5 12 ннтерполнционный полипом Лагранжа Е„(х), принимающий в точках х, хы ..., х„ заданные значения у, = у(х,), у, = у(х,), . „у„= у(х„). Возникает вопрос, насколько близко построенный поливом приближается к функции у'(х) в других точках, т. е.'как велнк остаточный член 77„(х) =у (х) — Е„(х).
и(х) =у'(х) — Е„(х) — ЬП„+ (х), П„+, (х) = (х — хе) (х — х,)... (х — х„) где н л †постоянн коэффициент, который будет выбран ниже. Функция и(х), очевидно, имеет и+ 1 корень в точках хоз хы ' ° 'Ф хе' Подберем теперь коэффициент й так, чтобы и(х) имела (л+2)-й корень в любой, но фиксированной точке х отрезка (а, Ь), не Для определеняя этой степени приближении наложим на функцию у=у(х) дополнительные ограничения. Именно, мы будем предполагать, что в рассматриваемой области а (х(Ь нзменення х, содержащей узлы интерполирования, функцня у'(х) имеет все пронзводные у'(х), у'(х), ..., у'"+м(х) до (л+1)-го порядка включнтельно.
Введем вспомогательную функцию 536 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (гл. хщ ' Рнс. 63. Применив теорему Ролля к производной й(х), мы убедимся, что вторая производная й(х) обращается в нуль не менее л раз на отрезке [а, Ь1. Продолжая этн рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом отрезке [а, Ь) производная и'"+п(х) имеет хотя бы один нуль, который обозначим через $, т, е. й'+п($)=0. Из формулы (1), так как У.щ+"(х)=0 и П~"+,ы(х)=(п+1)1, имеем: и" +" (х) =~'"+и (х) — Ь (л+ 1)! При х = $ получаем: О = У'"'" и (С) — Ь (л + 1)!.
Отсюда уж+ н (р (н+1)1 ' Оравнивая правые части формул (2) и (3), будем иметь: т (х) — Ь„(х) )щ+и ($) П„+, (х) (н+ 1) 1 (3) совпадающей с узлами интерполирования (рнс. 63). Для этого до.статочно положить у (х) — ь„(х) — ЬП„„, (х) = О. Отсюда, так как П„+ (х)-НО, то З (х) — Ь„(х) (2) П„,.х (х) При этом значении множителя Ь функция и(х) имеет л+2 корня на отрезке [а, Ь) и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков [х„х,], [х,, х,), ..., [хн х), [х, х~+,), ..., [х„, х„) Применяя теорему Ролля к каждому ив этих отрезков, убеждаемся, что производная и,'(х) имеет не менее и+1 корня на отрезке [а, Ь~.
3 151 оцвнкн поггвшноотяй интягполяционных еогмял ньютона 537 т. е. — 13'+и ($) У(х) — Е„(х) = ' + ), П„+, (х). (4) Так как х произвольно, то формулу (4) можно записать и так: (5) где $ зависит от х и лежит внутри отрезка (а, Ь). Отметим, что формула (5) справедлива для всех точек отрезка (а, Ь), в том числе н для узлов ннтерполнрования. Обозначая через М„+ — — шах (у'"+н (х) (, ажкмь мы получаем следу1ощую оценку для абсолютной погрешности ннтерполяционной формулы Лагранжа: ! ??„(х) ( = (у'(х) — у.„(») ( ( — ""', ( П„, (х) (, (6) где П„,(х) =(х — х,)(х — х )...(х — х„). (6') П риме р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
