Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Для краткости введем обозначения сст =У(хс ут). Значения функции в можно оформить в виде таблицы с двумя входами (таблица 56). Таблица 56 оначеиив думании даук переменных Интерполирование функции двух переменных в=у(х, у), т. е. нахождение ее нетабличных значений, можно последовательно проводить по каждому переменному х и у в отдельности. Пусть, например, требуется найти значения- х = у(х,у). 556 интеРНОЛНРОВАнив Функций [Гл. лгу где у„у, находим значения уь(х). Для этого используются соответствующие строки двойной таблицы. Рассматривая полученные значения уь(х) =у(х, уа) как значения функции у'(х, у) единственной переменной у, с помощью одной из интерполяцноннык формул находим искомое значение у(х, у) =а'.
Можно также производить интерполирование вобратном порядке. П р и м е р. Значения функции посл«действия ФФ У'(х у) ~ в-веее-е-ее *еул -Ф даются следующей таблицей (см. Янке и Змде, «Таблицы функций»): Найти у'(0,5; 0,03). Р е ш е н и е. Составляем таблицы 57а, 576 и 57в, используя строки данной двойной таблицы. [ у=О [ Таблица 57а [ у=005 [ Таблица 676 [ У = О, 10 ! Т а б л н ц а 57 в деу д1 0,637 2,456 — 1,056 1,400 — 0,419 0,981 0,4 0,7 1,0' Интерполируя надлежащим образом выбранные функции одной переменной х: у„(х) =у(х, у„), и 25) двойныв еазности высших поеядков 557 Так как лля этих таблиц 7ь = 0,7 — 0,4 = 0,3, то, принимая х, = 0,4, будем иметь: х — хе 0,5 — 0,4 1 Ь О,З 3 Отсюда, используя первую интерполяционную формулу Ньютона, последовательно получим: уо =у'(О 5' 0) 2'500 3 ' 1,071 + т 0,642 = 2,072; 2 Л =У'(0,5; 0,05) = 2,487 — 1,068 — — 0,644 = 2,069; у', = 7'(0,5; 0,10) = 2,456 —.1,056 — — 0,637 = 2,033.
Составляем таблицу найденных значений (таблица 58). Таблица 58 Принимая н=0,05 — 0=0,05 и ус=О, получим: 0,03~ О 3 0,05 5' Отсюда 7(0,5; 0,03) =2,072 — — ° 0,003+ ( — 0,033) =2,074. й 25а. Двойные разности высших порядков Для функции «=у(х,у), заданной двойной таблицей («,"), можно определить частные конечные равности Л„«ст — «1+му — «; и Л 17 — — «ду+ — «сд Повторно применяя эти операции, получим двойные разности высших порядков )в+и ххв+н алт «йл ) йн (~ы 558 (гл. хщ интегполиговьние Функций где положено Ьо+о«~~ х~т. Например, гтт+'«о = Ь (Ло„«;.) = Л„(«; ~+о — 2«, т„т+«~т) = = («о„,, — 2«;+, т+, + «;+, у) — («; т+о — 2«~ т+, + «~).
й 26*. Интерполяцяоиная формула Ньютона для функции двух переменных Используя разности функции двух переменных «= Г'(х, у), можно построить интерполяционный полипом, аналогичный интерполяцнонному полнному Ньютона. Пусть Р(х, у) — целый полипом такой, что Ас 'Р~Р(хо1 Уо) = й '"«оо (т, п=О, 1, 2, ...). Положим, что Р(х,у) разложен по обобщен- ным степеням разностей х — хо н у — уо, т. е. Р (х, у) = с о+ сто (х — х,) + сщ (у —.Ко) + соо (х — х,) (х — »т) + +си(» — хо) (У вЂ” Уо)+сот(у — Уо)(у-Ут)+ "° (2) Полагая х'=х н у=у, в силу условия (1) будем нметьл Р(му )= Составляя для полинома Р(х,у) конечные разности первого порядка, получим: Ь„Р(»,у) =с„й+2соо)1(х — х )+с1,й(у — у )+...
Ь Р(х,У)=согй+сид(х — хо)+2соой(у — Уо)+ Отсюда, полагая х=-хо н у=у„на основании условия (1) будем иметь: М (хо уо) = ~~ + «со =стой н КР(х„у,) = Л'+'~щ — — ~~,й, т. е. а +от аоо'г сто — — —" смо = — ". л ' в Далее, подсчитывая для полннома Р(х,у) конечные разности второго порядка, найдем: Л„„Р(х, У) = 2!Соойо+..., Ь„УР (х, у) = с„/й+ ..., К Р(х, у) = 2)сщйо+... 2 26] еоомглл ньютонл для егнкции двьх пяоамянных 559 Отсюда при х=хо и у=уз получим: Уо) = Ь гоо = 2]сзозз~, уо) = Ь гоо = сззп'з Уо) =Ь 'гоо=2! созв' Ь„„Р (», Ь Р(х, ЬххР (»о т. е.
1 аз+оооо Ь'+'гзо ! Лооззоо зо = 2! ' !,з зз ц, оз 2! ' Ьз Аналогично находятся дальнейшие коэффициенты разложения (2). Подставляя найденные значения коэффициентов з формулу (2), получим ингврполяционный полипом для функции двух переменных ГЬз+ох Ьо+з Р(» У) =гоо+ ] л (»»о)+л (У Уо)] + Г до+оооо [ оо(» «)!з! ] 2! 1 Йз Ьзе г до+ох +2 ° — я;зз(х — хо)(У Уо)+аз (У Уо)!~!~+ ° ° ° (5) При интерполировании функции /(х, у) полагают: У(х, у) ж Р (х, у). Для удобства вычислений обычно вводят переменные х — х — =Р л у уо — =Ч' Ф тогда я — х, у — уз — =Р— 1, — =о — 1 а ' а и т.
д. Отсюда формула (3) црянимает вид гжг +(РЬ'+'г, +дЬо+зг )+ + 2! (Р(Р— 1) Ь'+'гоо+2РЧЬ'+'гоо+й(зу — Ц Ь'"гоо]+ ' (4) где »= »о+Р», У =Уз+Уй Если положить Р=О или зу=О, то формула (4) перейдет в соответствуюзцую ивтерполяционную формулу Ньютона. П р и м е р. Пользуясь интерполационной формулой (4], найти у=у'(0,5! 0,03) для функции У(х,у), рассмотренной в примере нз $24. 560 (гл.
хш ннтвгполнговлннв ехнкцнй Решение. Принимая х =-0,4; уо=О, составляем для функции у таблицы конечных разностей первого порядка (таблицы 59а и 596). Т абл н ца 59а Т а бл нца 595 Отсюда находим конечные разности второго порядка !1~ ~Уоо = а1аа+~7ао Л~ ~Уоо = — 0,429 — ( — 1,071) = 0,642; Да~а7 йа+~У Ла+оУ' 1 068 ( 1 071) 0 003 нлн 7аа+аУ = ко+'У„ -Ьо+аУ„ = — О О!О - ( — О О!3) =О ООЗ; Ьоооу' 7аоеа~ Ло+у 0 031 ( 0 013) 0 018 Так как д — ао 3 '7= — =— а 5' х — хо 1 р Л 3! Сравнивая с ответом 7=2,074, полученным первым способом, мы видим, что цифры тысячных являются ненадежными. то, применяя формулу (4), получим: ~= 2,500 + — *( — 1, 071) + — ° ( — 0,013) + 1 3 + — ~ — ° ~ — ).0 642+2 — ° — ° 0,003+ 1 3 2 аз (, 3) ' 3 5* + 5 ~ — 5 )( — 0,018Ц = 2,500 — 0,357 — 0,0078 — 0,0713+ + О, 0006+ 0,0021 2,067.
лнтяглтггх к чктыгнадцатой главк 561 Литература к четмрнадцатой главе 1. Э. У иттеке р и Г. Робинсон, Математическая обработка результатов наблюдений. ГТТИ, М.— Л., 1933, гл. 1. 2. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций, ГТТИ, М.— Л., 1934. гл. 1, 45 18 — 21. 3. Дж. Сна р бор о, Численные методы математического анализа, ГТТИ, М.— Л., 1934, 1У, равд. П. 4. В.М. Б ради с, Теория и практика вычислений, Учпедгиз, М.,1935гл.!Х. 5. В. Э. Милн. Численный анализ, ИЛ, 1951, гл. 1Н, У1. 6. Е.
Я. Р ем ее, Общие вычислительнме методы чебышевского приблнже. ния, Изд. АН УССР, 1957, ч. 1, гл. 1. 7. Математический практикум на счетно-вычислительных приборах и инструментах. Под обшей редакцией Н. А. Леднева, «Советская наука», М., 1959, гл. Н1. 3. В. Н. Фаддеева, Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехиздат, М.— Л., 1950, гл. 1П, $27. гллвл ху ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕННИРОВАНИЕ й 1.
Постановка вопроса Прн решении практическнх задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции у=у'(х), заданной таблично. Возможна также, что в силу сложности аналитического выражения функцня у(х) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию. Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию у(х) на интересующем отрезке [и, Ы ннтерполнрующей функцией Р (х) (чаще всего полиномом), а затем полагают: у'(х) =Р'(х) (1) при Рнс.
сб. а<х<д. Аналогично поступают прн нахождении производных высших порндков функции у'(х). Еслн для ннтерполнрующей функцни Р(х) известна погрешность [с (х) =у(х) — Р(х), то погрешность производной Р'(х) выражается формулой г(х) =у'(х) — Р'(х) =Я'(х), (2) т. е. погрешность производной ингврполируюи(ей функции равна производной ог погрешности этой функции. То же самое справедливо н длв производных высшнх порядков. Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцяю менее точную, чем интерполирование.
Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых у=У(х) и 'г'=Р(х) Я 2) еогмьлы, основанныв нл плевой еоемулв ньютона 563 на отрезке [а, Ь[ еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных ~"(х) и Р (х), т. е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (рнс. 65).
й 2. Формулы приближенного дифференцирования, осяоваипые нв первой интериоляциоияой формуле Ньютона Пусть имеем функцию у(х), заданную в равноотстоящих точках х!(1=0, 1, 2, ..., л) отрезка [а, Ь) с помощью значений у!= У(х!). Для нахождении ни [а, Ь) производных У' =у' (х), У" =у (х) и т.
д.") функцию у приближенно заменим интерполяциоиным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов х„х, ..., х (й(л). Имеем: Ч (Ч !) ««з Ч (Ч !) (Е 2) ««з + 4! Уз+ ° ° д (я — 1) (д — 2) (д — 3) Л (1) где «« а= —,' и й=х1,— х, (1=0, 1, ...). Производя перемножение биномов, получим: дз Ч Чз Зяз+ 2д У(х) =Уз+бАУз+ 2 А Уз+ б А Уз+ 4« — бчз+ 1 ! Зз — бд Уз~ ° ° ° Так как Лу ~~у й~ 1 «!у бя д™ бч' то у (х) — йу + А у + ц уз+ ! Г 2з — 1 Ззз — бд+ 2 24 — 24 +Ил — З 12 Уз (2) Аналогично, так как У.'( )= — = —, °вЂ” а(у ) л (р) ле лл «! л Ф то У (х) — аз Уз+(Ч вЂ” ) Уз+ !2 Уз ) ° ° ~ ° (5) бзз-1бд [- !1 «) Само собой разумеется, что.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
