Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Полагая у=х (й=О, 1, 2, ..., и) в формуле (6), получим линейную систему из и + ! уравнений 580 пгивлиженное интвггигования ахнкций получим систему [гл. хщ 1=Аа+Ао+А 3 — = — А+ — А+ — А, 2 4 о 2 о 4 о 1 1 1 9 — = — А+ — А+ — А, 3 !6 а 4 о !3 з Отсюда 2 ! 2 А= —,А= — —,А 3 ' о 3 а 3 и, следовательно, 1 ') уЫх — у ( — ) — у ( — ) + — у ( — ) . (10) 2 2. Квадратуриые формулы Ньютона в Котеса Пусть для данной функции у = у (х) требуется вычислить интеграл о ) у и'х. о Выбрав шаг Ь вЂ” а 3=в л разобьем отрезок (а, Ь) с помощью равноотстоящих точек хо=а, х! —— х +13 (1=1, 2, ..., и — 1), х„=Ь на и равных частей, и пусть у;=у(х;) (1=0, 1, 2, ..., и).
Заменяя функцию у соответствующим интерполяционным полиномом Лагранжа Е„(х), получим приближенную квадратурную формулу ') ус(х= ~',Аоу1, о=о аа где А! — некоторые постоянные коэффициенты. Квадратурная формула (10) открытого типа и является точной для всех полнномов степени не выше второй.. Нетрудно убедиться, что формула (10) дает правильный результат и при у=хо. Поэтому эта формула является точной также для полиномов третьей степени.
$2) квддратррные еормялы ньютона — котесд 661 Выведем явные выражения для коэффициентов А[ формулы (1), Как известно (гл. Х1Ч, 6 12), л Е„(х) = ~, 'р[(х)у,, г о (2) где (»»о) (х «в) (» х д) (х»[+в) (» х ) (х; — хо) (х; — хв)... (хг — х; в) (х; — »[+в)... (х[ — хл) Введя обозначения я-х, [7=— И (4) еу[л+ '[ = еу (еу — 1)... (еу — л), будем иметь (ср. гл. ХУ, $4, формулу (2)): цл [ [л+в[ Ел(х)=~~, и(„;)[ е [ У[ е о (6) или, так как х — хо е[х 17= —,, Йу= И ' И ' то, сделав замену переменных вопределенном интеграле, будем иметь: л и Так как ь — а И=— ! и то обычно полагают: А; =(Ь вЂ” а) Нн где л — постоянные, называемые коэффициентами Коте»а (см., напри- мер, 111, 14)), 1зл в.
и. демидович и и. л, мерли Заменяя в формуле (1) функцию у полиномом Ел (х), в салу фор- мулы '(6) получим: "р ( цл-[ [лов[ А[ — — ~ . Е . а[х 1[ (» — О[ ч 582 пгивлиженнои интиггигов»ниа еункций . (гл. хч~ Квадратурная формула (1) при атом принимает вид ь « ) уах=(Ь вЂ” а) У Ну„ « ! о (8) где Ь=: и У,=У,(а+1Ь) (1=0, 1, ..., и). и Нетрудно убедиться, что справедливы соотношения: 1) ~ Н~ — — 1; 2) Н;=Н„;. о«о $ 3. Формула трапеций и ее остаточный член Применяя формулу (7) предыдущего параграфа, при и = 1 имеем: 1 Но = Г д(д — 1) 1 ач э 2 э о 1 1 н,=~у уд= —,; о отсюда Л л ~У~ = —,(У +У) (1) Рис. б9.
Дифферейцируя эту формулу по Ь последовательно два раза, получим: гс (Ь)=у(хо+Ь) 2 (у(хо)+у(хо+Ь)) 2у (хо+Ь)= 1 а 1 Ь = 2 1У(хо+Ь) — У(хо)1 2 У (~о+Ь) Мы получили известную формулу трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (рис. 69). Остаточный член (ошибка) квадратурной формулы (1) равен «, Ь а(= ) у~у — — (у +у ). «э Предполагая, что у Е Со'(а, Ь), выведем простую формулу для остаточного члена. Будем рассматривать гс = Я (Ь) как функцию шага Ь; тогда можно положить: «э+» )с(Ь)= ~ УИх — — (у(хо)+у(хо+ЬЯ. «е 2 4) еогмнлл симпсона и ее остлточный член 6ВЗ и )~ (")= У (хе+") 2У (ха+а) — У (~е+й) 2У (хо+и)э л причем л(о)=о, л'(0)=о. Отсюда, интегрируя по й и используя теорему о среднем, последовательно выводим: У('(й) й'(О)+~а(1) дт= —,' ~гу" (х,+г)дг- 9 ь л = — 2 у ($ь) ) 1дг = - 4 У (вь) в где $тЕ(х„х +Ь), и Й(Ь) Н(О)+~Я (1)Л вЂ” —,~гу Я,)дГ ь о л ла = — у (4)) г пг= у ($) где $Е(х„х,+Ь).
Таким образом, окончательно имеем: Иь 1~= — 12 У ($) (2) 5 4. Формула Симпсона и ее остаточный член Из формулы (У) $2 при п=2 получаем: гто = 2 ' 2 ~ (Ч вЂ” 1) (Ч вЂ” 2) дд = — ~ З вЂ” 6+ 4) = б, 1 1 Р 4~З о 1 1 Г 2 И = — — ~4(д — 2)дд= 2'13 1 о 1 1 Г 1 Н = — — (4(4 — 1)бр= —. *=2'2,) б е где ьЕ(хо х,). Отсюда, в частности, следует, что если у")О, то формула (1) дает значение интеграла с избытком„если же у'(Π— то с недот статком. 584 пгивлиженное интвггиговлнив етнкций (гл. хш Следовательно, так как х, — ха = 2Ь, имеем: «, Ь У~= 3 (Уе+~Ут+УВ) «« формула (1) носит название Формулы Симпсона.
Геометрически зта формула получается в результате замены данной кривой у = у(х) параболой У = Ьа (х), прокрдящей через три точки М, (х„у,), М, (х„у,) н М (х, у ) (рис. 70). Остаточный член формулы Симпсона равен тс= ') УНх— «Ф Ь вЂ” 3 (У«+ 4Уг+Уа) ° Предполагая, что у Е См' [а, Ь), г7 л аналогично тому как вто де- лалось для формулы трапеций, Рнс. 70. выведем более простое выражение для (с. фиксируя среднюю точкух, и рассматривая )с=(с(Ь) как функцию шага Ь(Ь~~О), будем иметь: «,«а 7С (Ь) = ~ У с(х — 3 [У (хг — Ь) + 4У (хг) +У (хт+ Ь)1. л «,-ь Отсюда, дифференцируя функцию й(Ь) по Ь последовательно трн раза, получим: )~'(Ь) =[У(х +Ь)+У(х — Ь)1 —,[У( — Ь)+4У( )+У( +Ь))— — — "[ — У'(х,-Ь)+У'(,+Ь)1= 3 [У(х,— Ь)+У(,+Ь)1- 4 л — у (х,) — — [ — у' (х, — Ь) +у' (х, + Ьф Я" (Ь) = —,[ — У'(х,-Ь)+У'(х,+Ь)1— — 3[ — У ( г-Ь .+ )~ — 3[У ( т- )+У ( .+ ))= (х Ь) +У (' 1 +Ь)«3 [У (' 1 Ь)+У ( 1+ЬН 585 9 4) ФОРМУЛА СИМПСОНА Н ЕЕ ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН я "(Ь) = —, (У'(х1-Ь)+У'(х1+Ь))- 3 (У ( Ь)+У ( 1+Ь)) 3 1 У ( Ь)+У ( 1+ )1 Н 2«о 31У ( + ) У ( «)1 ЗУ (оа)' где $аЕ(х1 — Ь, х1+Ь).
Кроме того, имеем: Я(0)=0, Й'(О) =О, Я'(0)=0. Последовательно интегрируя )сы'(Ь), используя теорему о среднем, находим: )С" (Ь) =1С (0)+ ( у("'(2) П= — Ц11У1У а,) Н= о о 2 уч (в ) ~ 1а,ц 2 Ьау1у(в ) в где $1 Е(х1-«, х1+Ь)1 А А й'(Ь) =й'(0)+~й'(1)й1- — -'~1аУ1 (~ )й1- в о 9У (о1)о 18 о где 91Е(х1 — Ь, х,+Ь); Й(«) =-й(0)+~й (1)й( = —, 1У~~(8,)й1= 1г Г33 А уШ (Ц чв й1 у1У (вь) 1 Р Нв о где $Е(х1 — Ь, х,+Ь). Таким образом, остаточнвой член формулы Симпсона равен 11 У (я) гле 9Е(х„х,). Следовательно, эта формула является точной для полнномов не только второй, но и третьей степени, т. е. формула Симпсона при относительно малом числе ординат обладает повышенной точностью.
556 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОЕЛНИЕ ФУНКЦИЙ (гл. хьч й 5. формулы Ньютона — Котеса высших порядков Прокзводя соответствующие вычисления при л=В, получим из формулы (7) $ 2 квадратурную формулу Ньютона «а Зл уу = — В(уь+Ву,+Вуа+уь) «а (лравило трех восьмых). Остаточный член формулы (1) равен [2] зла = — У (й)а где $ Е(хь, х ), т. е. при одинаковом шаге формула Ньютона, вообще говоря, менее точна, чем формула Симпсона.
Дальиейшие квадратурные формулы Ньютона — Котеса приведены в [1), [2). Остаточные члены этих формул даны Стеффенсеном (см. [1), [5), [6)). Заметим, что ошибка формулы Ньютона — Котеса с л+1 ординатами при достаточной гладкости функции у=~'(х) по меньшей мере имеет порядок [1), [6) ~ аЕ ( — )+з~ /лт л где Е~ — ~ — целая часть дроби —. ~ 2 т' 2 ' Отсюда видас, что в смысле порядка точности квадратурные формулы с нечетным числом ординат являются более выигрышными.
Таблица 65 Коэффициенты Котеса Приводии для справок таблицу коэффициентов Котеса (таблица 65). Для удобства записи коэффициенты Котеса для каждого л представлены в виде дробей Йт Н =— 1Ч 8 5) ООРМУЛЫ НЬЮТОНА КОТЕСА ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 587 с общим знаменателем М. Для контроля заметим, что ХН,= . Следует обратить внимание на то, что коэффициенты Котеса при больших л могут быть отрицательными (см., например, и= 8). П р и и е р. Вычислить 1 применяя формулу Ньютона — Котеса с семью ординатами (л=б). Решение. Полагая шаг 1 — О 1 л= — =— 6 6 ' составляем приведенную пихте таблицу значений (таблица 66), где для удобства принято Й = 840НО Таблица 66 Вычнсленне интеграла но формуле Ньютона — Котеса Отсюда У =- 6 — 581,9943Т2 = 0,6933.
588 пгивлижяннов ннтвггиговлниз етнкцнй [гл. хтс Точное значение 7 =! и 2 = 0,69315 Так как коэффициенты Котеса при большом числе ординат весьма сложны, то практически для приближенного вычисления определенных интегралов поступают следующим образом: разбивают промежуток интегрирования на достаточно большое число мелких промежутков и к каждому из них применяют квадратурную формулу Ньютона — Котеса с малмм числом ординат (см., например, [7]).
Получаются формулы более простой структуры, точность которых может быть произвольно высокой. В следующих параграфах мы рассмотрим примеры таких формул. 2 6. Общая формула трапеций (правило трапеций) Для вычисления интеграла ь ]У ул « разделим промежуток интегрирования [а, 6] на и равных частей [л, л ], [х„ла], ..., [х„„х„] и к каждому из них применим фор- 6 — а мулу трапеций (см.
2 3 (1)). Полагая й= — и обозначая через и ус — — У(л~) (1=0, 1, ..., л) значения подынтегральной функции в точках лп будем иметь: ь Ь а Ь У лх = 2 (Уа+У«) + 2 (У«+Уз) + ° ° ° + 2 (У«-а +У«) или ] У ох =Ь ( — +У1+ у«+ +У«-а+У«-г+ ) ° (1) а Геометрически формула (1) получается в результате замены графика подынтегральной функции у = У(х) ломаной линией (рнс. 71). Еслиу Е с™ [а, Ь], то остаточный член квадратурной формулы (1) в силу (2) из 2 3 равен «« л а )т =~У ах 2 ч>' (У~-~+Ус) = и 2 (У' т+У') «~ где $гЕ(хс „л~). Рассмотрим среднее арифметическое л )л= — „ЕУ'6г) ~=1 (3) Очевидно, )л заключается между наименьшим вл и наибольшим Мл значениями второй производной у" на отрезке (а„Ь~, т.
е. ел~р~М,. Так как у" непрерывна на отрезке (а, Ь), то в качестве своих Рнс. 71. значений на [а, Ь) она принимает все промежуточные числа между лчл н М . Следовательно, найдется точка $ ~ 1а, Ь) такая, что )л=У (ь). Из формул (2) и (3) имеем: лаз „(Ь вЂ” а) Ьл )7= — — у" 6) = — у" (я) 12 12 где $ ~ (а, Ь). й 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) Пусть и = 2е есть четное число н у; =у(х1) (1= 0, 1, 2, ..., и)— значения функции у =у'(х) для равноотстоящих точек а = х, х„... ..., х„=Ь с шагом Ь вЂ” а Ь вЂ” а Ь=— л 2т Применяя формулу Симпсона 5 4, (1)) к каждому удвоенному промежутку (х„хД, '1хл, хл1, ..., (х„„л, ха„) длины 2Ь (рнс.
72), 2 7] овщля еогмтлл симпсона (плелволичвскля еогмтлл) 389 590 птивлижкииое иитигтитоваиие егикций [гл. хи будем иметь: ь л а У«1х= 8 (У»+ 4Уд+Уь)+ 8 (Ух+ 4У»+Уь)+... а дд ° ° ° + 8 (Уда-ь+4У» -д+Уд ) ° Отсюда получаем общую формулу Симпсона ь л Уй"= 8 [(У»+Ух )+4(У»+У»+ ° ° ° +У»а-д)+ а + 2 (Уз+У»+... +.У„„,)]. (1) Введя обозначения о,=у +у +...+у, о,=у,+у»+... +у,„, формулу (1) можно записать в более простом виде: ь ] У йх = — [(У +у„) + 40, + 20,].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
