Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е. интеграл 7= ) у'(х) а~х а априори может иметь совершенно произвольное значение (см. Рис. 76). Пользование в этом случае квадратурными формулами допустимо лишь тогда, если нам в какой-то Рис. 76. мере известны неиспользованные промежуточные значения подынтегральиой функции и ее общие свойства, позволяющие судить о характере графика функции. й 11в.
Экстраполяция по Ричардсону Если лля квадратурной формулы (1) $10 известен порядо1с остаточного члена Л = Я Я, то для определения величины И можно использовать метод двойного пересчета. Пусть 77=0(Ь") (ш)1), 608 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВЛНИЕ ФУНКЦИЙ (ГЛ. ХЧ! где Ь вЂ” а Ь=— и (л — число делений); тогда приближенно можно положить: Й = М)йл, (1) где Л4 †некотор величина, которую для данной подынтегральной функции !Р(д) будем считать постоянной на промежутке интегрирования (а, Ь). Выберем два различных шага Ь вЂ” а Ь вЂ” а уйй = Ий лй где л и лй (пй) лй) — количество частичных отрезков в первом н во втором случаях.
Обозначим через 1 и !л, соответствующие приближенные значения интеграла А Из формулы (1) имеем: Йлй = 1 уий = !И ( ) (2) РЬ-нт'и (2') где Я„, и )с„,— соответствующие остаточные члены. Отсюда ул,— у„,=л4(Ь вЂ” а) (' — — — ) л ! 1 ( „,. 1 й и, следовательно, (ийлй) лй л, и ! — ! (Ь вЂ” л) л — и"' й 1 в частности при уй=(йй, т. е.
при п=л„имеем: и'" й 1 (3) Пользуясь поправкой (3), в силу формулы (2'), для интеграла ! получаем уточненное значение: (4) й 1 На основании формулы (1) получаем выражение для остаточного члена ~ и,лй' л, йа ! — ! л илй илй й 1 609 ф 11) экстглполяция по гичаедсону Таблина тва Экстраоолнроаанне лля случая формулы трансцна Этот прием называется акстралоллкией ло Ричардсону 110).
Введя обозначение — л=а (сс) 1), лг будем иметь: ул„л.=ул, + ~ (ул, — ул,), (5) где (6» Коэффициенты () табулированы для различных значений а и гл. Заметим, что для формулы трапеций т = 2, а для формулы Симпсона гв =.4. Частный случай формулы (5) был приведен в Э 7. Покажем, что если У„, ~ У„о то Г„, „, всегда лежит вне отрезка ~Г„о у„,]. Действительно, если 1„, > У„п е)о пРивлйженное интеГРиРОВАние Функции [Гл. Вт! Таблица 725 Эастраполироваиае для случая формулы Симпсона то из формулы (5) имеем: 1,„,, ) 1„, = свах (1п„1„,).
Если же 1п, <1п„ то из той же формулы (5) получаем: 1п,. „, = 1.„— Е (1., — 1.,) < 1., = пбп (1„„1„,). Таким образом, 1п„ и, Т (1п„ 1п,), т. е. 1п„п, получается из 1 и!п,в результате операции экстраполиров а ни я. Этим и объясняется название способа. Если 1п,=1„„то, очевидно, 1п1 оп = 1п, =1п; 3 12) 011 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ Можно показать, что прк достаточной глздкостн подынтегральной функции у(х) порядок остаточного члена для 1„, „, равен по меньшей мере «!+1. 3 а м е ч а н н е. В таблицах 72а и 726 приведены прнмеры на экстраполнрованне по Ричардсону.
Из таблнцы 72а н 72б видно, что для функций, не имеющих особенностей, экстраполнрованне„ как правило, повышает точность вычислений. Можно также вывести более точные формулы экстраполнровання, использующне значения у„н 1„, н 7„, искомого ннтеграла, соответствующие трем различным шагам Ь, = — (э = 1, 2, 3) я учнтывающяе два первых члена разложения остаточного члена квадратурной формулы 110]. й 12э. Числа Бернуллн Рассмотрнм функцию у'(х) = — „ Воспользовавшись нзвестным, разложением е =1+ — + — + — +...
Л ЛА ЛА !! 2! 3! можно записать: У(*) —, „р — „, . ()) — + — + — +... 1+ — + — +... !! 2! 3! 2! 3! Отсюда ясно, что функция 7'(л) в окрестностя х=О допускает разложение в степенной ряд, который для удобства дальнейших выкладок представим в следующем виде: где Ве=у(0) =1. Для определения остальных коэффициентов разложения В„(л = 1, 2, ...), Носящих название чисел Бернулли. используем получаемое на основании формулы (2) тождество («+1)! л! 612 Производя перемножение степенных рядов и приравнивая нулю козффициенты прн положительных степенях переменной к, будем иметь бесконечную систему линейных уравнений в„ ! в„ , в» В, + и 1 + +» 0 (л 1 2 5 ) и! 1! (а — 1)! 2! ' О! (л+!)! или, умножая на (и+1)! и учитывая, что (л+ 1)! Ю И~ ц, — — С„;» (А=О, 1...., л+ Ц, получим: С„'+,В„+ С„'+,В„+... + С„"+,В, + 1 = О.
(4) Если условно положить В„= В", (5) то формулу (4) кратко можно записать в следующем символическом виде: (В+ 1)'+' — В"+' =0 или, заменяи л+ 1 на л, (В+ 1)" — В" = О. Полагая и=2, 5, 4, ... в формуле (6), получим бесконечную систему уравнений (7) Отсюда последовательно находим: 1 В = —— 30' ! 6 ' В =О; В =О! В = 6 В„=д, 1 0' 30' 691 0; В = — — В 2730 ' 3617 — — В, =О; 610 ' Вв= В,»= 0; В 1746!! О В 330 В, = и т. д. 'Таким образом, числа Бернулли могут быть шаг за шагом определены из символической формулы (6), причем после развертывания бинома по правилу Ньютона степени чисел В должны быть заменены числами Бернулли с соответствующими индексами.
1 2 ' 1 42' ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУИХПИй (ГЛ. ХЧ! 2В +1=0, 5В +ЗВ +1=0„ 4В»+6В +4В1+1 = О, 5В»+10В»+ 10В»+5В +1=0, 7 1»=0; В»4 6 ' 43867 В = —; В 798 Ю 13) ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА †МАКЛОРЕ 613 функция (1) называется производящей Функцией чисел Бернулли. Воспользовавшись обозначением (б), разложение (3) символически можно записать следующим образок вл ел — ! 1 н В,— — —, В,=! имеем: Х л х клВ„ ~р(х) = — — В х = — + — =1+ Р— "х". е" — ! ' е' — 1 2 ~л! ллл Очевидно, (3) л к(ел+!) х е'+е ' х л е' — е есть функция четная. Поэтому ее разложение (8) содержит лишь четные степени переменной х и, следовательно, В,=О при п=3, 3, 7, Числа Бернулли находят применения во многих вопросах.
В частности, они используются в важной формуле Эйлера — Маклорена, к выводу которой мы переходим. 3 1Зе. формула Эйлера †Маклоре Пусть у = 7'(х) -некоторая функция, определенная в области х ~)хе. Рассмотрим оператор конечной разности 37(х) = у(х+ 3) — у'(х), где 3 †фиксированн положительная величина.
Под обратньиа ! оператором — от функции у(х) естественно понимается функция Ь Р(х), удовлетворяющая конечно-разностному уравнению ЛР(х) =у'(х). Таким образом, из уравнения (1) ямеем: Р(х) =-~~(х). Из структуры системы (7) очевидно, что все числа Бернулли рациональны.
Кроме того, обнаружилось, что числа Бернулли с нечетными индексами, кроме Вы равны нулю. Докажем это свойство в общем виде. Учитывая, что птивлнженноя интвгтитованив етнкций [гл. хт! 614 Если функция /(х) рассматривается на множестве равноотстоящих точек х„х„х„.. „ где Лх,=х;+,— хг=Ь (!=О, 1, 2, ...), то обратный оператор ! г (х!) = — У(х!) легко построить. Действительно, составим конечную сумму 8(х!) =,')",У(х,) (1=1, 2, ...), т=ю прн 1 = О, 1, 2, ...
Следовательно, разность зависит от индекса г и мы можем положить: г" (х;) — Ю (х;) не р(х!) о (х!)=~ (хо) о (хо) =р(хе) Г(х,) =Г(х,)+Я(х!), отсюда где Р(хе) †произвольн постоянная величина. Итак, ~ у(х!) = р(хо)+~(х!) т. е. обратный оператор для конечной разности есть оператор конечного суммирования.
Введем теперь оператор дифференцирования 0г" (х) = — „ и[(я) 1 Под обратным оператором — понимается операция интегриро- 0 ванна к — у (х) = ) у'(х) йх. к~ Используя ряд Тейлора, находим: б~(х) = ~ — [л у (х) = ~ ~ †(т,г(х) =(вьо — 1)у'(х). а1 причем будем условно считать, что Ю (хе) = О. Очевидно, получаем: Л8 (х,) = 8 (х, +,) — Г (х;) = у (х;). (3) С другой стороны, согласно уравнению (1) имеем: ЛР(х!) =у'(х,).
(4) Вычитая из равенства (4) равенство (3), находим: Л (Р'(х!) — Я (х,)) = 0 616 Фогмулл эйлзгл мьклогвнл 6 16) Следовательно, Ь = (е"" — 1). ! Отседа для обратного оператора — получаем следующее выражение: й 1 1 Ь е"~ — 1 Умножая обе части последнего равенства на ЬЕ), имеем: 1 ВВ ЬΠ— = — „ еьп ! или более подробно ~ [д У(х)~ = ~з~з — !Ь"-'0 У(х). й=ь (6) Интегрируя равенство (6) в пределах от х=хз до х=х„и исполь- зуя формулу (5), будем иметь: д |(хь) — д У(хо) = ! 1 к„ ОΠ— „) У(х)пх+ ~~' а!аЬ' '(у'" "(х„)-!г'" ') (х,Ц, ке или Р(х.)+ ЕУ(х,) -В(х.) =Е У(ху) = ! ь ! 0 Кп = — „') г" (х) а!х + ~ —,~ Ь" ! (у'ь " (х,) — ~'ь !' (х,)1.
ю й=г Учитывая, что В,= — 2 н Взь,,=О прн Ь=1, 2, ..., ! В право!! части получалась производящая функция для чисел Бернулли. Поэтому л! 616 пгивлижвннов интвггигованив втнкций (гл. хш получаем грормулу Эйлера — Маклорена л У(~) !)х —" ~ — У(» )+У(» )+У(» )+ ° +У(х.- )+ — У(х,)~— ле — — '" Ьз"!у'в~ м(х„) — у'в~ м(х,)!+Ив, (7) Ф-~ где К, — остаточньш" член, Запись формулы (7) в виде бесконечного ряда не всегда законна, таи как ряд может расходиться. Подставляя значения чисел Бернулли, будем иметь: /! — (. ° - —.) ° ' 1 1 «в Уи»=Ь( 2Уа+У +Уз+ ° ° ° +У~-т+ 2У ) — !2(У вЂ” Ув)+ ла + — (У.— У.) — — (У вЂ” У )+ " ... — — Ьа ~У' ' (х„) — У' м(х ))+Ив . (8) Остаточный член формулы Эйлера — Маклорена имеет вид 16) Ьаю+а й~й+Ф у(вВ3'~ в) ($) (2т+2) ! где $ Е (х„х„).
Формулу Эйлера †Маклорена (8) используют аля приближенного вычисления определенных интегралов, а также для приближенного суммирования значений функций при равноотстоящих значениях аргумента. Действительно, из формулы (8) мы имеем: 1 ~~)' г(х ) = — ( г(х) ох+~( ')+"( ')+ ! Ь,) 2 !=о «а т +,),— '" Ь'" '(Учз" "(х ) — У"" п(х ))+пЬ' +' ' +' У!з +" (й). В в ь В (2ь) ! (2а+2) ! (9) П р и м е р 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
