Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Используя формулу Эйлера — Маклорена, приближенно вычислить определенный интеграл 7 ~ (гйпх !пх ( аа)й» Р е ш е н и е. Разделим отрезок (О, 2; !), например, на восемь промежутков, беря Ь = 0,1 и полагая хг=0,2+1 0,1 (г=О, 1, ..., 8). 617 й 13) ФОРМУЛЛ ЭйЛЕРЛ вЂ” МЛКЛОРЕНЛ Результаты вычислений соответствующих значений функции у'(Х) = =51пх — 1пх+е" приведены в таблице 73. Таблннв 73 Значении Фуииннн У(х) 51и х — 1п х-1-ви Отсюда — У'(хв)+У(Х,)+... +~(х,)+ — У'(хв) = 24,1894. Ограничиваясь производной пятого порядка, имеем: д (х) = со5х — +в и (Х) = — СО5Х вЂ” — +И Ф и хе уч(х) =созх — —,+е . 24 х Следовательно, у" (0,2)= — 2,7985; ~'(1)=2,2586; у"'(0,2) = — 249,Ч587; у"'(1) =0,1780; Уч (0,2) = — ' 74 997,7985; Ут (Ц = — 20,7415.
Подставив найденные значения в формулу (8), получим: 7= 24,1894 0,1 — — ' ° (2,2586+2,7985)+ +73П ° (0,1780+249,7587) — ~)~~()( — 20,Ч415 + 74 997,7985) = 2,41894- 0,00421 + 0,00004 = 2,41477. Непосредственное интегрирование дает: 7=1 — созх — х (1пх — 1)+еи] )еи ян 24148. П р и и е р 2.
Найти сумму 1 1 1 1 — + — + — +" ° + — ° 31в 33и 33и ' ' ' 99и ' 20 В, П. Демидович и И. Л. Мирчи 613 пРиВлиженное интеГРиРОВАние Фзнкцнй (ГЛ. ХШ Решение. В нашем случае У'(х)= — „,; в=2; хе=51; х„=99. Находим производные нечетного порядка от функции у(х): ~ (х)=-р, 2 ~ (х)= —,, 726 ле (х) = — — и т. д. тп 40 320 Ае Подставляя в формулу (9) и ограничиваясь производной седьмого порядка, получим: ее Л 11 = 0,004 753 416+ 0,000 243 490+ + 0,000 002 169 — 0,000 000 001 = 0,004 999 074. Согласно формуле (9), где нужно положить 3=2, в=24, в>=4, ошибка полученного результата есть Я =24.2>е.
>е.У>>е> ($) (24.21е. ' . ' . "' ( ' -10-ы 8> 66 81 6011 2611 9 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов Интеграл ') у (х) дх е называется собственным, если Ц промежуток интегрирования (а, Ь1 конечен; 2) подынтегральная функция у'(х) непрерывна на [а, Ь). В протизном случае интеграл (1) называется несобственным. Рассмотрим сначала приближенное вычисление несобственного интеграла ~/(х)бх е $14) пгивлижвииов вычмсляииз ивсовстввииых иитвггллов 619 с бесконечным промежутком интеерирования, где фуикция у(х) непрерывка при а(х <. оо. Интеграл (2) называется сходящимся, если существует конечный предел 11ш ) у(х)Фх, ь- (3) и по определению полагают: ),У(х) Нх = 1пп ) У(х) дх.
О ь. юв Если предел (3) ие существует, то интеграл (2) называется расходящимся, и такой интеграл считается лишенным смысла. Поэтому, прежде чем приступить к вычислеияю иесобствеииого интеграла, нужно предварительно убедиться, пользуясь известными признаками сходимоств (101, что втот интеграл сходится.
Чтобы вычислить сходящийся иесобствеииый интеграл (2) с заданной точностью е, представим его в виде ) У(х) дх = ) у'(х) с(х+ ) у (х) с(х. (3) а ь 2 ' (6) Собственный интеграл ь ) у'(х) с(х О можно вычислить по одной из квадратуриых формул. Пусть 8 — прие ближеииое зиачеиие етого интеграла с точностью до —, т.
е. Из формул (5), (6) и (7) имеем ! (л м — в!< . а т. е. поставлеииая задача будет решеиа. В силу сходимости интеграла число Ь можно выбрать столь боль- шим, чтобы имело место неравенство пгивлижвнное интнггиговлнив екнкций [гл. хщ 820. Предположим теперь, что промежуток интегрирования [а, Ь) конечен и подынтегральная функция у'(х) имеет конечное число точек разрыва на [а, Ь[.
Так как в наших предположениях промежуток интегрирования можно разбить на частичные промежутки с единственной точкой разрыва подыптегральной функции, то достаточно разобрать лишь случай, когда на [а, Ь[ имеется единственная точка разрыва с функции у'(х), причем второго рода "). Если с есть внутренняя точка отрезка [а, Ь[, то по определению полагают: ь с-ь, ь ')у'(х)с)х= 11ш $ у(х)дх+ ~ у'(х)Фх, (8) с Ьк-о+о о с+а, Ь, -о+о и в случае существования этого предела интеграл называют сходян(амся, в противном случае †расход(имся. Аналогично определяется сходимость несобственного интеграла (8), если точка разрыва с подынтегральной функции у'(х) совпадает с одням из концов промежутка интегрирования [а, Ь[.
Для приближенного вычисления с заданной точностью е сходящегося несобственного интеграла (8), где точка разрыва с ~ (а, Ь), выбирают положительные числа бд и б столь малыми, чтобы имело место неравенство с+6, [ .") —;. с-Ьс ) У'(х) Их и ) У'(х) с(х. . с с+ь, (9) *) Если с †точ разрыва первого рода, т. е. существуют конечные односторонние пределы Г(с — О)= Ищ )(х) н ) (с+О) = 11щ !(х), к-ос, к ~с к-ос, к)с то можно положить: ь с ь ~ ) (х) ах = ) )о (х) ах+ ~ го (х) о)х, где ьо (х) = -( )(х), если а~х < с; ~ г(с+О), если х=с; ' н го(х)= )(с-0), если х=с; 1 1(х), если ссх~ь; пРичем фУнкЦии )д(х) н го(х) ЯвлЯютса непРеРывными соответственно на отрезках [а, с) н (с, Ь).
Таким образом, наш интеграл сводится к сумме двух собственных интегралов. Затем по известным квадратурным формулам приближенно вычисляют . собственные интегралы с-ь„ ь 6 16] мвтод л. в. клнтоговнчл выдвлиния осовинноствй 621 Очевидно, если Ю и Юо — приближенные значения интегралов (9) с точностью до з, то Ф ь ) у'(х) дх 8, +Во о с точностью до е. Если точка разрыва с подынтегральной функции у (х) является концевой дли промежутка интегрирования [а, Ь), то методика вычисления очевидным образом видоизменяется. й 16.
Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей Тогда будем иметь: « ь ~,у'(х) дх= ~ д(х) дх+ ~ [г" (х) — д(х)]дх, где первый интеграл берется непосредственно, а второй без труда вычисляется с помощью стандартных формул. Мы рассмотрим применение этого метода для вычисления интеграла вида « ф (х) (х — хо)' Я где хоЕ[а, Ь], 0( а С 1 и ф(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], Пусть ф(х) 6С' см[а, Ь], т. е. ф(х) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывные производные до (лс+ 1)-го порядка включительно.
Используя формулу Тейлора, будем иметь: ф (х«) « ф(х) ='à —,' (х — х,) +чр(х), «=о (2) где м «=о (йб(а, Ь)). Часто для приближенного вычисления интеграла от разрывной функции полезным оказывается метод Л. В. Канторовича выделения особенностей [1], [6], [!О]. Идея этого метода состоит в том, что из подынтегральнойфункцииу(х) выделяют некоторую функцнюд(х), имеющую те же особенности, что и функция у'(х), элементарно'интегрирующуюся на данном промежутке [а, Ь] н такую, чтобы разность у(х) — и(х) была достаточно гладкой на отрезке [а, Ь]. Например, у(х) — д(х) 6Сою [а,Ь], где л«~1. 622 пгивлнжвнное интеггнговлнив етнкций (гл. хш Отсюда для интеграла (1) получим: ь а нв х ™о) [(Ь х ) +х- (а х )аьх- )+у а=о (4) где ('ч (х) а Г а (5) Из формулы (3) вытекает, что Их р х (1 —.х) о Р е ш е н н е. Подынтегральная функция 1 ! у(х) =х '(1 — х) 11 имеет на отрезке ( О, — ! единственную особую точкух= О.
Разло- 2~ жям в рад Тейлора по степеням х функцию 1 ~р (х) = (1 — х) с точностью до ха. Применяя бином Ньютона, будем иметш ~р (х) = 1+ — х+ — х'+ — х'+ — х'. 1 3 5 35 2 8 16 123 (по меньшей мере!), следовательно, интеграл (5) является собственным и может быть вычислен с любой степенью точности по подходящей квадратурной формуле. Метод Канторовича применим также к несобственным интегралам, подынтегральная функция которыя имеет несколько точек разрыва рассмотренного типа. Вэтом случае для вычисления интеграла достаточно разбить промежуток интегрирования на части, содержащие лишь одну особую точку нодынтегральной функции, и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.
П р и и е р 1. Приближенно вычислить несобственный интеграл (11] 1 Отсюда ! ! я, а 7 = ( х т б(х + — ( х Я !)х+ 2 ) о о ! ! ! я э 2 б 2 У о о о = 1,5691585+ уб, (6) где о ф (х) и 1 / 1 3 б 5 б 35 тр (х) = = — ~ 1+ — х+ — х'+ — х'+ — хб) ° (7) Собственный интеграл (7) вычисляем по формуле Симпсона, Таблица 74 Вычисление интеграла ио формуле Симпсона приняв и =10 н шаг Ь= — =0,05. Результатывычнсленийсточно- 1 стью до шести знаков приведены в таблице 74. $ 15) метод л. в.
клнтоговичл выдвлвния осоввнноствй 623 624 пгнвлижвннов янтвггнговлннв екикцнй (гл. хьч Отсюда 7 Ю 3(0'020239+4 0'015493 1 2 0'008049) — 0,098309 = 0,0016385. Следовательно, в силу формулы (6) имеем: 1,5691585 + 0,0016385 ~ = 1,5707970. Заметим, что ннтеграл 7 находится зле ментарно н его точное значение есть 7= — = 1,5707963...
2 Замечая не. В некоторых случаях несобственный интеграл может быть преобразован в собственный с помощью замены переменной илн ннтегрнрования по частям. Пр и мер 2. Преобразовать в собственный интеграл I= вх (8) (1+х)Р' х 1 Р е ш е н н е. Полагая в интеграле (8) х = —, получим интеграл с конечными пределами 1 1 от (а+1) Г а (1+К) Г л (9) о но имеющий особенность прн х = О.
Производя надлежащее интегрирование по частям, будем иметь: 7=) 1+хИ(2')ух)=, ~ +) Ф"х(~~х)а=1+2) "4нх, о о о о причем оставшийся интеграл есть собственный, н прнмененне к нему квадратурных формул не встречает затруднений. Употребляются также другне приемы преобразования несобственных ннтегралов [6]. 9 16. Графическое интегрирование Задача графического интегрирования состоит в следующем: по данному графику непрерывной функцину =Дх) требуется построить график ее первообразной функции к Р (х) = ~ 7'(х) Фх. о $16) ' ГРАФнчкское интвггнгояьнив Иными словамн„ нужно построить такую кривуюу= г (х), ордината в каждой точке х которой численно равна площади криволинейной трапеции с основанием [а, х~, ограниченной данной кривой у =у'(х). Для приближенного построения графика первообразной функции т = г'(х) разбиваем площадь соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =у(х), на узкие вертикальные полоски с помощью ординат, проведенных в точках х„ х,, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
