Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если вычисление объема о затруднительно, то можно принять: и аж —; М' отсюда л тж —,~г (М). 1 1=! В частном случае, когда о есть единичный куб (и=1), 'проверка становится излишней, т. е. л = Ф н мы имеем просто А! У = — „~д~", ~(М,.). с=! Для проверки условий (6) и (6') обычно исходят из аналитического задания границы Г области о. В простейшем случае, если поверхность Г задана уравнением ф(ь) =О, (8) где при ф(я) (О точка $ ~п и при ф($) ) О точка $ ь"-и, мы имеем: 1) если ф(М!) ( О, то точка М, — первой категории и 2) если ф(М,) ) О, то точка М,— второй категории.
Точки М„для которых !р(М;) =О, причисляются к первой или второй категории по соглашению. Заметим, что уравнение (8) можно заменить любым равносильным ему уравнением, что иногда дает возможность значительно 644 [гл. хтп мктод монтк-клгло облегчить выкладки. Так, например, неравенство для круга хк+»к — л — у+ — н= О 1 4 удобнее заменить эквивалентным ( 2) +(» 2) так как второе неравенство проверяется проще. Если область и †стандартн и задана неравенствами: $г«$ «$„ $к($ ) ~$к~$кйт) (9) $ ($ . .
$ ) ~ $ -'к $ ($г ..., $ ), то для определения принадлежности случайной точки М ($„ ..., $„) к первой или второй категории проверяют выполнение этих неравенств. Та блина 77 Схема определенна крннадлемвостн случайной точки л[ ($к, ..., $ ) к стандартной области (9) если $Д ~$о Ц если $, Е ($, $г1 .е . Очевидно, =1, то МЕо' =О, то МЕо. ..., в) и е=е,е, если в если в Практически это удобно делать по схеме, приведенной в таблице 77. Здесь 9 4) вычислвнив кглтных интвггьлов мвтодом монти-квело 645 — «,~хм 1, ! О~у 2х — 1 (о) (рис.
88). Р е ш е и и е. Интеграл (10) дан в приведенном виде, т. е. область интегрирования о расположена в единичном квадрате 0 ах(~! о~у~1. Для решения задачивоспользуемся таблицей случайных чисел (таблнца 76), Рнс. 88. рассматривая каждую очередную пару чисел таблицы как соответствующие координаты х и у случайной точки М (х, у).
Так как вычисление носит иллюстративный характер, то ограннчимсч 87=20 случайнымя точками, причем координаты их для простоты округлим до трех десятичных знаков. Результаты вы- числений приведены в таблице Т8, где положено 1 — 2 х= —, х=1;' у( ) 0 у(х) — 2х — 1, и=ха+у'. Отсюда г,р — — — ° 3,83Т = 0,96 ! и, следовательно, по формуле (7), учитывая, что о= —, имеем: ! = х,р ° о = 0,96 ° 4 —— 0,24. (11) Если приближенно принять н 4 ! !у 20 5 ' то получим: ! ж 0,96 ° 8 — — 0,19, 1 Заметим, нуо есля ву —— 0 (7'( и), то дальнейшие значения е „ ..., в можно не подсчитывать, так как они не повлияют на окончательный результат. Значение функции у = Р (М) подсчитывается только для тех точек М, для которых е = 1. Затем для вычисления интеграла ! используется формула (7).
Пр и м е р. Методом Монте-Карло приближенно вычислить интеграл ! = ~~ (х'+у') !!х ну, (1О) !ю где область интегрирования о определяется следуюшими неравенствами: 646 [гл. хтн метод монте-квело Таблица 78 Вычисление двойного интеграла (10) методам Моите-Карло х (х) у (х) е, 0 0 0,154 0,474 0,280 0,452 0,740 0,855 0,860 0,058 0,992 1,048 1,482 0,306 0,764 0,042 3,837 Заметим, что точное значение интеграла ! — ж О 22; 7 32 понтону относительная погрешность результата (11) равна 0,24 — 0,2х2 0,22 Конечно, тут число точек Ж 20 недостаточно, чтобы статистические закономерности моглн проявнтьси в должной мере, но тем не менее для грубой ориентировки получен удовлетворительный результат.
Второй способ. Если функция Р($)=Г($„$„..., $„) неотряцательна, то интеграл (6) можно рассматривать как объем тела У в (л) + 1)-мерном пространстве ОБАД,...$ у, т. е. (12) где область интегрирования У определяется условиямн $ = бы $, ..., $ ) Е о, О ~ у -"а, Р ($). 0,577 0,737 0,170 0,432 0,059 0,355 0,303 0,640 0,002 0,870 0,116 0,930 0,529 0,996 0,313 0,653 0,058 0,882 0,521 0,071 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 О. 500 1,000 1,000 1,000 1,000 1, 000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, 000 1,000 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1' 0 1 1 0 0,716 0,701 0,533 0,263 0,663 0,094 0,552 О,йб 0,557 0,323 0,930 0,428 0,095 0,700 0,270 0,934 0,003 0,986 0,918 0,239 $4) вычислвннв кгьтных интвггллов методом монтв-квело 647 Пусть О ~ Р(с) ~ В.
(13) Введя в интеграле (12) новую переменную 1 Ч У (14) получимт 7=ВАМ... 1 %,«3,...«8 «Ч, вв где новаа область о есть цилиндРоид пРостРанства 0$Дз...$ Ч, построенный на области о и ограниченный снизу гиперплоскостью Ч = О и сверху гиперповерхностью Ч= г (4) 1 В I (рис. 89). В силу неравен- р~ю ства (13) объем о целиком лежит в (яг+ 1)-мерном кубе ! 0~5[~1 (1=1, 2, ..., лг), О Ч ~*1. ( Возмьем теперь яг+ 1 равномерно распределенных на / [О, 1) случайных последовательностей ЯЧ 81Ч "'%"') (Чд. соответствующие влементы которых будем рассматривать как координаты случайных точек М%", 5))ю" $)"' ЧЛ.
(1=1,2, ...) пространства ОЩ...$„Ч. Если из общего числа М случайных точек и принадлежит объему о, а М вЂ” л не принадлежит етому объему, то при достаточно большом числе М приближенно полагают: ужВ ° н, (15) !=В Р(Ммо), где точка М с одинаковой вероятностью может занимать положения Мы Мз, ..., М~~. Выполнение соотношения М~о 648 метод монти-калло' [гл.
хчп проверяется аналогично тому, как было указано в первом способе. Заметим, что если о есть единичный куб О.я, $(~ 1 (1= 1, 2...,, нв), то для точки М( (Ц(>,..., з(("'>, т)(), все координаты которой предполагаются принадлежащими единичнойу отрезку [О, 1,) достаточно проверять лишь выполнение соотношения р д((( цг> гь(ол) Рассмотрим теперь общий случай, когда функция Р(%) =Р'(Б„В„..., В ) -знакопеременная.
Пусть — Ь ~ В (Ц ~ В, (16) где Ь и В в неотрицательные числа. Положим Г(я) = — Ь+(В+Ь) Р($), тогда будем иметь: ц ... ') Р($)(го= — Ьо+(В+Ь)Д... ) Г($)((о, (о> (о> где функция г)=Р(з) в силу неравенства (16) удовлетворяет неравенствам О(Р ($).~1. Интеграл может быть вычислен способом, указанным выше. Для оценки приближенного равенства ") Уо = ) ) ... ) (то ([() = Р (М Е т') (в( (ч (17) Р~~ — — ( [ е) ~1- )в (1 — во) ! (, (ч о[ )-- в(ч ~о 1- —.
4ев(Ч ' (18) ') Множитель В не имеет существенного значения. предположим сначала, что мы имеем дело с идеальными случайными равномерно распределенными последовательностями точек М( ((=1, 2, ...), координаты которых принадлежат единичному отрезку [О, 1). На основании теоремы Бернулли, применяя неравенство Чебышева, будем иметш $4) вычислвнив кратных интвгрллов мятодом монтя-кдрло 649 Задавшись для данного е гарантийной вероятностью )х (~ф — ),~(е) = 1 — 8, (19) из неравенства (18) получаем, что условие (19) заведомо имеет место, если 4еЮ (20) Отсюда выводим: в==. ! 2р бл' (21) Таким образом, точность оценки I ж— л и,у при заданной предельной вероятности ее обратно пропорциональна l ! корню квадратному из числа испытаний, т.
е. я=О ~=~. Это об- ~~М стоятельство обусловливает сравнительно медленную сходимость метода Монте-Карло: например, чтобы уменьшить погрешность результата в 1О раз, число испытаний нужно увеличить в 100 раз! Если точность оценки в и гарантийная вероятность 1 — б заданы, то из формулы (20) выводим необходимое число испытаний ! (22) Например, при и =0,001 и Ь= 0,01 имеем: М = 25 000 000. 2! в. П.
демидович и И. А. марен Оценка (22) являетсн завышенной и может быть значительноулучшена! Отметим одно важное обстоятельство: число испытаний М не зависит от размерности интеграла 1о н поэтому метод Монте-Карло выгодно применять для вычисления кратных интегралов высоких размерностей, где применение обычных кубатурных формул встречает значительные затруднения. Например, для приближенного вычислении обычным путем 10-кратного интеграла, распространенного на единичный объем, при выборе шага Ь = 0,1 понадобитса сумма, содержащая примерно 1О'о слагаемых! При практическом применении метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов обычно пользуются г-разрядными равномерно распределенными случайными последовательностями.
В этом а случае дробь 7, если И велико, будет близка не к истинному объему Уо, а к некоторому фиктивному объему 1'и, приближенно Е5О [гл. хчы МЕТОД МОНТЕ КЛГЛО представляющему собой относительную меру числа точек М с координатами вида ь/ а (23) (1=1, 2,..., /и; й/, //=О, 1, 2, ..., 1О ), попавших в объем и (ср. 2 3), причем /,, строго говоря, зависит от того, причисляются ли граничные точки к объему и или нет.
Полная погрешность результата оценивается следующим образом (см. (2[): (24) Первое слагаемое [У'ь — Уь[ правой части неравенства (24) представляет собой обычную вычислительную погрешность, получающуюся при замене интеграла /, интегральной суммой, соответствующей разбиению объема О на элементарные кубические ячейки, вершины которых принадлежат сетке (23). Величину втой погрешности можно оценить с помощью неравенства [уь ть[-~п (25) где Π— верхняя интегральная сумма (в нашем случае для интеграла (17) просто объем описанного ступенчатого тела) н Π— нижняя интегральная сумма (т.
е. объем вписанного ступенчатого тела). Величина погРешности [ Рь †у сУщественно зависит от РазРЯдности г случайных чисел, и если граница тела О кусочно гладкая, то эта погрешность при достаточно большом г может быть сделана сколь угодно малой. Неудобство от увеличения разрядности состоит в том, что возрастает объем работы, так как вычисления приходится прон[ изводить с дополнительными знаками. Второе слагаемое [Уь — — ! У~ правой части неравенства (24) называется погрешностью выборки и может быть оценено вероятностным путем с помощью теоремы Бернулли, как указано выше. ф Ь». Решение систем линейных алгебраических уравнений методом й(вите-Карло Рассмотрим линейную систему ь Х а//х/ — — ь/ / ь Некоторым способом приведем систему (1) к специальному виду ь к/ = ~ а/ ху+[)/ (/ = 1,..., «).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
