Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 81
Текст из файла (страница 81)
8 4 8 2 4 16 8 16. 8 ... 16 8 1б 4 1 4 2 4 2 ... 4 2 4 1 Есля область интегрирования о в криволинейная, то строим Рнс. 83. прямоугольник Я=до, стороны которого параллельны осям координат (рис. 83). Рассмотрим вспомогательную функцию ) у(х, у), если (х, у) Ео; О, если (х, у) Е)с — о. литкглтхгл к шкстнлдцлтой главк 633 В таком случае, очевидно, имеем: Ду(х, у) Ихду =Цу'з(х,у)дх~уу.
(а! !н> Последний интеграл приближенно может быть вычислен по обшей кубатурной формуле (3). Литература к шестнадцатой главе 1. Ш. Е. М н к е л а д з е, Численные методы математического анализа, Гостехиздат, 1953, гл. Х1П, Х!!111. 2. В. Э. Милн, Численный анализ, ИЛ, 1951, гл. !Ч. 3. С. М. Н и кол ьск и й, Квадратурные формулы, Физматгнз, М., 1958. 4. А. М а р к о в, Исчисление конечных разностей, изд.
2. Матезис, 191!, гл. т7. 5. И. Ф. Стеффе неон, Теория интерполяции, М.— Л., !935. 6. И. С. Березин н Н. П. )Кидкон, Методы вычислений, Фнзматгна, М., 1959, т. 1, гл. 111. 7. Дж. Ск а рбо ро, Численные методы математического анализа, ГТТИ, 1934, гл, Н11. 8. А. Н, Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, изд. 2, ИАН СССР, 1933, гл.
111. 9. В. И. Крылов, Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, М., 1959. 1О. М. Дж. Сап ь задори, Численные методы в технике, ИЛ, М., 1955. 11. Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс дифференциального н интегрального исчисления, !948, Гостехиздат, т. 2, гл. 1Х, Х1!1. Г Л А В А ХЧ11 МЕТОЛ МОНТЕ-КАРЛО й 1. Идея метода Моите-Карло Обычный путь решения задачи состоит в том, что указывается алгорием (последовательность действий), с помощью которого искомая величина у находится или точно, или с заданной погрешностью. А именно, если через Уп ~„..., у„, ... обозначить соответствующие результаты последовательно накопляющнхся действий, то у= Иш ~'„, причем в случае конечного числа операций процесс обрывается на некотором шаге.
Здесь процесс вычислений является строго д е т е ри и н и р о в а н н ы м: два различных вычислителя при отсутствии ошибок приходят к одному и тому же результату. Однако встречаются задачи, где построение такого рода алгоритма практически невыполнимо или сам алгоритм оказывается чрезмерно сложным. В этих случаях часто прибегают к моделированию математической или физической сущности задачи и использованию законов больших чисел теории вероятностей.
Оценкиуыу„...,у'„,... искомой величины у получаются на основании статистической обработки материала, связанного с результатамн некоторых многократных случаанак испытаний. При этом требуется, чтобы случайная величина у'„ при л- оо по вероятности сходилась к искомой величине У'111, (2], т. е. для любого з > 0 должно иметь место предельное соотношение (2) где Р обозначает соответствующую вероятность. Выбор величины у'„ обусловливается конкретными особенностями задачи.
Например, часто искомую величинуутрактуют как вероятность некоторого случайного события (или, более общо, как математическое ожидание некоторой случайной величины). Тогда частоту у'„появления события при и соответствующих случайных испытаниях (или соответственно эмпирическое среднее значений случайной величины) в шн- 635 слтчлйныа числл $2) рокихпредположенияхможно рассматриватькаквероятностнуюоценку искомой величины.
Возможны также и другие варианты. Заметим, что в этих случаях вычислительный процесс является н е д е т е р и и н яр о в а н н ы м, так как он определяется итогами случайных испытаний. Способы решения задач, использующие случайные величины, получили общее название метода Монте-Карло. Более точно под методом Монте-Карла (31, (4], (51, (6) понимается совокупность приемов, позволяющих получать решения математических илн физических задач при помощи многократных случайных испытаний. Оценки искомой величины выводятся статистическим путем н носят вероятностный характер.
На практике случайные испытания заменяются результатами некоторых вычислений, производимых над случайными числами (см. $2). Зффективное применение метода Монте-Карло стало возможным после появления быстродействующих электронных машин, так как для получения достаточно точной оценки искомой величины требуются выполнение вычислений для весьма большого количества частных случаев и последующая статистическая обработка колоссального числового материала. Заметим, что пря пользовании методом МонтеКарло нет необходимости знать точные соотношения между данными и искомыми величинами задачи, а достаточно лишь выявить тот комплекс условий, при наличии которого соответствующее явленве имеет место. Это обстоятельство делает.
возможным использование метода Монте-Карло длв решения логических задач. Из математических задач, для которых разработано применение метода Монте-Карло, отметим следующие: решение систем линейных уравнений, обращение матрац, нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы, вычисление кратных интегралов, решение задачи Дирихле, решение функциональных уравнений различных типов н др. МетодМонте-Карло успешно используется также для решения задач ядерной физики. Заметим, что для решения одной и той же конкретной задачи схема применении метода может быть существенно различной.
В втой главе будет рассмотрено вычисление кратных ннтегралов а решение систем лип ейных уравнений методомМонте-Карло. Что касается других указанных задач, то сведении о них можно почерпнуть в специальной литературе (см., например [3), библиография; а также [61), $2. Случайные числа При практическом применении метода Монте-Карло случайные испытании обычно заменяют выборкой случайных чисел. Определение 1, Величина называется случайной, если она пряннмает те илн иные значения в зависимости от появления нли иепоивления некоторого случайного события. Случайная величина Х задаетси законом распределения Р(Х(х) =Ф(х), 636 [гл. хти метод монте-клгло где х †люб действительное число и Ф(х) †известн функция (функция распределения).
Значения случайной величины называются случайными числами. Оп р е д е л е н и е 2. Если случайная величина имеет заданный закон распределения [1), [2) (равномерный, нормальный и т, п.), то будем говорить, что соответствующие случайные числа распределены по етому закону. Пусть числа х„ха, ...
х„, ... являются значениями одной и той же случайной величины Х при независимых между собой испытаниях с повторяющимися условиями. Тогда последовательность случайнык чисел (х„) будем называть случайной, с соответствующим законом распределе- ния. В дальнейшем, как правило, мы будем рассматривать равно- мерно распределенные на единичном отрезке 0 (х ( 1 случайные последовательности (1). Если (а, Ь) †люб промежуток И) из от- резка (О, 11 и т„ =ти(а, Ь) †чис элементов конечной подпосле- довательности х,, х„ ..., х„, принадлежащих промежутку (а, Ь), то для равномерно распределенной последовательности (1) имеет место предельное соотношение 1[ш — "' =Ь вЂ” а, ч„(а, Ь) (2) И -«Ф т, е. предельная относительная частота равномерно распределенной на [0,1) последовательности (х„) для каждого частичного промежутка (а, Ь) равна длине етоео промежутка.
Если случайная последовательность (х„» равномерно распределена на отрезке [О, Ц, то линейное преобразование у„= А + ( — А) х„(п Фи 1, 2, ...), (3» где А и  †данн числа, приводит к случайной последовательности (у„), равномерно распределенной на отрезке [А, В[. Вообще, имея случайную последовательность (х„), равномерно распределенную на отрезке [О, 1), можно построить случайную последовательность (у„) с заданным законом распределения Ф(у). А именно, пусть Ф(у) = ~ ~р(1) йг — соответствующая функция распределения "и), где фг) — плотность вероятности. «) Концы а и Ь по договоренности могут как включаться в промежуток (а, Ь», так н ие включаться з него.
**) Если у„ (и = 1; 2, ...) содержатся в конечном отрезке А ж;ум,'. В, то, как обычно, полагают й(у) О прн у ~ [А, В). слгчлйныв числа Для простоты будем предполагать, что функцня х=Ф(у) непрерывна н строго монотонна (рис. 84). Тогда для каждого х„, определяя у„ из уравнения х,=Ф(у„) (л=1, 2, . ), получим случайную последовательность (у„), имеющую заданный закон распределения Ф(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
