Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 77
Текст из файла (страница 77)
(4) 1 С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра (свойство 2)) выполнены равенства ~ тьР,(1)па=О прн л(л, 1 поэтому л Х А,б„(ус)=О (й=а, 1, ..., л Ц. (5) 1=1 Равенства (5) заведомо будут обеспечены при любых значениях Ап если положить Р„И1)=О (1=1, 2, ..., и), (е) т. е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (1) в качестве точек 1~ достаточно взять нули соответствующего поли- нома Лежандра. Как известно (свойство 3)), эти нули действительны, различны и расположены на интервале ( — 1, 1). Зная абсциссы 1;, 600 пгивлиженнов интвггиговхнив етнкций [гл. хе~ и, следовательно, А, определяются однозначно.
Формула (1), где 1~ — нули полинома Лежандра Р„(1) и А~(1= = 1, 2, ..., а) определяются нз системы (3), называется квадратулмой Формулой Гаусса. П р и и е р 1. Вывести квадратурную формулу Гаусса для случая трек ординат (а 3). Решение. Поливом Лежандра третьей степени есть Ра (1) = — (51~ — 31). Приравнивая этот полипом нулю, находим корни 1 = — у — яу — 0,774597; -/ 3 1 =0; 1а — — )/ 3 ж0,774597. А„, Аа, Аа в силу (3) имеем Для определения коэффициентов систему: А, +Ах+ Аа — — 2 — уг 3 А,+ у' 3.4з=б; 3 3 2 — А+ — А = —, 3 т 3 а 3 ' отсюда А=А 9 3 9 ' 3 Аз=в 9 Следовательно, 1 ) у (1) й1 — 9 [ 5Г ( — ~Я + 8у (О) + 57 ( ф 3 ) ) -ь Для справок приводим (таблица 70) приближенные значения абсцисс 1; и коэффициентов А; в квадратурной формуле Гаусса (1) для и=1 — 8 (см.
[1], [4), [6)). Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы точек 1; и коэффициенты А~ — вообще говоря, иррациональные числа. Этот недостаток отчасти искупается ее высокой точностью при сравнительно малом числе ординат. легко можно найти из линейной системы первых л уравнений системы (3) коэффициенты А;(1= 1, 2, ..., и). Определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда )2= Ц(1, — У ~0 1) г 601 $9[ кВАДРАтуРНАя ФОРмулА глуссА Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла ') У (х) Их.
а Делан замену переменной Ь+а Ь-а х= — + — Ь 2 2 получим: 1У( ) Ь вЂ” а 1 У(Ь~++ь — а Ь) г где Ь+а Ь вЂ” а х,= — + — Ь. 2 2 (7=1, 2, ..., п), (6) 11 — нули полинома Лежандра Р„(1), т. е. Р„(11) = О. Остаточный член формулы Гаусса (7) с и узлами выражается следующим образом [1[, [6[: (ь а)за+! (ф)4 [ма1(~) 77 [(2л)1[а (2л+ 1) отсюда получаем: 7Ь а1а пн 3472875 ( 2 ) У (ь) 1237732650 (, 2 648984486150 ~ 2 ) 7 ' '(Ь) И ™ Применяя к последнему интегралу квадратурную формулу Гаусса (1) будем иметь: ь ) у'(х) с(х = — ~ч~ А,у'(хь), 1=1 а ЕО2 пьивлнясвннов интеггигования оьнкцнй [гл.
кч! 11р н и е р 2. Вычислить интеграл 1 1= ') 'ь' 1+2хс!х, о применяя формулу Гаусса с тремя ординатамн (л=З). Таблица 70 Элементы формулы Гаусса О Ас о 1; 2 ) ~ 0,57735027 — = О, 55555556 5 9 — = О, 88888889 8 9 ~ 0,77459667 1;3 =г 0,86! 13631 ~ 0,33998104 О, 34785484 0,652!4516 1; 4 2;3 0,12948496 0,279?0540 О',Зб!8ЗОО6 0,417959!8 Решение.
Имеем а=о и 8=1. В силу формулы (8) и таблицы 70 абсциссы точек с точностью до пяти значащик цифр будут 1;5 2', 4 3 1;б 2;5 3; 4 1;7 2;6 3;5 4 1;8 2;7 3;б 4;5 т 0,90617985 т 0,53846931 О ~ 0,9324695! ~ 0,66!20939 ~ 0,23861919 т 0,949!079! Т 0,74!53119 ~ 0,40584515 0 ~ 0,96028986 ~ 0,79666648 ~ 0 52553242 ~ О,!8343464 0 „23692688 О, 47862868 0,56888889 0,17!32450 0,36076158 0,4679!394 4 О,!0122854 0,22238!04 0,3!370664 0,36268378 603 5 9) КВАДРАтурнля ФОРмулА ГАуссА иметь следующие значения: хт= — + — Г =0,11270; хе — 2+ 2 ге — 0,50000, хз= 2+ 2 ге=0,88730. 1 1 Соответствующие козффициенты формулы (7) в нашем случае будут: С = — ' А = — ° — = — = 0,27778; Ь вЂ”.а 1 5 5 2 " 2 9 18 Дальнейшие вычисления сведены в таблицу 71. Таблица 71 Схема вычнслення интеграла во формуле Гаусса Следовательно, I = ~ С;у; = 1,39870.
Для оценки остаточной погрешности 77е можно воспользоватьсв формулой = !8780 ( 2 ),Г ~(ь) где ь Е (а, а). Полагая 1 У (х) = Р' 1+ 2х = (1+ 2х) е, имеем 11 (х) — — ~ — 2) ( — 2) ( — 2) ~ — — ) ( )(1+2х) .2е 11 = — 945 (1+ 2х) 604 пгизлижанное интяггйговьниа еэнкций [гл. хщ Отсюда шах ( У™(х) ! = 945 при 0(х «1 я следовательно, Заметим, что точное значение интеграла есть 7 = )у8 — 3 1,39872. $16. Некоторые замечании о точности квадратуриыи формул Рассмотренные нами квадратурные формулы имеют следующую структуру: ь л ~~(х)дх==~~~', Аьу(х;)+)7[Я, (1) в ! ь где х, х„ ..., х„ †данн система узлов из отрезка интегрирования [а, й), А~ — некоторые известные постоянные коэффициенты и ге[а — остаточный член. При одном и том же числе ординат точность различных квадратурных формул различна.
Пример. Сравнить точность различи(лх квадратурных формул с тремя ординатамн для интегралов 1 7= ) )/2+хдх=2 Г'3 — — =2,797435... 3 1 Решение. Применяя формулу Симпсона, получим: 7= — '1['2 — 1+4У2+О+)г2:[-1 = —,' 8,428905=2,809635. Формула Чебышева дает такой результат: Iжз [~ 2 — 2 +$ 2+0+ р 2+ = —. 4,220097 = 2,813398. Наконец, формула Гаусса приводит к следующему значению: У ин 0,555566 О/ 2 — 0,774597+ [I 2+ О, 774597) + + О, 888889 ф' 2+ 0 = 2, 797460. Таким образом, здесь формула Гаусса оказывается наиболее точной.
$10) нвкотогыв злмвчлния о точности квлдввтхеных эогмтл 605 Мы ограничимся исследованием квадратурных формул с равно- отстоящими узлами; к числу их относятся наиболее распространенные формулы: трапеций, Симпсона, Ньютона †Коте. В этом случае точность квадратурной формулы в основном характеризуется порядком остаточного члена )с = 0(йм), (2) где Ь вЂ” а й=— л — шаг (л — число делений) и лд — натуральное число. Например, для формулы трапеций имеем (Я 3): г(Д= — '„'й У" (8), поэтому лд=2; для формулы Симпсона (й 4) )з 1У)  — н ьдУ1т (ьв) 180 отсюда лд=4.
Квадратурная формула считается тем точнее, чем больше число лд; в этом смысле формула Симпсона является б о л е е т о ч н о й, нежели формула трапеций. Качество формулы обнаруживается при достаточно малом шаге )д. Отсюда вовсе не следует, что в конкретных случаях более грубая квадратурная формула при одном н том же шаге не может дать лучших результатов, чем более точная. Например, для функции (рис. 74) у'(х) = — 8+ 45хд — 25хд имеем: 7 = ~ /(х) Их = 2 ( — 8+ 15 — 5) = 4. — д Прн л = 1 формула трапеций дает точное значение Гд — —,,У ( — 1) + У (О) + 2 ~ (1) = 6 — 8 + 6 = 4, 1 1 1— Рнс. 74.
Точность квадратурной формулы при фиксированнол~ числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов. При неудачном расположении узлов квадратурная формула может дать сильно тогда как формула Симпсона при уд=1 не обеспечивает даже знака интеграла: 7 = — (у ( — 1) + 4у (О) + у' (1)) = 8 (12 — 32+ 12) =— пгивлижвннов интвггиговлнив ехнкций (гл. хт~ У = ) у (х) Их < О, ч тогда как очевидно, что ! ) О.
Не представляет большого труда построить аналогичные примеры для любой квадратурной формулы с произвольным числом ординат. Вообще, при наличии значительного числа нулей подынтегральной функции У'(х) или при большом числе экстремумов ее (т. е когда имеется много нулей производной у' (х)), благодаря неизбежным большим значениям у Ф~/ старших производных точность квадратурных формул сильно понижается. Поэтому шаг Ь следует выбирать так, чтобы Х он был намного меньше рас- У Г~ И~, стояний между соседними нулями функции г"(х) и ее производной У'(х). Для этого рекомендуется основной отрезок интегрировании [а, Ь1 разбить на частичные отрезки [сс, Я, внутри каждого из которых функции у(х) и у (х) сохраняют постоянный знак (если это возможно), и производить вычисление интеграла частямн, выбирая для каждого частичного отрезка, вообще говоря, свой шаг.
В более сложных случаях нужно учитывать также поведение производных высших порядков у'"'(х) (и ~ 2). Для общей ориентировки полезно предварительно построить график подынтегральной функции у=у'(х). Если функция сильно колеблющаяся, то следует применять специальные приемы вычислений. Разработаны также общие приемы увеличения точности квадратурных формул [9[.
При нахождении полной предельной погрешности квадратурной формулы (1) следует учесть также погрешность суммирования )с,. Пусть слагаемые у'(х;) (1 = 1, 2, ..., и) вычислены с абсолютной погрешностью, не превышающей в, а коэффициенты А~ квадратурной формулы являются точными положительными постоянными. Тогда можно положить: Рнс. 75 )тт ( ~ А;в = в ~~.", Ап 1 искаженные результаты. Например, для функции у = у (х), изобра- женной на рис. 75, выбирая равноотстоящие узлы а=ха, хт, хы яв, ха — — О и пользуясь соответствующей формулой Котеса для пяти ординат, получим: 5 111 607 экстгьполяция по гичатдсонт Так как квадратурная формула (1) верна для 7"(х) = 1, то в л — — ' ° ах=Ь вЂ” а= ~Ав а ~=1 Поэтому из формулы (3) имеем: )тх «((Ь вЂ” а) в. (ч) Следовательно, полная предельная погрешность квадратурной формулы без учета заключительной погрешности округления равна 1с = (Ь вЂ” а) в + Я Я (, где (ус Я~ — погрешность метода, которая может быть определена указанным выше способом.
Заметим, что если подынтегральная функция у=у(х) задана таблично значениями ув =у'(хв) (1 = 1, 2, ..., л), то, строго говоря, мы лишены возможности оценить точность квадратурной формулы (1). Дело в том, что через конечную систему точек М~(хо у;) можно провести бесчисленное множество кривых у =-7'(х) (рнс. 76), ограничивающих на данном отрезке (а, Ь) различные пло- Ф щади, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
