Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 73
Текст из файла (страница 73)
заранее должно быть известно о существовании соответствующих првнзводнмя фучннмнь ! («), иначе выкладки носят иллюзорный характер, 564 (гл. хч пгнвлижвнное днеевгвнцнговлнне Таким же способом в случае надобности можно вычислить н производные функции у(х) любого порядка. Заметим, что прн нахождении производных у'(х), у'(х), в фиксированной точке х в качестве х следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента. Иногда требуется накоднть пронзводные функции у в основных табличных точках хп В атом случае формулы численного дифференцирования упрощаются.
Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим х=х, д=О; тогда будем иметь: У (х,) = — ~ЛУ,— — '+ — ' — — '+ -' —...) (4) О =а( У (хо) = ва (б Уо ц Уо+Г2 "~ Уо ц Уо+ ° ° ° ) (6) Если Р„(х) — интерполяцнонный полипом Ньютона, содержащий разности ЛУ„Л'у„..., Ьауе, н Яь (х) =у (х) -Р„(х) — соответствующая погрешность, то погрешность в определении производной есть )т' (х) =у'(х) — Р' (х). Как известно (гл. Х1У, $15), да+а 4(Š— 1) ° ° (Ч вЂ” а) са+н еь (а ( 1)1 У (Ъ)' где $ — некоторое промежуточное число между значениями х„хы ..., х„, х.
Понтону, предполагая, что у(х) ~С'~+", получим: аа )с' (х) = —" — „'= — — у'"'и (В) — (Ч (р — 1)" (Ч вЂ” й))+ +Ч(Ч-1)" (Ч-А);",(у" п(ВЮ. Отсюда при 'х=в и, следовательно, прн у=О н учитывая, что 4 (ч(ч 1) ° ° (Ч вЂ” Ю1 а=( — 1)~й1, будем иметь; Я ( х 9 ) ( 1 ) а а 7 Уса ( $ ) (6) 9 2) еогмьлы, оснозьнныв нь пеевой еогмглв ньютона 565 Так как у'ь+" (4) во многих случаях трудно оценить, то при Ь малом приближенно полагают: ,М~-и (е), Д'+'кд ль+1 н, следовательно, ( 1)ь Да+1 й (хе) ь л а+1 (7) Аналогично может быть найдена погрешность )сь(х,) для второй производной у" (х ), Пример 1. Йайти у'(50) функции у =!их, заданной таблично (таблица 60).
Таблица 60 Значения функция у= 19х Решение. Здесь А=5. Дополняем таблицу 60 столбцами конечных разностей (десятичные разряды, как обычно, не указываются; они определяются десятичными разрядами значений функции). Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (4), с точностью до разностей третьего порядка, будем иметгп у' (50) = — (О 0414+ 0 0018+ О 0002) = 0 0087. Дли оценки точности найденного значении заметим, что так как табулированная выше функция есть у=!их, то М 0,43429 у = — = к к л Следовательно, у' (50) = — '=0,0087. 0,49429 50 Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.
566 [гл. хт пгивлнжвннов диеевгвнциговьнив П р им е р 2. Путь у=у (Г), пройденный прямолинейно движущейся точкой за время 1, дается следующей таблицей [1]: Используя конечные разности до питого порядка включительно, ын нак приближенно найти скорость У= — „и ускорение )г = — точки гйа для моментов С = 0; 0,01; 0,02; 0,03; 0,04. Р е ш е н н е, Составляем таблицу разностей (таблица 61). Таблица 61 Конечные разности фуннцнн у=у(Ф) Полагая Ь=О,О! и применяя формулы (4) и (5), получаем при- ближенные значения величины скорости У (см/сек) и величины ускорения ]г' (см/сек').
Например, И(0) = 100 (1,519 — 1,496 — 0,046+ 0,020 — 0,001) = — 0,4 см/сен, )г (0) = 10 000 (2,993+ О, 139 — 0,075 + 0,003) = 30 600 см/секя. Соответствующие значения И и йУ помещены в таблице 62. 567 % 31 ФОРмулы, ОснОВАнные нА ФОРмуле стиРлннгА Таблипа 52 Значения скорости Р н ускоренна тт для закона движения у =,У1Г) Заметим, что табулированный закон движения дается Трормулой 50 нг'1 у=100 1 — соз — ). 9 )' Отсюда ор 9ЯИН .
50 я) )х = — = — а)ив о) 9 9 с)еу 250000яе 50 я) ЯР= —— о)з 51 соя— 9 Для сравнения точные значения Уи Ф' приведены в правой половине таблицы 62. Отметим, что можно вывестн также формулы приближенною дифференцирования, исходя из второй ннтерполяционной формулы Ньютона. й 3. Формулы првближеняого дифференцирования, осиоваияые иа формуле Стирливга Выведенные в 9 2 формулы численного днфференцироваиив для функции у в точке х = хе обладают тем недостатком, что они используют лишь односторонние значения функции при х ) хе.
Относительно ббльшую точность имеют симметрические формулы дифференцирования, учитывающие значения данной функции у как при х ) хе, так и при х (хе. Эти формулы обычно называются центральными формулами дифференцирования. мы ограничимся выводом одной из них, взяв за основу интерполяционную формулу Стирлинга. Пусть ..., х, х „х „х, х, х, х, ... — система равноотстоящих точек с шагом хс+,— х;=Ь и у,=у'(х;)-соответствующие значения данной фунйции у=у'(х). Полагая х — хе 9=— И 868 (гл.
ке пгивлиженное диооегенциговение У (х) — Уо+ УЛУ + — Ь'У, + — Л'У в + ) '(г — >)в ( ~/~ — оо — яв ( 4! У в 5! +дв (ув — 1) (дв — 2в) цо + 6! где для краткости введены обозначения в лу,+лув 2 дву б'У в+а'У в — 2 Лв ' ~ У-3+~~ У-в У в и т. д. Из формулы (1), учитывая, что во 1 о» Ь ' получаем: (л + + Зд 1, 24 Звв — 1ЬР+ 4 в Здв — 10ув+ 44 20 У вЂ” ~ ег ~ 1 ''')' У" (х) = —,, ~ЬвУ +ОЛвУ, + 114У,-(- ( ив ЗУ в 1Бдв Зобов+4 в ) (2) (2') В частности, полагая У=О, будем яметвц У (хо)=е~бУ в 6 11 У в+уЛУ в+ ° ° ) (8) 1 / в 1 в в в в У (Хо) = «в (Ц'У-в-12 Л'У-в+2 611У-в+ ° ) ° (8) и заменяя приближенно .функцию у интерполяционным полиномом Стерлинга, будем иметь: й 31 ФОРмулы, Основанный нь ФОРмуллх стиРлннгл 569 Пример 1.
Найти у' (1) и у (1) для функции у=у(х), заданной таблицей 63. Таблица 63 Значення функция у=у(х) Р е ш е и и е. Составляя разности функции у (таблица 63) и используя подчеркнутые члены, на основании формулы (3) будем иметь: '(Ц = — '( — 87356+36666 10- — — '."+26 10-'+ — ' 1 10- ) = 0,02~ 2 6 2 30 = — 50.(88005,5+4,2+0).10 т = — 0,4400485. Для проверки заметим, что табулированная функция есть функция Бесселя нулевого индекса у=за(х).
Как известно, У, (1) = — Уд (х) !е=~ = — 0~4400506 Аналогично, используя дважды подчеркнутые члены и применяя формулу (3'), будем иметь: у (1) = — / — 1301 ° 1О г — 1 ° 1.10-т)— О,О2е ' ~ ' ' 12 ' )— = — 2500 1301 1О т = — 3,2525 10 ' = — 0,325250, Для сравнение приведем получающееся иа основании соотношений между бесселевыми функциями точное значение У (1) = Уо (1) = Ут (1) "е (1) =. =0,4400506 — 0,7651977 = — 0,325147. Таким образом, численное нахождение второй производной есть операция, вообще говоря, менее надежная, чем первой. 3 а м еч а н и е.
Иногда требуется найти экстремум дифференцируе- мой функции у=у(х), заданной таблично. Для этого необходимо, 570 (гл. хт лгивлнженное дивеегвнциговлнив причем значение у вычисляется по формуле (1) илн по какой-нибудь другой интерполяционной формуле. Найденное значение у является экстремумом функций, если в окрестности точки х вторая разность Ьву сохраняет постоянный знак. Пример 2. Найти нуль производной функции у=,У (х), заданной таблицей 64. Таблица 64 Значение функция у .Гг(х) Дополняем таблицу 64 конечными разностями функции у. Р е ш е н и е.
Принимаем хе = 1,84. Используй подчеркнутые разности, на основании формулы (2) будем иметь: 0 г +9( — 1641)+ —— 918 — 723 Здг — 1 2+ 4 6 2 нли 0 = 97 — 16419+ — 9в. 3 2 Отсюда 97 1 4+ 47' 1641 1094 (4) Отбрасывая малый нелинейный член, получим первое приближение: 4щ= — = 5 911 ° 10 в. 97 1641 з чтобы в точке экстремума х было выполнено равенство у'(х) =О. Приравняв нулю производнуюу'(х) в формуле (2), методом последовательных приближений находим соответствующее значением. Отсюда х=х +дЬ, 9 4] фогмглы, выгьжвнные чвгвз значения в гьвноотстоящик точклх 571 Уточняя зто значение, нз формулы (4) получим второе приближение: »' '=»и+ 1094 ]» '] =5,911 ° 10 +1094 3,494 ° 10 5 911.10-'+3 2,10-в 5 911.10-ф Следовательно, можно положить: » = 0,05911.
Отсюда х =хе+»и = 1,84+ 0,05911 0,02 = 1,8411822. Таким образом, х", (1,8411822) = О. й 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках Пусть точки хф, хд, хф, ..., х„ — равноотстоящие, т. е. хгд — х1 — — й (1=0,1,2, ...,и — 1), и пусть для функции у=у(х) известны значения у!=у(Х1) (Е=О, 1, ..., и). Для данной системы узлов хг построим интерполяционный половом Лагранжа (гл.
Х!Ч, $12) ф Е (х) Ч1~ П„+,(х)!И с=ф (х — хг) П„+ (х;) где П„х(х) = (х — хф) (х — х1)... (х — х„). Еф(ХЕ) =у1 (1=0, 1, ..., и). Тогда Полагая к — к, — =» а а получим: П х (х) = К +а» (» — 1)... (» — и) = Ь" +г»" +и П + (ХЕ)=(ХŠ— Хф)(ХŠ— хь)...(ХŠ— Хг т)(Х1 — Хг+г)...(Х1 — Х„)= =йфЕ(Š— 1)...1( — 1)...[ — (и — Е)]=( — 1)" 1Ы!(и — Е)! (!) Следовательно, для полинома Лагранжа Е„(х) имеем выражение 572 [гл. ат пгнялнженноз диееегвнцнговлнна Отсюда, учитывая, что получаем: Аналогично могут быть найдены производные высших порядков данной функции у(х). Дли оценки погрешности г„(х) =у' (х) — Е„' (х) воспользуемся известной формулой погрешности интерполяционной формулы (2) (гл. Х!Ч, 2 14) (4) где $ = $ (х) — промежуточное значение между точками х, х, „х„ н х.
Предполагая, что у (х) Е С'"+з', выводим: г„(х) =[с,(х) = = —, (у'"+и ($) П,+, (х)+ П„+, (х) — [у'"+" ($))~ . Отсюда, учитывая формулу (1), получаем погрешность производной в узлах Я„'( ) -( — 1)"-'Ь"'(„(+=,))'у'"'п($), (5) где $ — промежуточное значение между х, х, ..., х„. 1. Произведем расчет для л=2 (три точки). Из формулы (2) получаем: 1 1 У.з (х) = 2 уз(Ч вЂ” 1) (Ч вЂ” 2) — удд(Ч вЂ” 2)+ 2 узу? (Ч вЂ” 1). Отсюда, учитывая, что „вЂ” =Ь, будем иметь: йл ле У (х)-~а(х) — з ууе(2ч — 5) — Ут(йт- )+ 2уа(2т' — 1)) 1 Г1 1 В частности, для производных у (х1) у, (т О, 1, 2) 9 4) оогмтлы, выглженные чвевз знлчяния в глвноотстоящнх точках 573 получим следующие выражения: 1 у', = — ( — Зу,+4У,— у,); 1 У, = лй( — Уз+уз)' 1 Уз 2й (Уо — 4У(+ ЗУз) с соответствующими погрев(ностямн: .=-,' й'У "Яо); Ь = — ойу'"Я); г = — йзу'" $ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
