Главная » Просмотр файлов » Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики

Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 73

Файл №1132358 Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики) 73 страницаБ.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358) страница 732019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

заранее должно быть известно о существовании соответствующих првнзводнмя фучннмнь ! («), иначе выкладки носят иллюзорный характер, 564 (гл. хч пгнвлижвнное днеевгвнцнговлнне Таким же способом в случае надобности можно вычислить н производные функции у(х) любого порядка. Заметим, что прн нахождении производных у'(х), у'(х), в фиксированной точке х в качестве х следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента. Иногда требуется накоднть пронзводные функции у в основных табличных точках хп В атом случае формулы численного дифференцирования упрощаются.

Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим х=х, д=О; тогда будем иметь: У (х,) = — ~ЛУ,— — '+ — ' — — '+ -' —...) (4) О =а( У (хо) = ва (б Уо ц Уо+Г2 "~ Уо ц Уо+ ° ° ° ) (6) Если Р„(х) — интерполяцнонный полипом Ньютона, содержащий разности ЛУ„Л'у„..., Ьауе, н Яь (х) =у (х) -Р„(х) — соответствующая погрешность, то погрешность в определении производной есть )т' (х) =у'(х) — Р' (х). Как известно (гл. Х1У, $15), да+а 4(Š— 1) ° ° (Ч вЂ” а) са+н еь (а ( 1)1 У (Ъ)' где $ — некоторое промежуточное число между значениями х„хы ..., х„, х.

Понтону, предполагая, что у(х) ~С'~+", получим: аа )с' (х) = —" — „'= — — у'"'и (В) — (Ч (р — 1)" (Ч вЂ” й))+ +Ч(Ч-1)" (Ч-А);",(у" п(ВЮ. Отсюда при 'х=в и, следовательно, прн у=О н учитывая, что 4 (ч(ч 1) ° ° (Ч вЂ” Ю1 а=( — 1)~й1, будем иметь; Я ( х 9 ) ( 1 ) а а 7 Уса ( $ ) (6) 9 2) еогмьлы, оснозьнныв нь пеевой еогмглв ньютона 565 Так как у'ь+" (4) во многих случаях трудно оценить, то при Ь малом приближенно полагают: ,М~-и (е), Д'+'кд ль+1 н, следовательно, ( 1)ь Да+1 й (хе) ь л а+1 (7) Аналогично может быть найдена погрешность )сь(х,) для второй производной у" (х ), Пример 1. Йайти у'(50) функции у =!их, заданной таблично (таблица 60).

Таблица 60 Значения функция у= 19х Решение. Здесь А=5. Дополняем таблицу 60 столбцами конечных разностей (десятичные разряды, как обычно, не указываются; они определяются десятичными разрядами значений функции). Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (4), с точностью до разностей третьего порядка, будем иметгп у' (50) = — (О 0414+ 0 0018+ О 0002) = 0 0087. Дли оценки точности найденного значении заметим, что так как табулированная выше функция есть у=!их, то М 0,43429 у = — = к к л Следовательно, у' (50) = — '=0,0087. 0,49429 50 Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.

566 [гл. хт пгивлнжвннов диеевгвнциговьнив П р им е р 2. Путь у=у (Г), пройденный прямолинейно движущейся точкой за время 1, дается следующей таблицей [1]: Используя конечные разности до питого порядка включительно, ын нак приближенно найти скорость У= — „и ускорение )г = — точки гйа для моментов С = 0; 0,01; 0,02; 0,03; 0,04. Р е ш е н н е, Составляем таблицу разностей (таблица 61). Таблица 61 Конечные разности фуннцнн у=у(Ф) Полагая Ь=О,О! и применяя формулы (4) и (5), получаем при- ближенные значения величины скорости У (см/сек) и величины ускорения ]г' (см/сек').

Например, И(0) = 100 (1,519 — 1,496 — 0,046+ 0,020 — 0,001) = — 0,4 см/сен, )г (0) = 10 000 (2,993+ О, 139 — 0,075 + 0,003) = 30 600 см/секя. Соответствующие значения И и йУ помещены в таблице 62. 567 % 31 ФОРмулы, ОснОВАнные нА ФОРмуле стиРлннгА Таблипа 52 Значения скорости Р н ускоренна тт для закона движения у =,У1Г) Заметим, что табулированный закон движения дается Трормулой 50 нг'1 у=100 1 — соз — ). 9 )' Отсюда ор 9ЯИН .

50 я) )х = — = — а)ив о) 9 9 с)еу 250000яе 50 я) ЯР= —— о)з 51 соя— 9 Для сравнения точные значения Уи Ф' приведены в правой половине таблицы 62. Отметим, что можно вывестн также формулы приближенною дифференцирования, исходя из второй ннтерполяционной формулы Ньютона. й 3. Формулы првближеняого дифференцирования, осиоваияые иа формуле Стирливга Выведенные в 9 2 формулы численного днфференцироваиив для функции у в точке х = хе обладают тем недостатком, что они используют лишь односторонние значения функции при х ) хе.

Относительно ббльшую точность имеют симметрические формулы дифференцирования, учитывающие значения данной функции у как при х ) хе, так и при х (хе. Эти формулы обычно называются центральными формулами дифференцирования. мы ограничимся выводом одной из них, взяв за основу интерполяционную формулу Стирлинга. Пусть ..., х, х „х „х, х, х, х, ... — система равноотстоящих точек с шагом хс+,— х;=Ь и у,=у'(х;)-соответствующие значения данной фунйции у=у'(х). Полагая х — хе 9=— И 868 (гл.

ке пгивлиженное диооегенциговение У (х) — Уо+ УЛУ + — Ь'У, + — Л'У в + ) '(г — >)в ( ~/~ — оо — яв ( 4! У в 5! +дв (ув — 1) (дв — 2в) цо + 6! где для краткости введены обозначения в лу,+лув 2 дву б'У в+а'У в — 2 Лв ' ~ У-3+~~ У-в У в и т. д. Из формулы (1), учитывая, что во 1 о» Ь ' получаем: (л + + Зд 1, 24 Звв — 1ЬР+ 4 в Здв — 10ув+ 44 20 У вЂ” ~ ег ~ 1 ''')' У" (х) = —,, ~ЬвУ +ОЛвУ, + 114У,-(- ( ив ЗУ в 1Бдв Зобов+4 в ) (2) (2') В частности, полагая У=О, будем яметвц У (хо)=е~бУ в 6 11 У в+уЛУ в+ ° ° ) (8) 1 / в 1 в в в в У (Хо) = «в (Ц'У-в-12 Л'У-в+2 611У-в+ ° ) ° (8) и заменяя приближенно .функцию у интерполяционным полиномом Стерлинга, будем иметь: й 31 ФОРмулы, Основанный нь ФОРмуллх стиРлннгл 569 Пример 1.

Найти у' (1) и у (1) для функции у=у(х), заданной таблицей 63. Таблица 63 Значення функция у=у(х) Р е ш е и и е. Составляя разности функции у (таблица 63) и используя подчеркнутые члены, на основании формулы (3) будем иметь: '(Ц = — '( — 87356+36666 10- — — '."+26 10-'+ — ' 1 10- ) = 0,02~ 2 6 2 30 = — 50.(88005,5+4,2+0).10 т = — 0,4400485. Для проверки заметим, что табулированная функция есть функция Бесселя нулевого индекса у=за(х).

Как известно, У, (1) = — Уд (х) !е=~ = — 0~4400506 Аналогично, используя дважды подчеркнутые члены и применяя формулу (3'), будем иметь: у (1) = — / — 1301 ° 1О г — 1 ° 1.10-т)— О,О2е ' ~ ' ' 12 ' )— = — 2500 1301 1О т = — 3,2525 10 ' = — 0,325250, Для сравнение приведем получающееся иа основании соотношений между бесселевыми функциями точное значение У (1) = Уо (1) = Ут (1) "е (1) =. =0,4400506 — 0,7651977 = — 0,325147. Таким образом, численное нахождение второй производной есть операция, вообще говоря, менее надежная, чем первой. 3 а м еч а н и е.

Иногда требуется найти экстремум дифференцируе- мой функции у=у(х), заданной таблично. Для этого необходимо, 570 (гл. хт лгивлнженное дивеегвнциговлнив причем значение у вычисляется по формуле (1) илн по какой-нибудь другой интерполяционной формуле. Найденное значение у является экстремумом функций, если в окрестности точки х вторая разность Ьву сохраняет постоянный знак. Пример 2. Найти нуль производной функции у=,У (х), заданной таблицей 64. Таблица 64 Значение функция у .Гг(х) Дополняем таблицу 64 конечными разностями функции у. Р е ш е н и е.

Принимаем хе = 1,84. Используй подчеркнутые разности, на основании формулы (2) будем иметь: 0 г +9( — 1641)+ —— 918 — 723 Здг — 1 2+ 4 6 2 нли 0 = 97 — 16419+ — 9в. 3 2 Отсюда 97 1 4+ 47' 1641 1094 (4) Отбрасывая малый нелинейный член, получим первое приближение: 4щ= — = 5 911 ° 10 в. 97 1641 з чтобы в точке экстремума х было выполнено равенство у'(х) =О. Приравняв нулю производнуюу'(х) в формуле (2), методом последовательных приближений находим соответствующее значением. Отсюда х=х +дЬ, 9 4] фогмглы, выгьжвнные чвгвз значения в гьвноотстоящик точклх 571 Уточняя зто значение, нз формулы (4) получим второе приближение: »' '=»и+ 1094 ]» '] =5,911 ° 10 +1094 3,494 ° 10 5 911.10-'+3 2,10-в 5 911.10-ф Следовательно, можно положить: » = 0,05911.

Отсюда х =хе+»и = 1,84+ 0,05911 0,02 = 1,8411822. Таким образом, х", (1,8411822) = О. й 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках Пусть точки хф, хд, хф, ..., х„ — равноотстоящие, т. е. хгд — х1 — — й (1=0,1,2, ...,и — 1), и пусть для функции у=у(х) известны значения у!=у(Х1) (Е=О, 1, ..., и). Для данной системы узлов хг построим интерполяционный половом Лагранжа (гл.

Х!Ч, $12) ф Е (х) Ч1~ П„+,(х)!И с=ф (х — хг) П„+ (х;) где П„х(х) = (х — хф) (х — х1)... (х — х„). Еф(ХЕ) =у1 (1=0, 1, ..., и). Тогда Полагая к — к, — =» а а получим: П х (х) = К +а» (» — 1)... (» — и) = Ь" +г»" +и П + (ХЕ)=(ХŠ— Хф)(ХŠ— хь)...(ХŠ— Хг т)(Х1 — Хг+г)...(Х1 — Х„)= =йфЕ(Š— 1)...1( — 1)...[ — (и — Е)]=( — 1)" 1Ы!(и — Е)! (!) Следовательно, для полинома Лагранжа Е„(х) имеем выражение 572 [гл. ат пгнялнженноз диееегвнцнговлнна Отсюда, учитывая, что получаем: Аналогично могут быть найдены производные высших порядков данной функции у(х). Дли оценки погрешности г„(х) =у' (х) — Е„' (х) воспользуемся известной формулой погрешности интерполяционной формулы (2) (гл. Х!Ч, 2 14) (4) где $ = $ (х) — промежуточное значение между точками х, х, „х„ н х.

Предполагая, что у (х) Е С'"+з', выводим: г„(х) =[с,(х) = = —, (у'"+и ($) П,+, (х)+ П„+, (х) — [у'"+" ($))~ . Отсюда, учитывая формулу (1), получаем погрешность производной в узлах Я„'( ) -( — 1)"-'Ь"'(„(+=,))'у'"'п($), (5) где $ — промежуточное значение между х, х, ..., х„. 1. Произведем расчет для л=2 (три точки). Из формулы (2) получаем: 1 1 У.з (х) = 2 уз(Ч вЂ” 1) (Ч вЂ” 2) — удд(Ч вЂ” 2)+ 2 узу? (Ч вЂ” 1). Отсюда, учитывая, что „вЂ” =Ь, будем иметь: йл ле У (х)-~а(х) — з ууе(2ч — 5) — Ут(йт- )+ 2уа(2т' — 1)) 1 Г1 1 В частности, для производных у (х1) у, (т О, 1, 2) 9 4) оогмтлы, выглженные чвевз знлчяния в глвноотстоящнх точках 573 получим следующие выражения: 1 у', = — ( — Зу,+4У,— у,); 1 У, = лй( — Уз+уз)' 1 Уз 2й (Уо — 4У(+ ЗУз) с соответствующими погрев(ностямн: .=-,' й'У "Яо); Ь = — ойу'"Я); г = — йзу'" $ ).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
11,18 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее