Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 68
Текст из файла (страница 68)
хдт Возьмем 2а+2 равноотстоящих уалов интерполирования «-и' Х (и 1Н ° ° ° ~ Хаю ° ° ° ~ Хи Д~ Хид Хи+а с шагом й, и пусть У!=у'(х!) (1= — и, ..., и-(-1) — заданные значения функции у= У'(х), Если выбрать за начальные значения х=х, и у=уз, то, используя узлы х (2=О, .4-. 1, ..., 4-л), будем иметь: Р(х) =уз+ Ч Лу, + — з! Л*у, + (4+Ц4 + (4+Ц 4 (4 Ц ииз (4+2) (о+Ц 4 (й Ц иии 3! 4! У (Ч+л — ц" (д — л+ц Лди-д '''+ (2л — ц! У и+ (4+л) (и+л Ц (и и+Ц !(ии 1) + (2л) ! У-и ( ПРимем тепеРь за начальные значениЯ х=хд иу=уд и используем узлы х иь (й= О, ~ 1, ..., д- л). Тогда х — ид х — х — а И Ь =Ч вЂ” 1, причем соответственно индексы всех разностей в правой части формулы (1) возрастут на единицу.
Заменив в правой части формулы (1) и на д — 1 и увеличив индексы всех разностей на 1, получим вспомогательную интерполяционную формулу Р(х) =уд+(д — 1) ддуи+~(~ ! ) ддауи+4(4 ) (~ ) Лау + (и+Ц д (д — Ц (д — 2), (4+ Це (д — Ц (д — 2) (д — 3) + . 4! Лу 1+ б! дд У-и+ ° (4+л — 2)...(л — л) аи-д (2л — Ц! +(д+л ц'''(д л) Ьви (2) (2л) ! Взяв среднее арифметическое формул (1) и (2), после несложных преобразований получим интерлоляд(ионную формулу Бесселя Р(х) — — + — ЛУ + — + 1~ ! д — — ~! 4(д — ц 2/ иэ Ч (4 Ц (4+Ц (4 2) а Ч-и+о я-д 3! 4! 2 + 5! ( .) 1 д 2) дд У-я+ % 101 ннтятполяцноннля еотмьла звссвля У(е — 1) (у+И (е — 2) (У+2) (е — 3) а«у,+а«У, 61 +Е(д — 1) (у+1) (у — 2) (д+2)...(Š— и) (У+и — 1) а у «+Ь у „ет + (2«)! 2 + ( .) 1) 9 — 2 ) Ч (Š— 1) (У+1) (Ч вЂ” 2) (9+2)...(У вЂ” и) (у+и — 1) (2«+ 1)! у-«(3) где Интерполяционная формула Бесселя (3), как следует из способа получення ее, представляет собой полипом, совпадающий с данной функцией у =у(«) в 2л+ 2 точках Х-««-ы-ы ° ° ««+1 Х, Х В частном случае, прн и = 1, пренебрегая разностью Азу , имеем формулу квадратичной интерполяции по Бесселю р(х) у~+у.+ау~ ( (', 2 ( 2/ Ч (у — 1) йу« — ау ~+ ауъ ау« + 2 2 или )о(«) =У +ч 4У -ч РУ вЂ” 11У ) где у (1 е) чт= В формуле Бесселя все члены, содержащие равности нечетного 1 1 порядка, имеют множитель у —; поэтому прн у — формула (3) значительно упрощается: р(Я«+Яю~ У«+Уг 1 а У-т+й У«.( 2 / 2 8 2 3 Ь«у + Л«у, 5 Ь«у + Ь«у, 128 2 1024 2 +( 1 „(1.3 5...(2« — 1))«Ь у-«+Ь у-«+т 2««(2п)1 2 Этот специальный случай формулы Бесселя называется формулой интерполирования на середину.
Бслн в формуле Бесселя (3) сделать 1 замену переменной по формуле д — — =р, то она приобретает более 2 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (гл. х!т симметричный внд 1') Р( ) Ук+У1 ) 51 +( . У-1+ Уа 1 х 2 2 / 2 ('- )(' — ') ('--')(' — ')(' — ) 2 (2н)1 2 (2н+ 1)! кк+1 хц у„„, (3') 1 У х,+к11 где р= — (х — — ~ а ~ 2 й 11. Общая хараитеристика интерполяциоииых формул с постоянным шагом к Ф(х) == ( е "'дх 1 л.) даны в таблице 45.
Найти Ф(0,5437). Давая общую характеристику интерполяционным формулам, отметим следующее: при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения х выбирается первый или последний узел интерполирования) для центральных же формул интерполирования начальный узел является средним. Приведенная ниже схема (таблица 44) показывает используемые разности в основных интерполяционных формулах, причем для удобства обозрения во второй ннтерполяционной формуле Ньютона изменена нумерация индексов.
Более детальное рассмотрение интерполяцноиных формул показывает, что при )д) (0,25 целесообразно применять формулу Стнрлинга, а при 0,25(п(0,75 — формулу Бесселя. Первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона выгодно применять тогда, когда интерполирование производится в начале или соответственно в конце таблицы и нужных центральных разностей не хватает 14]. Пример 1. Значения интеграла вероятностей (3) $111 ла~цли хаил«еаи»саина еоацлл с нбсебнииын шаеац 525 Таблица 44 Таблица 45 Таблица разностей функции у=Ф(х) интегполигование охнкций (гл. хпг отсюда, используя подчеркнутые разности, получаем! ф О 5437 О, 6549392+ 0, 5633233 1 2 +( — 0 13) 0 0083841 ( 0,0169 — 0,25 — О,ОООО910 — 0,0000917+ ! ) 2 2 + — 0,13(0,0169 — 0,25) ° ( — 0 0000007) = б = 0,55913125 в 0,00108993 + 0,00001065 = 0,5580520.
П р и м е р 2, Имев таблицу 46 значений полного эллиптического интеграла К(а) = )' 1 — а!птаяпах а найти К(73'30'). Таблипа 46 Значения полного аллнптнческого интеграла К(а) Ь'К Ьгк ЬК Ьчк Ь'К К <а> 75' 2,76806 2,83267 2,90256 2,97857 3,06173 3,15339 3,25530 3,36987 3,50042 3,65186 6 461 6989 84 13 7601 103 715 32 78' 135 8316 18 40 79' 9 166 1 025 80' 241 1О 191 43 1 266 91 68 11 457 332 1 598 159 13 055 491 2 089 83' 15 144 Р е ш е н и е. Таблицу 45 дополняем конечными рааностями данной функции у=Ф(х). Принимаем хо 0,54 и К=0,5437, тогда х — ха 0,5437 — 0,54 Ч= Ь О 01 =037.
3 Так как 4 ( д ( 4, то воспользуемся формулой Бесселя (3'). Имеем. 1 р = о — — = 0,37 — 0,50 = — О, 13; 9 12) ' ннтвтполвцноннля Фогмулл лАГРАнжА 527 Р еще ни е. Полагаем х =78'1 7ь=!'; х= 78'30'; отсюда у = 0,5. Бели воспользоваться формулой Бесселя для интерполирования на середину, то, ограничиваясь разностями пятого порядка, будем иметь: К(78 30) 2 97857+0 5.8316.10-ь 0 125, +, 10-ь+ + 0 023437, + , 10-ь 2 97857 0 04158 0 000978 + + 0,000008 = 3,019180. Для сравнения применим теперь формулу Стирлинга К (78ь 30') = 2>97857+ 0,5 ™+ ° 10 ь+ +О 125715.10-ь 0 0625. + , 10-ь 0 0078.32.10-ь + + 0,0117 — ° 10 ь = 2,97857 + 0,039792+ 2 + 0,000894 — 0,000074 — 0,000002 + 0,000001 = 3,019181, 9 12. Иятерполяциоиняи формула Лаьраяжа Выведенные нами в предыдущих параграфах интерполяцяонные формулы пригодньь лишь в случае равноотстоящих узлов интерполирования.
Длн произвольно заданных узлов интерполированяя пользуются более общей форму- ' лой, так называемой интерноляционной формулой Лагранжа. Пусть на отрезке (а, Ь1 даны и+ 1 различных значений аргумента: хь, х„х„..., х„н известны для функции У=т (х) соответствующие значеняя: г (хь) =Уь У(хь) =у„..., у'(х„) =у„. Рнс.
62а. Требуется построить поливом Е„(х) степени не выше н, имеющий в заданных узлах хь, хм ..., х„те же значения, что и функция г (х), т. е. такой, что Е.(х)=У! (1=0, 1, 2,, и) (рис. 62а). (гл. хат интвгполиговлнии эвикций 628 Решим сначала частную задачу: построим полипом р1 (х) такой, что рс(ху)=0 при у~1 и р~(хс)=1 (рис. 62б). Нороче эти условия можно записать следующим образом: ( 1, если /=1; 1 l () у где б~у — символ Кронекера. Рис. 626. Так как искомый поливом обращается в нуль в и точках ха, х„..., х; „х;+„..., х„, то он имеет вид р;(х)=С;(х — хе)(х — хт)...(х — х; )(х — х1 )...(х — х ), (2) где С; — постоянный коэффициент..Полагая х =хи в формуле (2) и учитывая, что р; (х ) = 1, получим: С;(хс — х,)(х; — х,)... (х,— х,,)(х1 — хг,)...
(х,— х„) 1. Отсюда С— 1 (хс — хе) (х; — хг) ... (хс — ху 1) (х; — х~+г)... (хг — х„)* Подставив это значение в формулу (2), будем иметь: (х — хи) (х — хг):.. (х — хс,) (х — хс 1)... (х — х ) (хс — хе) (хг — хг)... (хг — хг Д (хс — хг+г) ... (х; — х„) ' Теперь перейдем к решению общей задачи: к отысканию поли- нома Е„(х), удовлетворяющего укаэанным выше условиям Е„(хс) уп Этот полипом имеет след)чощий вид: Е.(х) = Хр;(х)у; г=и э 12) интвРполяционнАН ФОРмулА лагРАнжА 529 В самом деле, во-первык, очевидно, степень построенного поли- нома Е„(х) не выше и и, во-вторых, в силу условия (1) имеем; » Е„(х;)= ~р,(х )у;=р (х )у =у (7=0, 1, ..., Л). ь О Подставив в формулу (е) значение р;(х) из (3), получим: ч'» (х — хь) (х — х,)...(х — «1,) (х — хг+ь)...(х — х„) Р (хь — х ) (х; — «ь)...
(хг — «ь х) (хг — «7 + 1)... (х; — х„) ' Это и есть антврлоляаионная формула Лагранжа. Докажем единственность полннома Лагранжа. Предположим противное. Пусть Е„(х) †полин, отличный от Е,(х), степени не выше и и такой, что Е„(х,.)=уь ()=О, 1, ..., и). Тогда полинам Ц„(х) = Е„(х) — Е» (х), степень которого, очевидно, не выше л, обращается в нуль в и+1 точках х„хы х„..., х„, т. е. Я„(х) ж О.
Следовательно, Е (х) жЕ„(х). Отсюда, в частности, следует, что если узлы интерполирования— равноотстоящие, то интерполяционный полинам Лагранжа совпадает с соответствующим интерполяционным полиномом Ньютона. Заметим, вообще, что все построенные выше интерполяционные формулы получаются из интерполяционной формулы Лагранжа при соответствующем выборе узлов. Формуле (5) Лагранжа можно придать более сжатый вид. Для этого введем обозначение П„„(х) =(х — х,)(х — х,)...(х-х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
