Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 71
Текст из файла (страница 71)
хою ю»~- д) $19) еормьлл ныотонл для пнрлвноотстоящих значений лргьмвнтл545 Отсюда с — с 1», х, ..., х)= — ==О. Пусть теперь Р(х) — полннон Лагранжа степени и такой, что Р(хо) =у (»,) =у,. (1=0, 1, ..., л), где у=у(») — данная функция. Обозначим через Р(х, хо), Р(х, х, хд), ..., Р(х, хо, ..., х„) последовательныв разделенные разности полинома Р(х). Имеем: Р(», » ) = (~, х ), Р(х„х„хо) = 1»„х„»в], Р(хо «ы ° ° »н) =1»о хг ° ° »н11 кроме того, на основании леммы Р(х, х„..., х„) =-О. По определению получаем: Р (х) Р (хо) р = Р(х»о) отсюда Р(х) = Р(х ) + Р(х, хо) (х — х,). (5) Из определения разделенных разностей следует, что р(»» ) Р(» нв ° . нне а) Р("а ° ' хне) х,х,, ...,х„ х — и, Отсюда Р(х, х, ..., х,) =Р(х„..., х )+ +(х — х )Р(х, х, ..., х ) (6) (лт=1, 2, ..., и).
Используя формулу (5), из формулы (5) последовательно выводимо Р(») =Р(»о)+Р(хе»о)(» — хо) = = Р(х )+ Р(хо, х ) (х — хо) + + Р(х, х„ха) (х — х,) (х -х,) = Р(х ) + Р (хо, х ) (х — х ) + +Р(хо, х„х )(х — хо)(х — х )+... ... +Р(хо, хп ..., х„)(х — х,)(х — х,) ... (х — х„,)+ +Р(х, х, ..., х„)(х-х ) (х-х,) ... (х — х„), 18 Б. П.
даниловна н И. Л, Маров 546 интетполнтовянне еьнкций (гл. х~т или, учитывая равенства (2) и (3), окончательно получаем интерноляционную формулу Ньютона для нзразноотстоящих значений аргумента Р(х)=Уо+(«е>»т)(х хе)+(«ч>»т> «а)(» «е)(» «т)+ ° ° ° ° ° ° +1«о»т ° ° ° > «н1(» «о) (» «т) ° ° ° (»» -т) (7) Погрешность формулы (7), как обычно, равна 77(х) =У(х) — Р(х) =, (х — хг)(х — х,) ... (х — х„), (8) р" +и ($) где 9 — пРомежУточное значение междУ точками х, Хы ..., Х„и х. П риме р. Составить интерполяционйый полинам для функции у =7(»), заданной таблицей 2,5069 5,0154 7,52270 0,3964408 0,3978138 0,3969423 0,3966169 С помошью етого полинома найти у(3,7608).
Р е ш е н и е. Находим разделенные разности функции у (таб лица 51). Таблица 51 Разделенные Разности фунацян у Используя формулу (7), находим: у = 0,3989423 — 0,0000500х — 0,0000199х (х — 2,5069), Отсюда У (3,7608) = 0,3989423 — 0,0000500. 3,7608— — 0,0000199 3,7698 (3,7698 — 2,5089)=0,3986604.
2 20) овтхтное интегполитовхние для тхвноотгтоящих ьзлов 541 .2 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов Пусть функция у =у(х) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции у определить соответствующее значение аргумента х. Остановимся сначала на случае равноотстоящих узлов.
Здесь обычно используется метод последовательнсчх приближений. Предположим, что функция у'(х) монотонна и данное значение у содержится между ур — — у'(хь) и у, =у(х,). Заменяя функцию у первым интерполяционным полнномом Ньютона, будем иметь: У=У + ~~'Р+ — 'Р(У вЂ” 1)+ ° ° ° + — У'У(У вЂ” 1) ° (Р— и+1)1 о~сюда у=~у(у), где ф(у) ="="' — ""' р(у — 1) —... = Ьуь 21 луг лйу ... — — ь Ч (Ч вЂ” 1) ...
(Ч вЂ” л + 1). п~ йуь За начальное приближение принимаем: У Уь ь Тогда, применвя метод итерации, получим: д„=ср(д„„) (ль= 1, 2, ...). Если у'(х),~С'"+о(а, Ь), где отрезок (а, Ь) содержит узлы интерполяции, и Шаг Ь достаточно мал, то.этот процесс сходится, т. е. 1пп а =а, га-мо где д — истинное рещение. На практике процесс итерации продолжают до тех пор, пока не установятса цифры, соответствующие требуемой точности, причем полагают анна„где аг — последнее приближение. Найдя а, определяем затем х из формулы х — хь — = у' л отсюда х= ха+ уй. 18* 548 (ГЛ. ХГР ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Пример 1.
Используя значения функции у=о!их, данные в таблице найти значения х такое, что у = 1йх = 1,35. Р е ш е н и е. Составляем таблицу разностей. Таблица 52 Конечные разности функция у Принимая уо = 1,3010, будем иметь: р — ро 1,35 — 1,30! 0 490 0 506 Ьу 0.0969 959 Далее, удерживая три знака после запятой, последовательно получаем: д, =- 0,506 — — 0,506 (1 — 0,506) = 0,506 — 0,023 = 0,483; до = 0,506 — 2 959 0,483 (1 — 0,483) = 0,506 — 0,023 = 0,483. Принимаем д= 0,483. х+хо+д8=20+0,483 5=22,42.
Отсюда По таблице антнлогарифмов имеем х=22,39. Значительное расхождение вычисленного значения и точного объясняется тем, что шаг Ь = 5 велик. Мы применили метод итерации для решения задачи обратного интерполирования, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. Но совершенно аналогично можно применить этот способ и к другим интерполяционным формулам: ко второй формуле Ньютона, к формулам Стирлинга, Бесселя и др. Покажем это на следующем примере.
% 20) овглтнов интзгполнговхннз для гхвноотстоящих халов 549 П р и и е р 2. В таблице 53 приведены значения интеграла вероятностей (3) к у = = ) е и'х. 2 ы = у-3 При каком значении х интеграл у равен — ? 1 2 ' Таблица 53 Значение внтеграа вероятностей Р еш е ни е. Дополняем таблицу 53 конечными разностями функции у. Ближайшим табличным значением для аргумента х, соответ- 1 ствующим значению функции у= —, является х,=0,47. Здесь удобно ''применить формулу Бесселя. Имеем хо=0,47; В=0,01; у=0,5. Подставляя зти значения в формулу (8) нз 2 7 н используя соответствующие табличные данные, получим: 0,5=0,4982475+ 0,0090046 р+ ~ ' ( ) 10 т+ .ф..~ — 'Р=~ — '-'( — 10$.10.
о) Отсюда, разделив обе части равенства (2) на 0,0090046 и изолировав член, содержащий р в первой степени, будем иметь: р=0,194623+4,753 10 а(рз — 0,25)+1,85 10 ьр(рз — 0,25). (3) В качестве первого приближения параметра р возьмем: рш = 0,194623. 550 (гл. хиг ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Подставив рц' в выражение (3), получим второе приближение! р"' = 0,194623+ 4,753 ° 1О В ((0,194623)а — 0,25) + + ! 85,10-В,О 194623.
((О 194623)В 0 25) = 0,194623 в 0,001008 †,000001 = 0,193614. Аналогично, подставляя рм' вместо р в формулу (3), получим третье приближение: р!В1 0 193612 Так как имеем совпадение первых пяти знаков после запятой, то процесс итерации считается законченным. Далее, последовательно находим: т)= Р+ — = 0,693612 1 2 х =х +да = 0,47 +0,01 0,693612 =0,47693612.
Это значение верно до шестого десятичного знака. 9 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящик узлов Задача обратного интерполирования функции для случая неравноотстоящих значений аргумента ха, хы ..., х„ непосредственно может быть решена с помощью ннтерполяционной формулы Лагранжа. Рис. 64. Длн этого достаточно принять переменную у за независимую и написать формулу, выражающую х как функцию у (рнс. 64) л (У вЂ” Уг)(У вЂ” Ул) "(У вЂ” У! ) (У вЂ” Уг+!)" (У вЂ” У ) (У~ У!) (У! Ул) (У У! !) (У У!+ !) (У! Ул) 2 221 551 НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ где У1 — — у(х1) ([=О, 1...., л).
Можно также, счнтая у аргументом, использовать ннтерполяцнонную формулу Ньютона для неравно- отстоящих значеннй аргумента (см. 2 19): х =хе+ [Уе> У>1(у — Уе)+[Уз> У1 УЕ1(у Уо) (У У1)+ ".+[Уо Ум ..., У.)(У вЂ” Уо)(у — У,)...(У вЂ” У.-х) (2) где [Уш УХ1, [У„Уы У,1, ..., [Уш У„..., У„) — соответствУющие разделенные разности. Приме р.
Решить пример 2 нз 2 20 с помощью формулы Лагранжа для обратного интерполирования [31, Р е ш е н н е. Ограничимся четырьмя значениями: ха=0,46; ха=О>47„' ха=0,481 ха=0 49, Полагая к=[О у- —,. 10, 1 будем иметь следующую таблицу: 1 Данное значение у= — соответствует и=О. Применяя формулу (21, где у заменено на и, получим: 62548 ( — 27498) ( — 116683) ( †153445+625) ( — 153445 †274) ( †153445 †11) ' + 153445 ( — 27498) ( — 116683) ( †6254 153445) ( †62548 †2) ( — 62548 — 116683) !53445 62548.( †1166) (27498+ 153445) (27498+62548) (27498 в 116683) ' + 153445 62548 ( †274) + (116683+ 153445) (116683+62548).(11 83 †274) = — 0 020779 т 0 157737 + 0>369926 — 0>029950 = 0>476936 9 22.
Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования Отметим в заключение, что решение уравнения 7(х) =0 можно свести к задаче обратного ннтерполнровання. Для этого нужно составить таблицу значений функцнн у=у(х) н постронть соответствующую таблицу конечных разностей для значений х, 552 (гл. хцг ннтеРполнРозлние Функций найти с точностью до 10 о корень уравнення У (х) =О, лежащий в интервале (2,4; 2,6). Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 54). Табли,ца 54 Конечные йункцнв бесселевой функцнн у=до(х) Полагая у=О и хо — — 2,4; уо=0,0025, на основании приведенной выше в $20 формулы (1) получаем: уо — — — — — ' — — 0,049; — У Уо 0 0025 НУО 0 0500 = Лоу, Чо ЧО+ 25у ЧО ( ЧО) 25уо = 0,049 †0,049 0,951 = 0,049 †,001 = 0,048; до = 0,049 †0,048 0,952 =0,049 — 0,001 = 0,048.
25 Принимаем у=0,048; х=хо+дй= 2 4+0~048'0 1 =2 405. отсюда х = 2,4048. По таблицам близких к корню. А затем применить приемы обратного интерполирования, отыскивая значение х, соответствующее у=О. П р н м е р. По данной таблице значений функции Бесселяу=.УО(х) $ 23[ метод интягполяцни для глзвветывьння ввк.
опгвдвлитвля 553 й 23. Метод интерполяции для развертываиня векового определителя Интерполирование функций может быть использовано дяя развертывания векового (характеристического) определителя (см. гл. ХП) О(Х) = де1 (А — ХЕ), где А =[а~у[. Выберем равноотстоящие узлы Хз — — О, Хт=1, ..., Х„=п и для определителя О(д) вычислим соответствующие значении О(0)=-О, О(1)=О, ..., О(п)=О„.
Составляя горизонтальную таблицу разностей для последовательности чисел О(0), О(1), ..., О(и), обычным приемом находим разности д~О(0)([= О, 1, ..., и). Отсюда, применяя первую интерполяционную формулу Ньютона, получим полиномиальное выражение для векового определителя Ь'0 (О) О().) =О(0)+~". и ) (Х вЂ” 1)... () -1+1).
(Ц Бели положить 31ь — 1) ... [ь — 1+1) ъ-е — с~;Аь (1=1, 2, ...), (2) и 1 то после несложных преобразований получаем фоРмулу А. А. Маркова О()~) =О(0)+ ~~ ',)." „')'„с,.й'О (0). (3) ОВ 1 ! и Для облегчения вычислений по формуле (2) составлены таблицы коэффициентов с ~ [8). В более общем случае, если в качестве узлов интерполирования взять числа Х; = а +[3 ([ = О, 1, ..., л), то формула (3) примет вид О(Х) = О(а)-[- ~ (Х вЂ” а) ~ с„~й'ДгО(а), (4) м — 1 ! и Хотя изложенный здесь метод имтерполлпии и требует трудоемких вычислений и+ 1 определителей и-го порядка, тем не менее этот метод удобен своей простой вычислительной схемой.
Кроме того, он применим к развертыванию определителя более общего вида Р(л) = с[е[ [)~;. (Х)[, где 1~у(Х)-целые полииомы от л. 554 ннтягполигованнв оьнкций (гл. х|т П р и м е р. Пользуясь методом интерполяции, раскрыть характеристический определитель 1.— Л 2 3 4 2 1 — Л 2 3 О(Л)= 3 2 1 Л 2 4 3 2 1 — Л (ср. гл. Х11, 8 3, пример). Р е !п е н я е. Последовательно вычислим сь(ю) при 1= 0, 1, 2, 3, 4.
Имеем: Р(0)= — 20, О(1) = — 119, 12(2)= — 308, П(3) — — 515, 0(4) = — 884. Конечные разности 5~4)(0) (1 =0, 1, 2, 3, 4) приведены в таблице 55. Таблица 55 Конечные разности чисел Ю(Л) Так как — =Л; Л П Л (Л вЂ” 1) Ло 2! 2 2' Л (Л вЂ” П (Л-2) Ло Ло Л 3! 6 2 3 Л (Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2) (Л вЂ” 3) Ло Ло 4! 24 4 + Г то яз формулы (2) получаем: с,!=1! ! !' ая 2 сгя= 1 1 1 с = — с = — — с!=в 3 1 1 1! С,— —, С,= — — > Со= —, 11!о Л 24 4 1 с ° — — —— 4 з 24) интетполитовании этнкций двтх пвтвмвнных 555 Отсюда, применяя формулу Маркова (3), будем иметь: О(Х) =В(0)+[сыДО(0)+с, ДЧ)(0)+с, ДЧ)(0)+с„ДЧ)(ОДА+ +(саад В (О) + с,ад~ст (0) + саад~Е) (0))Х~+ +(с„Д В(О)+с„дЧ)(О))Д +с„дЧ)(О)Д = ! 1 1т + 24 ° 24 л~ = — 20 — 561 — 40Х~ — 4Ха + Ха. й 24е. Интерполирование функций двух переменных Пусть функция я=у(х, у) задана на системе равноотстоящих точек (хн ут) (1, у=О, 1, 2,,), где х;=ха+)Ь, у;=у + Уй, причем Й =Дх,=сопя); Й=ДУ =сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
