Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 66
Текст из файла (страница 66)
3 Отсюда е = — [Π— 0,008] = — 0,004. Внося исправление в табличное значение у для л = 19, получим: уи = (у„+ е) — е = = 16,792 — ( — 0,004) = = 16,796. 9 3. Обобщенная степень В дальнейшем нам понадобится понятие об обоби)анной степени [1]. О п р е д е л е н и е. Обобщенной а-степенщо числа л называется произведение л сомножителей, первый из которых равен х, а каждый следующий на 7« меньше предыдущего: л'ш = х (х — й) (х — 27«) ...
[х — (л — 1) л], (1) где 7« †некотор фиксированное постоянное число. Показатель обобщенной степени обычно записывается в квадратных скобках. Полагают х'о' = 1. После исправления получаем таблицу с плавным изменением первых разностей и постоянной второй разностью (неверные цифры взяты в скобки). Отметим, что указанным методом можно исправить лишь отдельные вычислительные ошибки или описки. Для устранения же большого количества ошибок, могущих пояииться по разным причинам, а также для уменьшения накопления ошибок, возникающих в результате неточностей самих вычислительных методов и округления промежуточных результатов до данного числа знаков, применяются специальные приемы «сглаживанияа [1].
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ЛГР При Ь= О обобщенная степень (1) совпадает с Обычной Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая ЛХ=Ь. Для первой разности имеем: Ьх["1 = (х + Ь)нн — хРИ = =(х-(-Ь)х ... «х — (л — 2)Ь« — х(х — Ь) ... «х — (л — 1)Ь«= = х (х — Ь) ... «х — (л — 2) Ь««(х + Ь) — «х — (л — 1) Ь«) = =х(х — Ь) ... «х — (л — 2)Ь«НЬ=пЬх'" ", т. е. Д .[ю НЬХ[ -и (2) Подсчитываем вторую разность: Ьвх["1 = Ь (Лх["1) = Л (ЛЬх'" 1') = ~Ь ° (и — 1) Ьх'" =НЬВ(л — 1)х'" ". Итак, Лдх["'= и(л — 1) Ь'х'" ".
Методом математической индукции легко доказать общую формулу Л"хнн — — л(и — 1) ... (и — (Ь вЂ” 1)1Ь"х'" ", где Ь=-!, 2, ..., и. Очевидно, Ь х'"'=0 при Ь>л. Из формулы (2) вытекает также простая формула конечного срммированил, Пусть Хе, Х1, Хд, — равноотстоящие точки с шагом Ь х[+д — х[ —— Ь (1=0, 1, 2 ...). Рассмотрим сумму Л[-1 Юм =,~~ х~д"~. [на дак как в силу формулы (2) имеем: хно = Ь [А+1[ Ь(н+1) ' 607 постановка задачи интегполигования то [л 1-1! 1 Итак, Формула (3) аналогична формуле Ньютона — Лейбница для целой положительной степени.
й 4. Постановка задачи интерполмрования Простейшая задача интерполирования 12) заключается в следующем. На отрезке !а,а) заданы и + 1 точки хо, х1, ..., хл, которые Рнс. 61. называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции /(х) в этих точках У(хо)=У У(х )=У ° . ' У(х,)=У„. (1) Требуется построить функцию т. (х) (иятерполируюи[ая функ[[ия), принадлежащую известному классу и принимающую в узлак интерполяции те же значения, что и у(х), т.
е. такую, что м(хо) =Уо Р(Х1) =У1 ° ° Р(хп) =Ул. (2) Геометрически это означает, что нужно найти кривуюу=г" (х) некоторого определенного типа, проходящую через заданнуЮ систему точек М[(х„у,) (1=0, 1, 2, ...) (рис. 61). В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений, [à — 1 1 п(п+» л'. 1=1 =и(.+»~" [ло», [и+1! [и+1! ~ ~ [л+1! [л+» ! +... +хм — хм 1 [и+1! [л+1! а(п+» (хм — х, ). [л+1! [л+1! Х х;л = 1=1 а(л-1- » 508 интвРполиРОВАние Функций [гл. х~т Однако вта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции Р(х) искать полинам Р„(х) степени не выше и, удовлетворяющий условиям (2), т.
е. такой, что Р„(х,) =уо, Р„(х,) =у„..., Р„(х„) =у„. Полученную интерполяционную формулу у =Р(х) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции у (х) для значений аргумента х, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции у(х). При этом различают интерполирование в узком гиовсле, когда х Е [хо, х„|, т. е. значение х является промежуточным между хо и х„, и экстраполироеание, когда х Е [хо, хв].
В дальнейшем под термином интерполирование мы будем понимать как первую, так и вторую операции. й 6. Первая интериоляционная формула Ньютона Пусть для функции у =у(х) заданы значения у~ — — ~'(х;) для равноотстоящих значений назависнмой переменной: х; =хо+1й (1=0, 1, 2, ..., и), где и — иваг интерполяции. Требуется подобрать полинам Р„(х) степени не выше и, принимающий в точках хо значения Р„(х;)=у, (1=0, 1, ..., и). Условия (1) эквивалентны тому, что б Ро(хо) й уо при по= О, 1, 2...,, и.
Следуя Ньютону, будем искать полинам в виде Р„(х) = а, + ах (х — х,) + ав (х — хо) (х — х,) + +ао(х ко)(х хв)(х хв)+ ... +а„(х — х )(х — х,) ... (х — х„в). (2) Пользуясь обобщенной степенью, выражение (1) запишем так: Р„(х) = а, + а, (х — х ) ш+ а, (х — х,) м'+ +ав(х — хо)"'+ +а.(» — хо)нн (2') Наша задача состоит в определении коэффициентов а; ([ =О, 1, 2, ..., и) полинома Р„(х).
Полагая х=хо в выражении (2'), получим; Р„(хо) =уо= а . й 5) ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦНОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА 509 Чтобы найти коэффициент а, составим первую конечную разность ЛР„(х) = а,й+2а (х — х,)!'!й+ + За, (х — хр)!'! й+... + Ла„(х — х,)!"-'сй. Полагая в последнем вырзженни х=х, получим: ЛР„(х ) = с)у =- а,й; откуда ЛУо 1'й Для определения коэффициента а, составим конечную разность второго порядка ЛЯР„(х) = 2! йоа + 2 ° Зйоа (х — хо)!'! +...
... + (и — 1) ай оп„(х — хр) '" - о!. Положив х=х, получим; Л Рь(хо) = сАУо =21" ао' откуда й Уо а о= 2)йо Последовательно продолжая этот процесс, мы обнаружим, что а!= —, (1=0, 1, 2, ..., л), й Уо й йт где положено О1= 1 и стоу =у, Подставляя найденные значения коэффициентов а; в выражение (2'), получим интерлоляс(ионньсй полином Ньютона Р„(х) =Ур+ Уо (х — хр)1с)+ — У (х — х )! ! -)-... ... + — „, „„' (х — х,)! !. (З). Легко видеть, что полинам (3) полностью удовлетворяет требованинм поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома Р„(х) не выше л, во-вторых, Рь (хо) =Уо и Ро (х») — уо+ — (х» — хо)+ —,о (хо — хо) (х» — хт)+...
й Уо ... + — '(х„— х,)(х» — х,)... (х» — х )= У +йЛуо+ с»У + ° + а У =" й(й — 1) й(й — Ц ... 1 =(1+йс) уо=у» (й=1 2 ° ° л). 510 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (гл. Кге Заметим, что при Ь вЂ” 0 формула (3) превращается в полинам Тейлора для функции у. В самом деле, л о Л Екл х=х, Кроме того, очевидно, 1пц (х — х )нп =(х — хо)". Л -о о Отсюда при Ь 0 формула (3) принимает вид полннома Тейлора: '"'(к ) Р„(х) =у(х )+у'(х,) (х — х )+ ...
+»вЂ” ,' (х — х )". Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (3) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную 4 по формуле к — хо л тогда ;х — ко) (х — ко) (х — хо — Л) (х — хо — 2Л) 1г) Ь А =4(оу — 1)(4 — 2)... (оу-1+1) (1 =1, 2...;, л). Подставляя эти выражения в формулу (3), получим: Р.(х)=уо+НЗУЛ+'"2 " 1'Уь+ ...
+Е(г )...(г + ) сло (4 и! Уь х — хо где оу= — „представляет собой число иоагог, необходимых для достижения точки х, исходя из точки хо. Это н есть окончательный вид первой интерполяционяой формулы Ньютона. Формулу (4) выгодно использовать для интерполирования функции у=у'(х) в окрестности начального значения х, где оу мало по абсолютной величине.
Если в формуле (4) положить и = 1, то получим формулу линейного интерполирования: Рк (х) =уь+ч 3уь. Прн п=2 будем иметь формулу параболического или квадратич ного интерполирования: Р,(х)=у,+а Ьу,+е г Ь'у,. 2 9 5) петвля ннтягполяционнля еотмьлз ньютона 511 Если дана неограниченная таблица значений функции у, то число а в интерполяцнонной формуле (4) может быть любым.
Практически в этом случае число л выбирают так, чтобы разность Л"уг была постоянной с заданной степенью точности, За начальное значение хз можно принимать любое табличное значение аргумента х. Если таблица значений функции конечна, то число л ограничено, а именно: л не может быть больше числа значений функции у, уменьшенного на единицу. Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы. Пример 1.
Приняв шаг )з=0,05, построить на отрезке 13,5; 3,61 интерполяционный полнном Ньютона для функции у = в', заданной таблицей Р е ш е н и е. Составляем таблицу разностей (таблица 38), Заметим, что в столбцах разностей, следуя обычной практике, мы не указываем десятичные разряды (которые ясны из столбца значений функции). Так как разности третьего порядка практическк йостоянны, то в формуле (4) полагаем и= 3.
Приняв ха в — 3,50, у = 33,115, будем иметь: Рз (х) = 33,115+ 1,698а+ 4(Ч 1) Таблица разностей функции у=в" +0,087 2 + +О 005 д(д Ц(е 2) 6 или Рз (х) = 33 115+ 1 698о+ 3,50 33,115 1698 87 5 + 0,04ЗЬуфу- 1) + 3,55 34,813 1735 92 3 3.60 36,598 1377 95 + 0 00083т (д — 1)(т — 2)~ 3 65 38 475 1972 где 3,70 40,447 а о 05 20 (х — 3,5) П р н м е р 2. В таблице 39 приведены значения интеерала вероятностей к к)1(х) в-к йх — 3 512 интвРполиРованив Функций (гл. хш Применяя первую интерполяцнонную формулу Ньютона, приближенно найти Ф (1,43). Р е ш е н и е. Дополняем таблицу 39 конечными разностями функции у до третьего порядка включительно.
За х, принимаем ближайшее табличное значение к искомому зна- чению х = 1,43, т. е. полагаем Таблица 30 х, = 1,4. Так как и=О,!, то Таблица разностей функции 1,43 — 1,4 у = сп(х) д= =03. 0,1 Подставляя в формулу (4), получим: у 0,9523+0,3 0,0138+ + ' ', ( — 0,0036)+ +0,3 (0,3 — 1) (0,3 — 2) 3! = 0,95686. (Табличное значение: Ф (1,43) == 0,9569, см. «Таблицы функций» Янке и Эмде.) На практике часто встре- чается надобность для функции, заданной таблично, подобрать аналитическую формулу, представляющую с некоторой точностью данные табличные значения функции.
Такая формула называется эмпирической, причем задача построения ее неоднозначна, При построении вмпирической формулы следует учитывать общие свойства функции. Если из таблицы разностей будет обнаружено, что л-е разности функции для равноотстоящих значений аргумента постоянны, то в качестве змпнрической формулы можно взять соответствующую первую интерполяционную формулу Ньютона, П р и м е р 3. Построить вмпирическую формулу для функции у, заданной таблицей Р е ш е н и е. Составляя таблицу разностей (таблица 40), убеждаемся, что вторая разность постоянна. Используя интерполяционную формулу Ньютона в форме (3) и учитывая, что й = 1, будем пхРВАН ннтеРлоляционнАН Формула ньлотона 513 9 5) иметь: у=5,2+2,3х — 2 х(х — 1) 0,4 или у = 5,2+ Зх — 0,2хв Пример 4. Найти сумму квадратов 8 =1а+2в+ +лв натуральных чисел от 1 до и.
Р е ш е н н е. Очевидно, имеем: ~8н 8н+1 8л ( + Отсюда 5в8„=2Н-(-3, ЛА8„=2 виде полинома третьей и, следовательно, 8„ можно искать в степени относительно и. Лля определения разностей ах, нужно вычислить трн значения 8, 8 и 8а. Имеем: Таблица 40 Конечные разности Функции у 81=1, 8а=8А+2в 1+4=5, 8а=8в+За=5+9=14. Отсюда 58д — — 5 — 1=4, 58в=14 — 5=9, ЛА8 =9 — 4=5, причем ЛР8, =2. Применян первую интерполяционную формулу Ньютона и учитывая, что а — 1 д= — =л — ! получим: 1 + 4 ( 1) + 6 (а в 1) (л — 2) + 2 (а в 11(л — 2) (а — 3) 2 6 или 8а = — л (и+ 1) (2л+ 1). 1 н 6 17 В. П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
