Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(6) (7) К последнему уравнению легко применяется обычный метод итерации (3). Если функция у(х) имеет непрерывную производную у'(Х) в ы, то из формулы (6) вытекает: р'(х) =Е+ЛУ'(х). В следующих параграфах будет доказано, что процесс итерации для уравнения (7) быстро сходится, если ~р'(х) мала по норме. Учитывая это обстоятельство, выбираем матрицу Л так, чтобы ю' (хнн) = Е+ Лу' (хм') = О; отсюда, если матрица у'(хнн) — неособенная, будем иметь: Л [ ~ ( х ~ а 1 ) ! Заметим, что это, в сущности, модифицированный процесс Ньютона, примененный к уравнению (5) (см.
$7). В случае, если бе)у'(х'м) =О, то следует выбрать другое начальное приближение х'а'. Употребляются также иные способы замены,системы (3) эквивалентной ей системой (7). П р и и е р. Методом итерации приближенно решить систему х',+х, '= 1, 9 (8» Реш ение. Из графического построения видно (рис. 39), что система (8) имеет два решения, отличающихся только знаком. Ограничимся нахождением положительного решения. Из чертежа усматриваем, что за начальное приближение положительного решения системы (8) можно принять: "'"=И 1 Полагая Х~+Ха будем иметь: Зх~ — 1 Отсюда У (к~в) и де!у' (х'ю) = — 1,8— — 2,43 = — 4,23.
Рнс. 59 Так как матрица у'(км') — неособенная, то существует обратная матрица (у'(х ))- = — — '~ ' '1. 4,23 с — 2,43 1,8 !' Таким образом, л= -(у'( '"и-'=,— ' 1 1 à — 1 — 1 4,23 ( — 2,43 1,8 Положим ~ (х) — к+ Лу (к)— Тогда система (8) будет эквивалентна стандартному матричному уравнению ,к=~р(х). (9) 476 пгивлиженноз гешзнив систем нелинейных хглвняний (гл. шп 477 ПОНЯТИЕ О СЖИМАЮЩЕМ ОТОВРАЖЕНИИ х!е) 4,23 2 43 1 8 х<ео — х!е! = [о,ь~ 4,2з [2,4з — 1,81 [0,2201 = [о,ь~ [ — о,оьзо1 = [0,66301 ' нн 0 83171 1 Г 1 ! 1 Г 0 8317е+0.6630е — 11 0,6630) 4,23~ 2,43 — 1,8 ( ( 0,83!7е — 0,6630 Г 1Г, — [ о 663! 1 [ — о оооь ~ [ о 6636 1 и т. д.
Ограничиваясь четвертым приближением, имеем корни х = 0 8261; х = 0 5686, причем [ 0,0002 1 с точностью до 10 е. 9 9*. Понятие о сжимающем отображении Пусть дана нелинейная система Ух='Рх(хы хе~ ., хл) Уе=ере(х„х„..., хл), Ул лл!рл (х„х„..., хл), где функции !рх, <ре, ..., !рл определены и непрерывны в известной области 0 действительного и-мерного пространства Ел (гл.
Х, 9 1), причем значения ие (у, ут, ..., Ул) при (х„ х, ...,хл) ~ 0 заполняют некоторую область 0' <= Ел. Система (1) устанавливает отображение области О на область 0'. Введя векторы =( Уе У= Кл Ул ц тл систему (1) коротко можно записать следующим образом: у = (р (х). Пользуясь формулой (4), находим для решения системы (9) последовательные приближения: 478 птивлижвннов твшвнив систим нвлинвйнык ттьвнвний (гл. яш В пространстве Е введем каноническую норму ))Х~), удовлетворяющую обычным условиям. Например, можно положнтьп )) х ))„= шах ) х, ), )) Х ))«=Д)х') () х))„= ~/~х~~ нли и т. п.
Отображение (1) нли (1') называется сжимающим в области О, если существует правильная дробь «7 такая, что для любых двум точек х, х Е О ик образы у, =«р(хт) и у = «р(х ) удовлетворяют условию ))У,— из )) («7)) х,-х, )), (2) т. е () ф(х,)-ф(хз) )) («)ИХ вЂ” х И (0«7 <1). (2') Рассмотрим нелинейное векторное уравнение х=«р(х), вквнвалентное нелинейной системе уравнений специального вида х,=ф,(х„х„..., х„), х =«р (х„х, ..., х„), (3') х„=«р„(х„х, ..., х„). Решение х" этого уравнения, если оно существует, является неподвижной точкой преобразования (1). Для нахождению х" построим итерационный процесс Х«г«=ф(Х«т и) (4) где х«ь'Е О.
Теорема 1. Пусть область О замкнута и отобраасенив (1) является сжимающим е О, т. е. выполнено условие (2). Тогда, если для итерационного процесса (4) есе последовательные приближения х«г'ЕО (р=0, 1, 2, ...), то 1) независимо от выбора начального приближения Х'«и процесс (4) сходится, т. е. существует Х" = 11ш Х~гч; (5) г-~ а 2) предельный гектор Х" является единственным решением уравнения (3) е области О; 3) справедлива оценка () х" — хои!) ( — (! хц' — х'«з )). (6) 9 9) 479 понятие о сжнмлющим отоврхжвнии Доказательство. 1) Для доказательства сходимости последовательности приближений хр' (р=О, 1, 2, ...) применим крите.
рий Коши (см. гл. ЧИ, 2 9). Имеем: (!х~ ~ — хр !(=(1(х~+ — х~)+(х~ -хш' )+...+(х' — ""-и) (( < у( х"" — " ((+ 1) х" "— " ((+... + + ~( х'р+оо — х'~ ~ о ((. (7) Используя соотношение (4) и «условие сжатостио (2'), последовательно получаем: ((х-" — х~((=((Ф(х") — Ф(х"-:)!! ( ~д()х< — х" о~((д'((х" о-х" "((<д'((х"'-х"'((, (3) где а>0. Поэтому, усиливая правую часть неравенства (7), будем иметь: (( хр'и — хр ~( ( рр ~~ хсо — х"' ~(+ др" (( хп — хон () +...
+ +, р+о-о (( «ао «со~ (( или, воспользовавшись формулой дли суммы членов геометрической прогрессии, находим: <Р+М .~Р~ ~( Š— оР+ (( щ «[о~ ~( ~ о (( х<н «<о~ (1 (9) 1 — Ч -1 — д Так как 0(р(1 и, следовательно, дР- 0 при р- оо, то из формулы (9) вытекает, что для всякого е > 0 существует М=М(в) такое, что при р > М(в) и й > 0 будет справедливо неравенство ~(х"'о — х'р'~((в, т. е. для последовательности хю (р=-О, (, 2, ...) выполнен кри- терий Коши. Поэтому существует: Х» = йп Хо», > Ф причем х" Е О в силу замкнутости области О. 2) Вектор х" является решением уравнении (3), так как, переходи к пределу при р- оо в равенстве (4) н учитывая непрерывность в 0 вектор-функции,ор(Х), будем иметь: Вш «оч =ф ( Вш «'Р-н), т, е х» = ~р (х").
(10) Это решение единственно в О. Действительно, пусть Х"' есть другое решение уравнения (3), т. е, х"' = ~р (х"'). (11) 480 пгивлижяннов гвшннив систем нелинейных этлвняний (гл. хш Вычитая из равенства (10) равенство (11), получим: х"-х"' =ю (х") — ~р (х"'), отсюда Ц х" — х"' Ц = Ц ф (х") — чр(х"') Ц (а Ц х" — хь' Ц или (1 — д) Ц х" — х"' Ц ( О. (12) Так как 1 — д) О, то неравенство (12) может иметь место лишь при Цхи — х"'Ц=-О, т. е.
тогда, когда хм=х"'. Таким образом, другого решения ураанения (3) в области О быть не может. 3) Переходя к пределу при й- оо в неравенстве (9), получим оценку (6). Теорема 1 доказана полностью. Замечание 1. Если область О совпадает со всем пространством Е„, то условие х'юЕО (р=О, 1, 2, ...), очевидно, становится нзлишнии. Заме чан не 2. Используя неравенства Цх — х Ц =уйх — х Ц Ц хш+" — х'"+и Ц ~ уь Ц х'ю — х'г " Ц, из формулы (7) будем иметь: Ц хсь+М вЂ” х'юЦ(аЦ хин — х" и Ц+ +у'Цхпи — х" пЦ+".+у'Цх' — х" "Ц( — Цхоч — ""Ц. Отсюда при й- оо получим: Ц х" — хоч Ц (1 " Ц х"" — х'т " Ц. (13) В частности, если 0(д< —, то из формулы (13) следует, 1 что прн Ц х""-хьт "Ц (е справедливо неравенство Ц хм-хочЦ =е. В условии теоремы 1 требуется, чтобы все приближения хон принадлежали фиксированной области б.
На практике это обстоятельство иногда затруднительно проверить. Поэтому мы приведем несколько видоизмененную формулировку теоремы 1. Т е о р е м а 2. Пусть отображение (1) является сжимающим в замкнутой области О' и у — ограниченная область, лежащая в 6 вместе со своей р-окргстностью (в смысле введенной нормы), гдв (14) Ц 1О) нервов достаточное зсловив сходимости процяссл итерации 481 Е) — диаметр области и и у — соответствующий коэффициент в неравенстве (2).
Тогда, если х<о1~й и хш=ц~(х<о') ~д то итерационный процесс (4) сходится и справедливы заключения теоремы 1. Д о к з з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно доказать, что все последовательные приближения содержатся в области 0: хоч ~ 0 (р = 2, 3, ...). (15) Доказательство будем проводить методом математической индукции. Прежде всего, по условию теоремы х'о'~0 и х'о~О.
Пусть теперь хоп~ 0 (в=0„1, ..., р). Так как Ц хц' — хин ~) <О, то на основании неравенства (8) имеем: 1) х"+и — х™Ц <д'Цхш — х'о'Ц <с)д' («=0, 1, 2, ..., р). По атому Ц хи+И хц1 ~) < Ц хаев хп1 )(+ + Ц х( +и хоч Ц < <Т)д+... +Вцг< —,"' <р. ! Следовательно, хор+и Е О.
Таким образом, свойство (15) установлено и мы находимся в условиях теоремы (1). Теорема 2 доказана. 3 ам е ч а н и е. Условия теоремы 2 равносильны следующим: пусть х'о' ~ О и хц' ~ О, причем )( хсо — х'о' () <('Т). Если расстояние точки хп' до границы Г области О не больше —, то итерационный про- Ве цесс (4) сходитса. й 10о. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации Рассмотрим действительную приведенную систему хх=ерт(хы х„..., х„), хя = врв (хы хдв х,) х„=ер„(хы х„..., х„), или в матричном виде х =вр (х), где рв (х) вр(х) = <Ря («) 16 Б. П. Деяядоояч я И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
