Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Таким образом, если х'в' давало значения корней хг (! = 1, 2, 3„4) примерно с точностью 1 ° 1О в — 2 1О ', то после поправок В формуле (11) примем не= 8. Так как матрица а †симметрическая, то для вычислення ее первого собственного значения используем метод скалярных произведений. Имеем: (ае(1, пер) 240 463е+ 190в+ 240 654т + 240 272е 500 961 240 463+ 792 190+501 763 240654+500 170 240 272 ЛИТЕРАТУРА К ДВЕНАДЦАТОЙ ГЛАЗЕ 449 Л. А. Люстерника мы получаем вти корни приблизительно с точностью до 10 е. Метод Л. А.
Люстерника улучшения сходнмости может быть применен также к процессу Зейделя. Как известно, процесс Зейделв для системы (2) представляет собой процесс итерации для равносильной системы х = 1)т+ а,х, где матрица сг однозначно определяется через матрицу а (см.
гл Х1, 9 3), а именно, если сс = В+ С, где  — нижняя треугольная матрица с нулевой диагональю и С— верхняя треугольная матрица, то ах=( — В) 'С. Повтому, если ф'"' (ш = 1, 2,...) — последовательные приближения по Зейделю корня х системы (2), то можно положить: хж$'"'+ ~ 1 где )з — наибольшее по модулю собственное значение матрицы сс,. Отметим, что существуют также и другие методы улучшения сходимости итерационных процессов-для решения систем линейных уравнений, например, метод М. К. Гавурина 17), 181, метод А.
А. Абрамова 19]. Литература к двенадцатой главе 1. В. Н. Фаддеева, Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехиздат, М., 1950, гл. П1. 2. И, М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, Изд. 2, Гостехиздат, М.— Л., 1951, добввл. 1. 3. А. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, Гостехиздат, М.
— Л., 1946, гл. Т1. 4. Га рол ьд В ей ленд, Представление векового уравнения в виде многочлена, УМН П, вып. 4 (20) (1947), 128 — 158. 5. В. Э. Милн, Численный анализ, ИЛ, 1951, гл. П. 6. Л. А. Л юс терн и к, Труды Матем. ин-та им. В. А.
Стеклова, 20 (1947), стр. 49. 7, М, К. Газу ри и, Применение полиномов наилучшего приближения к улучшению сходимости итеративных процессов, УМН, 5: 3 (37) (1950), 156 — 160. 8. И. С. Березин и Н. П. Жидков, Методы вычислений, Физматгнз, 1959, т.
2, гл. У1!1. 9. Л. К. Фаддеев н В. Н. Ф ад деев а, Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгнз, 1960, гл. 1Х. ГЛАВА Х1Н ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ й 1. Метод Ньютона Рассмотрим, вообще говоря, нелинейную систему уравнений у,(х,, х„..., х„) =О, у,(х„х„..., х„) =О, у'„(х„х„..., х„) =О Е действительными левыми частями. Ззпише»» короче систему (1).
Совокупность аргументов х„ хз, ..., х„можно рассматривать как и.мерный вектор «» « «« Аналогично совокупность функций уы у„ ..., у'„ представляет собой также и-мерный вектор (вектор-функции») у» 6 Поэтому система (1) кратко записывается так: у(х) =О. (1') Для решения системы (1') будем пользоваться методом последовательных приближений.
Предположим, что найдено р-е приближение х'е»=гхш» хоп х»е») =(х1 >хе > ° . ° >хи Ю 1) 451 мятод ньютона одного из изолированных корней х= (х„ х„ ..., х„) векторного уравнения (1'). Тогда точный корень уравнения (1') можно представить в виде х = х>Р>+ енн, (2) ( М и) ~~~) — поправка(погрешность кОРнЯ) ° Подставляя выражение (2) в уравнение (Г), будем иметь: у(х'»ч+ е'"') = О. (3) Предполагая, что функция у(х) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей х и х'х', разложим левую часть уравнения (3) по степеням малого вектора е'х>, ограничиваясь лннейнымн членами, у(хо" + е"") =у (х>тч) +~" (х"") еоо = О или, в развернутом виде, / (х»»'+е>»»', х',Ю+е~~~, ..., х1Ю+еЗЮ) = » ( (и .~() .Он) +у' ( (Р) <я (Р)) >ю> у»(хс»>+в»",х»>ч+е»ю>, ..., х„"'+вы') = — у'(хоо х'ю 'ю)+у' (х'ю х'ю ь» ) в'ю+ ...
+У,,„(х,, х,, ...> х„) е„=О, <ю <ю ым оо (4') ~(х»ю+е',»', х',"'+ в1»ю х'»'+ е'ю>) = » > — у' (х'ю х'ю хон)+у' (х'ю х'ю х'ю) в1ю+ ° ° ° +у»х„(х> > х» > ° ° ° > х» )е» =О. ду> д1» дх, дх» ' д1» д~» . дх> дх д>» дх„ д( дх„ д~„д)» д1„ дх» дх» ' ' дх„ !5 Из формул (4) и (4') вытекает, что под производной у (х) следует понимать матрицу Якоби системы функций уы у», относительно переменных х„ х, ..., х„, т. е. Система (4') представляет собой линейную систему относительно поправок е(ю(1=1, 2, ..., л) с матрицей йт(х), поэтому формула (4) может быть записана в следующем виде: у(х'ю) + (Зг(хоп) еоч = О. Отсюда, предполагая, что матрица И'(хоч) — неособенная, получим: еоч = — И' '(хоп)у(х,'ю). Следовательно, хш+п=хю — ((7"г(хн>1)У(хнч) (р=0, 1, 2, ...) (5) (метод Ньютона).
За нулевое приближение х'в' можно взять грубое значение искомого корня. П р и и е р 1. Приближенно найти положительные решения системы уравнений (ср. гл. 1'т, ф 9) Л (хы хх) =ха+ 3!Я'ха — х» =0> ух(х„х,)=2х,' — х,х,— 5х,+!=0. (6) Р е ш е н и е. Кривые, определяемые системой (6), пересекаются приблизительно в точках М (1,4; — 1,5) и Мх(3,4; 2,2). Исходя из начального приближения <о) [3,4~ вычислим вторые приближения корней, производя вычисления с точ- ностью до четырех десятичных знаков. Полагая у (х) = ~~~'((„о „')1, имеем: > ГЗ 4+3!я 3 4 — 2 2а 1 Г 0 1544! '> ( ) (2 3,4в — 3,4 2,2 — 5.3,4+! ( ( — 0,3500~ Составим теперь матрицу Якоби ЗМ 1 + — — 2ка х1 4х> — х — 5 — кь Ю(х) = 452 пгивлижвннов гашвнив систвм ннлнняйных хгавнвний [гл'.
хш или в краткой записи 453 матов ньютона где М= 0,43429. Отсюда 1+ ' — 2. 2,2 Г1,3832 — 4,4 ~ 4 3>4 — 2,2 — 6 — 3,4 6,4 — 3,4~ причем Л = 6е1 Яг (х'е') = 23, 4571. Следовательно, матрица 1(Г(х"') †неособенн. Составим обратную ей матрицу -г а> 1) 34 44 Л [ — 6,4 1,3832) ' Используя формулу (5), получим: [2,21 23,4571 [ — 6,4 1,3832~ [ — 0,3600~ Ц 23,4871 [- 1,48604~ = [2,2~ + [0,0633~ [2,2633~ ' Аналогично находятся дальнейшие приближения.
Результаты вычислений приведены в таблице 32. Таблица 32 Последовательные приближении корней системы (6) Останавливаясь на приближении х'", будем иметь: х = 3,4875; х, = 2,2616, причем П р и и е р 2. Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы уравнений х'+у'+ я' = 1, 2ха+уа — 4я = О, Зха — 4у+ га = О, исходя нз начального приближения ха =ус = ва = 0Л. Ь1) 466 метод ньютона Далее вычисляем второе приближение х'э'. Имеем: > 0,875э+0,500э+0,375э — 1 ( ( 0,15625) 7>(х>>>) =- 2 0,875>+0,500> — 4 0,375 = 0,28125 3 0,875> — 4 0,500+0,375> 0,43750 ~2.0,875 2 0,500 2 0,3751 )т' (х»>) = 4 0,875 2.0,500 — 4 6 0,875 — 4 2 0,375 Отсюда 1 0,750 1 — 4 — 4 0,750 1,750 1 0,750( 1,750 0 — 4,7501 = — 64,76 (12 250 О 3,750 > — 15,25 — 3,75 — 4,75 ') )Р т (Х>м) = — — — 23,625 — 2,6250 9,625 — 19,25 12,25 1,75 Используя формулу (5), получаем: Х>м=Х вЂ” Цт (Х >)У(Х ) = — 3,75 — 4,75 >Г0,156251 — 2,6250 9,625~~ 0,28125~ = 12,25 — 1,75 0,43750 0,500 — 0,00338 = 0,49662 0,500 + 4 — 23,625 Аналогично находятся дальнейшие приближения: Г0,785211 > 0,00001 ) х>э> 0 49662, У(х>э>) 0 00004 О, 36992 0,00005 и т.
д.' Ограничиваясь третьим приближением, получим: х = 0,7852; у = 0,4966; в = 0,3699. )1, 750 бе1 %'(хп>) = 3,500 5, 250 1,750 1 0,750 3,500 1 — 4 5,250 — 4 0,750! ч56 пгивлиженное тешенне систем нелинейных тглвненнй [гл. хш 2 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона В 2 1 был дан формальный аспект метода Ньютона. Условия сходимости этого метода для системы исследованы Виллерсом, Стениным, Островским, Канторовичем и др. Ниже излагается частный случай теоремы Л. В.
Канторовича (теорема 1) [11 о сходимости процесса Ньютона в функциональных пространствах применительно к конечным системам нелинейных уравнений, причем для простоты рассуждений используются более грубые оценки. Следуя Л. В. Канторовичу, устанавливаем также быстроту сходимости процесса Ньютона, единственность корив системы и устойчивость процесса по отношению к выбору начального приближения (теоремы 2 — 4]. Как частный случай получается теорема Островского [2) о сходимости процесса Ньютона для уравнения с аналитической комплексной правой частью.
В дальнейшем совокупности функций будет удобно рассматривать как вектор-функцию илн матричную функцию. Йля облегчения изложения обобщим понятие производной на эти случаи. Пусть х=(х, ..., х„) и 1,(х) у„(х) У(х) = тле Д; ~С'" (1=1, 2, ..., и). Определение 1. Под производной у (х) понимается матрица Якоби системы функций 1~ (1=1,...,и) по переменным х„..., х„, т. е. ~ дк~~ ' Матричную функцию гм(х)".Ь(х) Р(х) = („г(х) ...1„,(х) можно рассматривать как совокупность ти вектор-функций 1ц(х) ью(л) Ых) Р,(х) = ,...,Р,(х) = ялт(х) Поэтому под производной тч (х) естественно понимать совокупность К'(х) = [р',(х) ... р','(х)), ф 2) ов»цив замечания о сходимости пгоцвссл ньютона 457 где д)»ь д»»а дх» дх„ Рь'(х) = д[чь 4,» -матрицы Якоби (»х=1, 2,..., г). Определение 2. Если Р(х)=[ДЧ(х)) — функциональная матрица типа пхг и У,у(х) ЕСц», то Р'(х) = [Р"а(хЦ, (2) где Ра(х)= ~д — „.
~ (1, у=1> 2,..., и; в=1» 2,..., г). Где~1 В частности, если вектор-функция 7(х) =-(Л(х)] такова, что Д(х) ~С»в», то ~"(х) = [ ит»(х)... ю„(х)), где Г д*);1 ((Г~(~)= ~ — '1 (в=1, 2,..., ). а [дхьдхд) В етом параграфе для оценки матриц мы будем пользоваться л»-нормой (гл. Ч!1, $7), причем значок я» для краткости опускаетси, а именно: [[у(х) ц = юах [ у~(х) [; в ИГ(хН)= -Х) 'д['(*) ~' дх~ ([у" (х)[) = юах () щх)(( = юах, »пах ~~»' [ д 1»(") ! ~ и т » »'=1 Аналогично [)Р(х)[(=вак~~» [у,.
(х)[ / ч [[Р~(хн[=,пак ~„"! д)»г(х) ~ ») сг ь »~ дха *) Так как, очевидно. аля лк»бой конечной совокупности чисел [аг~) имеем: н»ах /п»ах а»у) =н»ах аоч 458 птивлижкннок гкшвник систкм нклннкйных твлвнкний (гл. л!п Предварительно выведем несколько оценок для в-норм разностей значений матричных функций, аналогичных формуле конечного приращения, которые окажутся полезными в дальнейшем (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
