Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 56
Текст из файла (страница 56)
3 а и е ч а н и е 2. Для ускорения сходнмости итерационного процесса (6) иногда выгодно составлять последовательность матриц 9 11) нлхождвниз нлизольшего по модулю совствзнного значения 425 В самом деле, из формулы (2) имеем: А"у = с,Хгхш+ ~чь', с )!; хж', где х'л (7'=1, 2, ..., и) — собственные векторы матрицы А. Отсюла /! ~и~ Так как ~ — ~ — 0 при гл — оо (у) 1), то при достаточно Х, большом лг с любой степенью точности будем иметь: А ужу Х,х'", т. е. А"9 лишь числовым множителем отличается от собственного вектора хш и, следовательно, также является собственным вектором, соответствующим тому же самому собственному значению )! . П р и и е р. Найти наибольшее собственное значение матрицы А= 1 2 1 (8) н соответствующий ему собственный вектор.
Решение. Выбираем начальный вектор Составляем таблицу 27. Таблица 27 Вычисление первого собственного значения у Ау А'у Агу л'у л'у а~у А~у А1еу 24 15 6 1!1 60 2! 504 252 8! -П 2268 10161 1089 4779 333 1422 45433 21141 620! 202833 93906 27342 905238 417987 121248 4 038939 1 862460 539235 Остановившись на итерациях Аср =у(м и А(су =уме), получаем значения с'1 4038939 „(~) 906238 4,462; ~1 — = — = 4,456; В(а) 417987 з — =4 447. ~М 121248 Следовательно, приближенно можно принять; 3 (4'462+ 4'456+ 4,447) — 4,455 ж 4,46 В качестве первого собственного вектора матрицы А можно взять: ) 40389391 А)оу 1862460 639236 Нормируя его, окончательно получим: Л(т) = 0,42 Случай 2.
Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А является кратным. Пусть )(1 )(2 ' 7)с 1)( 1 ) ! "а! Из формулы 15) имеем: при 7с ) а. в(~~)) с)хпХ)(~+ +ср )м+)+с х) Хм+(4 1 с х хм+) с)хг)Х, +... + ссх(сХ) + с,„1х(, с., (ь .(. ) +... + с„х(„Х п~ ~и и т /Х„'(м+) сгхп+ ° ° +ссх(с+сг+)хь х+) ~ ~ ) + ° +с„х(„~ — ") 1 1 — )(т сьхм+ ° ° +ссхм+сс+)хг сьх ~ с+ ~ + ° ° ° +с„хш ~,— "~ дх 8( Отсюда, если сгк()+... +с,х(,фО, учитывая, что — — О при л) ао и 7с ) а, () )),ь~е Х, 426 нахождвнив соиствянных значений и ввктогов (гл.
хп ф 11) нлхождинив нливольшего по модхлю совствинного значения 427 получим: (лВ» г~ 1пп ', =Х (1=1, 2, ..., л) е н Д~ или, точнее, Таким образом, указанный выше способ вычисления Х„применим и в этом случае. Как и прежде, у ни Аю представляет собой один из приближенных собственных векторов матрицы А, соответствующих значению Х,. Изменяя начальный вектор у, мы, вообще говоря, получаем другой линейно независимый вектор матрицы А. Заметим, что в этом случае не гарантировано, что нашим приемом будет определена вся совокупность линейно независимых собственных векторов иатрнцы А для значения Х,.
Для случаев 1 — 2 можно указать более быстрый итерационный процесс нахождения наибольшего по модулю собственного значении 7 матрицы А, а именно: образуем последовательность матриц А, А», А», А», ..., А»». Как известно (гл. Х, $ 12), ~~.", Х; =ЗрА; (=1 аналогично н ~~ ХГ=ЗрА Ф=\ где л» = 2».
Ограничиваясь для простоты случаем 1, имеем: К,"+~, +... +Х„"=й;~1+('— ')" +... +(~")"~ =ЗрА; отсюда При л» вЂ” оо получаем: ~Х ~= 11ш ~~/Зр 4, т. е. ) Х ~ ж ~~/Зр Аи, где и» достаточно велико. 428 нххождяних совстйвнных значений и вантовое [гл. хп Чтобы избежать извлечения корней высокой степени, можно найти А" +г = АмА.
Тогда )3и+1 ( )„03+1 ( ( )и+1 6 ~щ+г и л~+Х, +... +й~ =Зрл". Отсюда, учитывая относительную малость | вв (,..., ()1„( по сравнению с (й (, получим: Х,жбрл +'/Зрл". ф 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы Для отыскания первого собственного значения 3., действительной матрицы А можно указать несколько иной итерационный процесс, являющийся иногда более выгодным. Метод основан на образовании скалярных произведений (А'Уо, А'"уо) н (А'-'Уо, Л'Уо) (й = 1, 2, ,), где А' †матри, транспонированная с матрнцей А, и уз †выбранн каким-либо образом начальный вектор.
Переходим теперь к изложению самого метода, Пусть А †действительн матрица и лы йю ..., л„ вЂ” ее собственные значения, которые предполагаются различными, причем ) Х,() (Хз()...=>(Х„(. Возьмем некоторый ненулевой вектор уе и с помощью матрицы А построим последовательность итераций уь — — Ау„,' (л=1, 2,,). Для вектора уе образуем также с помощью транспонированной ма- трицы А' вторую последовательность итераций у,'=Лу,', (а=1, 2, (2) где у',=у,. Согласно теореме 1 главы Х, й 16 в пространстве Е„ выберем два собственных базиса (х ) и (ху) соответственно для матриц А и А', удовлетворяющих условиям биортонормировки: (хп х;).=бы, (3) где Ах, = йгх; и А'х1 = Х1х; (1, /= 1, 2, ..., а).
Обозначим координаты вектора уе в базисе (ху) через аы ..., а„, а в з 12) метОд ск»лягных пгоизаедений базисе (х') — через Ьы ..., Ь„, т. е. уо —— а,х,+... +а„х„и уо — — Ь,х',+... +Ь„х'„. Отсюда « у«=А«у»=~ а/Х~ х/ (4) у' =А'«у =~", Ь/Х"»х' (Ф= — 1; 2, ...). (4') »=1 Составим скалярное произведение / л о (у» у ) =(А«уо А «уо) =(уо А '«уо) =~ ~Р ~а;х;, '~з ~Ь/Хо'«х' с»=1 1=1 Отсюда в силу условия ортоиормирования находим: о (У», У„) = ~ а«Ь'Х'» = а,Ь; й,'«+ а»Ь; Х,'»+... + а»Ь„'),„'». (5) г=» Аналогично (у„„у') = а Ь; Х,о» - ' + а»Ь, "Х ™ - » +... + а„Ь' Х*« - », ! (б) Следовательно, при а»Ь; -ЙО имеем: — Х +О// — о» Таким образом, (у,, у,) (А'уо, А'у») (у»,, у,') (А'-'у,, А'уо) (7) Этот метод особенно удобен для симметрической матрицы А, так как тогда А' = А, и мы имеем просто (А'уо, А'уо) (8) (А" 'у»,А»уо) и, следовательно, здесь нужно построить только одну последовательность у» — — А«у (а=1, 2, ...).
П р н и е р. Методом скалярных произведений найти наибольшее собственное значение матрицы ($ 11) А= 1 2 1 Р е ш е н и е. Так как матрица А — симметрическая, то достаточно построить лишь одну последовательность итераций А уо(а = 1,2,... ). 430 нлхождвниа совотввнных знлчвний и вьктогов (гл.
хп Выбирая за начальный вектор Уо= 1 ~2 2681 Аоуо = 1 080 и ЗЗЗ Отсюда (АоУо А Уо) =2268'10 161+ 1089'4779+ 333'1422 = 28 723 005 и (АоУо АоУо) = 10 161'+ 4779о+ 1422' = 128 106 846. Следовательно, (Ау, АУ) 128100840 (А'Уо АпУо) 28 723 000 что совпадает в написанных знаках со значением, найденным прежде с помошью Атоуо (см.
ф 11). 3 а м е ч а н и е. Методы нахождения наибольшего по модулю корня характеристического уравнения (ф 11) можно использовать для нахождения наибольшего по модулю корня алгебраического уравнения хп+р,х" '+... +р„=-О. (9) Действительно, уравнение (9), как легко непосредственно проверить, является вековым для матрицы (ср. 9 3, матрица Фробениуса) Р1 — Ро ° ° Рп т — Рл 1 0 ... 0 0 Э 0 0 ... 1 0 т. е. уравнение (9) эквивалентно уравнению бе((хР— Е) = О, Если уравнение (9) не имеет нулевых корней, то аналогичным способом может быть определен наименьший по модулю корень этого 1 уравнения, а именно, при р„фО, полагая — =у, получим: у'+ — 'и-'уп+...
+ — =О. 1 Рп Рп (10) Обратная величина наибольшего по модулю корня уравнения (10), очевидно, даст нам наименьший по модулю корень уравнения (9). можно использовать результаты таблицы 27. Например, при 7о.=5 и 7о=-6 имеем: й 13) нлхождвнив втогого совстввнного знлчания 431 й 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора Пусть собственные значении )) (у'= 1, 2, ..., л) матрицы А таковы, что ~ л, ~ > ! ),, ~ > ! ),, ~ > ... > ( л„ ~, (1) А у=с)Х,хп)+саХ,х(з)+... +с„Хмх(") (2) и А +'у = с)Х, +'х"'+с Х~+)х(а)+...
+ с„)(„"'+)х("). (3) Исключим из формул (2) и (3) члены, содержащие 1(). Для зтбго из равенства (3) вычтем равенство (2), умноженное на Х). В результате получим: А +'у — )( А у=с Х'" (Х вЂ” Х ) х'а'+... +с„Хм(Մ— )()) х'"'. (4) Для краткости введем обозначение (1,А у=А"+'у — ХА у, причем выражение (5) будем называть )-разностью от А"у. Если с ~0, то очевидно, что первое слагаемое в правой части равенства (4) является ее главным членом при ле†оо, и мы имеем приближенное равенство Ьл А"у ж с Хм ()( — )( ) х'а'. ()ь(А" 'уже Х,-'())з — Х )х'з' (6) Отсюда Пусть (и) У) я(т) А у=у'"'= (т) а т.
е. имеются два отличных друг от друга, наибольших по модулю собственных значения Х, и ). матрицы А. В таком случае приемом, аналогичным разобранному выше ($ 1!), можно приближенно найти второе собственное значение )( и отвечающий ему собственный вектор х"'. Из формулы (2) $11 имеем: 482 нлхождвнив совстввнных знхчвннй и ввктогов [гл. хп Из формул (6) и (7) оп) Д (е- <) Х, У) выводим: оп+ <) ~ <~и) () =1, 2,..., и). (8) У< )-Л,У< -') Пользуясь формулой (8), можно приближенно вычислить второе собственное значение )<,.
Заметим, что на практике ввиду потери точности при вычитании близких чисел иногда выгоднее номер итерации и для определения [<з брать меньшим, чем номер итерации ш для определения )<„ т. е. целесообразно полагать: (ь+ <) ) (ц У< — <У;. <ы (ь,) (и ( л)), (9) У, — )<„У) где А †наименьш из чисел, прн котором начинает сказываться преобладание 1<я над следующими собственными значениями. Формула (9), вообще говоря, дает грубые значения для 1<з. Заметим, что если модули всех собственных значений различны между собой, то при помощи формул, аналогичных формуле (9), мо)кно вычислить и остальные собственные значения данной матрицы.
Однако результатй вычислений будут еще менее надежны. Что касается собственного вектора х<а), то, как вытекает из формулы (6), можно положить: х<я) — Ьх,у<а). (10) Имеется распространение данного метода на случай кратных корней характеристического уравнения [1), Пример.
Определить дальнейшие собственные значения и собственные векторы матрицы (см. пример из 9 11) А= 1 2 1 Составляем )<-разности по формуле Ь)чУ~)~ =У<('+'~ — )<)У('~ (1 =- 1, 2, 3), Р е ш е н и е. Для нахождения второго собственного значения примем й = 8, Имеем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
