Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 53
Текст из файла (страница 53)
хг х=ах+р (6) с кососнмметрической матрицей (р и д действительны). Характеристическое уравнение матрицы а имеет вид или (Л вЂ” р)Я+д =0. лт я=р +.щ Отсюда Рнс. 57. Для сходимости метода обычной итерации необходимо чтобы ! )'1~ 2 ! ~~Р + Ч < 1> т. е. Р'+7'<1 и достаточно, (область А на рис. 57). Для метода Зейделя уравнение, определяющее имеет вид схо димость, или ), — (2р — дт) Х+ря=о. (7) На основании результатов примера 2 для того, чтобы корни А и );, уравнения (7) удовлетворяли условиям (А,! < 1, )Х,! < 1, необходимо н достаточно выполнение неравенств !2р — Ч (<1+Ф, Ф <1, откуда (р!<1, (р)<1+р Области сходииости процесса обычной итерации и процесса Зейделя, вообще говоря, перекрываются.
Можно привести примеры линейных систем, для которых процесс обычной итерации сходится, а процесс Зейделя расходится, и обратно [31. П р и пер 3. Рассмотрим линейную систему 401 литвилтхгл к одиннлдцлтой гллви (область В на рис. 57). Так как области А и В частично перекрываются, то отсюда следует, что для системы (6) можно выбрать козффициенты р и !7, во-первых, так, чтобы метод итерации сходился, а метод Зейделя расходился (например, р = — 0,5; д= 0,6), и, во-вторых, так, чтобы, наоборот, метод Зейделя сходился, а метод итерации расходился (например, р = 0,5; 9 = !). Литература к одиннадцатой главе 1. В. И. Смирн он, Курс высшей математики, т. 3, ГТТИ, М.— Л., 1933, гл.
Ч11. 2, Д. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, Гостехиздат, М. — Л., 1946, гл. Ч!11. 3. В. Н. Фаддеева, Вычнслнтельнме методы линейной алгебры, Гостехиздат, М. — Л., !930, гл. 11. ГЛАВА Х11 НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИНЫ й 1. Вводные замечания При решении теоретических и практических задач часто возникает надобность определить собственные значения данной матрицы А, т. е. вычислить корни ее еекоеого (характеристического) уравнения де1(А — )сЕ) = О, (1) а также найти соответствующие собственные векторы матрицы А.
Вторая задача является более простой, так как если корни характеристического уравнения известны, то нахождение собственных векторов сводится к отысканию ненулевых решений некоторых однородных линейных систем. Поэтому мы в первую очередь будем заниматься первой задачей — вычислением корней характеристического уравнения (1). Здесь в основном применяются два приема: 1) развертывание векового определителя в полином и-й степени )л(Х) =де1(А — ХЕ) с последующим решением уравнения 0(л) =О одним из известных приближенных, вообще говоря, способов (например, методом Лобачевского — Греффе; гл. Ч, Я 7 — 12) и 2) приближенное определение корней характеристического уравнения (чаще всего наибольших по модулю) методом итерации, без предварительного развертывания векового определителя. В этой главе будут изложены основные методы решения постзвленной общей задачи, причем мы начнем с развертывания еекоеыд олределителед.
2 2. Развертывание вековых определителей Как известно, вековым определителем матрицы А = (а; ) называется определитель вила а„— ь а„... а,„ аы аы — Ь... а,„ О()с) = дег(А — АЕ) = 403 глзвегтывлнив вековых опгвдвлитвлвй Приравнивая этот определитель нулю, получаем характеристическое уравнение с)(л) = О. Если требуется найти все корни характеристического уравнения, то целесообразно предварительно вычислить определитель (1). Развертывая определитель (1), получаем полинам и-й степени ).')()) =( — 1)" [Л' — о,й" '+о,)" ' —... +( — 1)"и„[, (2) где а ~чР а а=1 есть сумма всех диагональных миноров первого порядка матрицы А. а„„а,а ~ а -в аз, ааз~ есть руина всех диагональных миноров второго порядка матрицы А; а,„ а,а а,, и = ° ааа ааа аат а<В <т а а а тв — суммз всех диагональных миноров третьего порядка матрицы А и т.
д. Наконец, и„=- де) А. Легко убедиться, что число диагональных миноров й-го порядка матрицы А равно С = ( 11''А ~+~) (й=1 2 ... л). а! Отсюда получаем, что непосредственное вычисление коэффициентов харакгеристического полинома (2) эквивалентно вычислению С,', + С„'+... + С„" = 2" — 1 определителей различных порядков. Последняя задача, вообще говоря, технически трудно осуществима для сколько-нибудь больших значений и. Поэтому созданы специальные методы развертывания вековых определителей (методы А. Н. Крылова, А. М.
Данилевского, Леверье, метод неопределенных коэффициентов, метод интерполяции и др.) (см. [11). В следующих параграфах мы изложим некоторые из этих методов. 404 нлхозкдение совственных значений и вектогов [тл. хп Рз Л Рз Рз Рз 1 — Л О ... О О 1 — Л ... О Е1(Л) = О О О ... — Л Если нам удалось записать вековой определитель в форме (1), то, разлагая его по элементам первой строки, будем иметь: 1)(Л) = (р, — Л)( — Л) ' — р,( — Л) '+р, ( — Л) ' — " . +( — 1) или ст (Л) = ( — П" (Л" — р,Л"-' — р. Л"-' — Р.Л"-з -... — р„). Таким образом, развертывание векового определителя, записанного в нормальной форме (1), не представляет затруднений.
Обозначим через ац а, ... азн А — ам азз ° ° ° азз азз азз " азз данную матрицу, а через Рз Рз ° ° ° Рп з Рз 1 О ... О О О О ... 1 О =[ — подобную ей матрицу Фробениуса, т. е. Р=Я 'А5, где Я в неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем: бе! (А — ХЕ) = бе1(Р— ЛЕ). (3) Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом, исходя из матрицы А, строится матрица Р. Согласно методу А. М.
Данилевского, переход от матрицы А к подобной ей матрице Р осуществляется с тзомощью и — 1 преобразований подобия, последовательно преобразующих строки матрицы А, начиная с последней, в соответствующие строки матрицы Р. Покажем начало процесса. Нам нужно строку а„, а„,... а„„азн 3 3. Метод А. М. Данилевского Сущность метода А. М.
Данилевского [1] заключается в приведении векового определителя к так называемому нормальному виду Фробениуса 405 мвтод л. м. данилевского Затем вычтем (и†1)-й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа аи„ аи,, ..., аи„ нз всех остальных ее столбцов. В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид О О ... 1 О.
Указанные операции являются элементарными преобразованиями, производимыми над столбцами матрицы А. Произведя эти же преобразования над единичной матрицей, получим матрицу Ми-1 «1»„1 1 О »1» 11 ° ° ° 'Нл 1» 1 «1« 1л О 1 где гли, ~ — — — — при ! Фп — 1 а»1 аи (4) (4') и, л-1 Отсюда заключаем (см. гл. Ч11, $ 14), что произведенные операции равносильны умножению справа матрицы Ми, на матрицу А, т. е.
после указанных преобразований подучим матрицу Ь Ь Ь Ь Ь, „ , Ь, „ 2 л-1 ».л (5) АМ, 1 — В— Ь Ь »-1,1 «-1,1 о О Ь Ь «-1, и-1 «-1, И 1 О Используя правило умножения матриц, находим, что элементы матрицы В вычисляются по следующим формулам: Ь, =а,у+оп, 1л1„1 т при 1(1(л; /~л — 1; (6) (6') Однако построенная матрица В=АМ«, не будет подобна ма. трице А. Чтобы иметь преобразование подобия, ну1кно обратную матрицу М„', слева умножить на матрицу В: М,,',АМ» 1=-М,, ',В.
пеРевести в стРокУ О О ... 1 О. ПРедполагаЯ, что аи,и 1 Ф О, разделим все элементы (и†1)-го столбца матрицы А на а„ и ,. Тогда ее л-я строка примет вид аи аи ... 1 аии. 406 нахождения совстввнных значвний и вектогов [гл. хп Непосредственной проверкой матрица М„', имеет вид легко убедиться, что обратная О ...
О О ч О 1 ... О О алс Слл .. ° Сл,л г алл * О О ... О ! -г Мл-г = (7) Пусть Следовательно, С-М„,В. (8) Так как, очевидно, умножение слева матрицы М„~, на матрицу В не изменяет преобразованной строки последней, то матрица С имев~ вид сы сгл ° ° ° сг, л -г с)л слг с,л ... слл д слл С= сл ,, сл ,, ... сл ,. л , сл , „ О О ... ! О' (9) Перемножая матрицы М„ , (7) и В (5), будем иметь: с — — б~7 при 1 <1 < и — 2 (10) (1О') сл, 7 — — ~~л, 'альба! пРи 1 </< и. Таким образом, умножение М„, на матрицу В меняет лишь (и — 1)-ю строку матрицы В. Элементы этой строки находятся по формулам (10) и (1О'). Полученная матрица С подобна матрице А и имеет одну приведенную строку. Этим заканчивается первый этап процесса. Далее, если сл г „ , чь О, то над матрицей С можно повторить аналогичные операции, взяв за основную (и — 2)-ю ее строку.
В результате получим матрицу .~ =М.'лСМл, с двумя приведенными строками. Над последней матрицей проделываем те же операции. Продолжая этот процесс, мы, наконец, получим матрицу Фробениуса г=М ". „,М;,', Мл „М., М„ если, конечно, все и — 1 промежуточных преобразований возможны. Весь процесс может быть оформлен в удобную вычислительную схему, составление которой покажем на следующем примере. 467 э 3) мвтод л. м. данилевского Пр и м е р. Привести к виду Фробениуса матрицу Решение. Вычисления располагаем в таблицу 25. В строках 1 — 4 таблицы 25 помещаем влемеиты аду (1, /= 1, 4 2, 3, 4) данной матРицы и контРольные сУммы адб — — ~ аду (1=1, ! 2, 3, 4) (Х). Отмечаем элемент а =2, принадлежащий третьему столбцу (отмеченный столбец).
В строке ! записываем элементы третьей строки матрицы М„ д — — М, вычисляемые по формулам (4) и (4'): а,д 4 дл бд— з лд, щб а„1 дв ам 2 = — 1,5; = — 0,5. Сюда же (строка 1 таблицы 25) помещ а„ю длбб абб 2 аем элемент = — 5 вычисляемые по двучленным формулам (6) для неотмеченных столбцов и по одночлеиной формуле (6') для отмеченного столбца. Например, для первого столбца имеем: Ь„= 1+ 3 ( — 2) = — 5; Ьбд = 2+ 2 ( — 2) = — 2; Ьа =3+1( — 2)=1; Ьбд — — 4+2( — 2) =0 получаемый аналогичным приемом нз контрольного столбца Е. Число — 5 должно совпасть с суммой элементов строки 1, не входящих в контрольный столбец (после замены элемента лдкд на — 1). )1ля удобства число — 1 записываем рядом с элементом лд , отделяя от последнего чертой. В строках 5 — 8 в графе М д выписываем третью строку матрицы М ', которая в силу формулы (7) совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А.
В строках 5 — 8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы В= АМб, 408 нахождвнив сонстввнных вначвни!! и вихтогов [гл. хн Таблица 25 Вычнслнтельнан схема метода А. М. Данилевского !Мз ! Мз~ — 2 0,5! — 1! — 0,5 — 1,5 — 5 — 2 ~ — 24 ( ~ — !5! ~ 1! 19 М ~М вЂ” 0,067~ 0,733 — 1 — 1,600 — 0,600 1,267 О, 167 — О, 333! — 0,667! — 1, 833( — 2 ) 10~)-15 0,133! — 0,467! — 0,533 1,2 0,333 0,2 и ! и О 12 ( !9 69 !!1 ~М ') Мз )0,1671-1~ — 0,833! — 5,667 — 4,000! — 11,500! — 0,167! 1 ~ ~З)! б 5,333! 3,333~ 9,500 9,667 !4 ~ 5 15 16 1 13'! 56 40 20 120 5 б (7~ 8 А- 3 2 1 — 5 2 1 0 — 2,5 — 2 0',5 0' 1,5 1 0,5 1 2,5 1,5 0 — 3,5 — 1 3,5 1 409 5 3! метод а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
