Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Положив х, = с„х = с,, получим: х,= — (с,+с,), х'н= 0 и х<а~ = Все остальные собственные векторы матрицы А, соответствующие характеристическому числу Х = 1, являются линейной комбинацией этих базисных векторов и заполняют плоскость, натянутую на векторы хгн н хнн (исключая начало координат). Возьмем теперь Х,= 4. Подставляя это значение в уравнение (7), получим: — =0 или — 2хг+ ха+ е,=О, х,— 2хт ь «.,=О, х,+х,— 2х,=О. (9) где с, и са — любые числа, не равные нулю одновременно. В частности, выбирая сперва с,=1; са=О, а затем сд —— 0; с,=1, будем иметь простейшую фундаментальную систему решений, состоящую- из двух линейно независимых собственных векторов матрицы А: 9 12) совственные вектогы и совственные знлчення млтгицы ЗТ! Ранг матрицы системы (9) г=2, причем левый верхний минор б=! 2 !,-ао.
Следовательно, третье уравнение системы есть следствие двух первых, понтону можно ограничиться системой из первых двух уравнений: — 2х, + ха+ ха = О х — 2х +х =О. Отсюда х, х, х, или «, «а ка — — — — т. е. з з з хд —— х =х,=с, где с †постоянн, отличная от нуля. Положив с = 1, получим простейшее решение, реализующее собственный вектор матрицы А: х<ю= 1 Определение 2.
Линейное подпространство Еь(й~л) называется инвариантным относительно данного линейного преобразования у=Ах, Ахба — хух!л (у=1, 2, ..., ю), хп!-60 и Аг~Ха прн уфй. (1О) где если кажлый преобразованный вектор зтого подпространства также принадлежит ему, т. е. из хЕЕа следует АхЕЕь. Очевидно, что доказательство теоремы 1 полностью остается в силе, если рассматривать линейное преобразование, определяемое матрицей А, в некотором инвариантном пространстве.
Т е о р е и а 1'. Каждое линейное преобразование, определенное на инварнвнтном лодлростралсгве комплексного векторного пространства, имеет ло меньшей мере один собственный вектор. Отметим еще одно важное свойство собственных векторов. Теорема 2. Собственныв векторы матрица, соотввтствующив лоларно различным между собой собственным значениям, линейно независимы. Доказательство. Пусть А — данная матрица и 372 свкдвния из твогии линвйных ввктогных пгостглнств (гл. х Допустим, что с,х"'+с,х"'+...
+с х' '=О, (11) где (с,(+)ск(+... +(с (фО. Пусть для определенности с ~ЙО. Применяя к равенству (11) преобразование А, в силу формул (10) будем иметь: Х с хц1+Х „. хоп+ +Х хню (12) Отсюда, умножая равенство (11) на Х н вычитая из полученного равенства равенство (12), находим: (Մ— Х,) с,хоп+ (Х вЂ” Х,) с,х"'+... ... +(Х вЂ” Х„,) с,х' " =-О. (13) Далее, из равенства (13) аналогичным приемом можно исключить вектор х™ и и т. д.
В результате, исключая векторы ню х[ю-ы (я) получим: (Մ— Х,)(Х,-Х,) ... (Х,— Х,) с,хоп =О. (14) Но последнее равенство невозможно, так как ни один иэ сомножителей его левой части не равен нулю. Следовательно, наше допущение ложно и собственные векторы х'~', х'а', ..., хнм линейно независимы. С л е д с т в и е.
Если все собственные значения матрицы А порядка л попарно различны, то отвечающие им собственные векторы этой матрицы в числе, равном ла), образуют базис соответствующего л-мерного пространства. й 13. Подобные матрицы О п р е д е л е н и е. Две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному преобразованию в различных базисах, называются подобными.
Если матрица А подобна матрице В, то пишут А слВ. Выведем условие подобия двух матриц. Пусть матрица А в некотором базисе реализует линейное преобразование у=Ах. (1) В новом базисе (в новых координатах) вто же линейное преобразование будет описываться другой матрицей В: т)= Вй, ВсюА. (2) где ') Предполагается. что для каждого собственного значення берется один собственный вектор. 373 В 13) ПОДОБНЫЕ МЛТРНЦЫ Обозначим через 3 матрицу перехода от новой системы и старой, т.
е. пусть м=8$, у=от), (3) где йе18 Рьб. Подставив формулы (3) в уравнение (1), получим: Отсюда, умножая слева последнее равенство на обратную матрицу 3 т, будем нметьч т)=3 тАЯ. (4) Сравнивая формулы (4) и (2), получим: В=Я ЛАЮ. (5) Относительно матриц А и В, связанных соотношением (5), говорят, что матрица В получается из матрицы А путем преобразования с помощью матрицы О. Таким образом, заключаем, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда одна получается иэ другой путем преобразования с помощью некоторой неособенной матрицы. Из равенства (5) выводим А ЮВВ т, т.
е. если матрица В подобна матрице А, то и, наоборот, матрица А подобна матрице В. Отметим некоторые свойства преобразования с помощью матрицы 8. 1. Преобразование суммы равно сумме преобразований: Ю е(А+В)Ю=Ю ЕА3+Ю"ЕВ5. 2. Преобразование произведения равно произведению преобразований сомножителей: Ю т(АВ)Ю=Ю ЕАЮ В ЕЮ. 3. Преобразование обратной матрицы равно обратной матрицеот преобразованной: Ю тА тб=(Ю ЕАВ) 4. Преобразование целой степени (положительной или отрицаь тельной) равно той же степени преобразования: ЕАНВ (.е ЕАВ)ь Теорема 1. Подобные матрицы цмгют одинаковые характеристические полиномы.
374 свздвння из тзотин линяйных вяктотных пгостглнств [гл. х Доказательство. Пусть ВслэА. Требуется доказать, что бе1(А — ХЕ) =бе1( — лЕ). Так как В=5 'А5 (бе15ФО), то бе1 ( — ХЕ) = бе1 [5 ' (А — ХЕ) 5) = =бе15 'йе1(А — ХЕ) бе!5=бе!(А — ХЕ)э). Итак, йе1( — ХЕ) = йе1(А — ХЕ). Следствие !.
Подобные матрицы имеют одинаковые следы и одинаковые собственные числа (включая нх кратности). С л е д с т в и е 2. Свойство вектора быть собственным для данного линейного преобразования не зависит от выбора базиса. В самом деле, пусть Ах = Хх (х чь О). Вели в новом базисе вектор х эквивалентен вектору ф, то имеем: х=5ф, где 5 †матри перехода. Отсюда А5й = ))5О и, следовательно, 5 'А5ф = ХД, т.
е. ф есть собственный вектор для матрицы В=5 тА5сезА, описывающей в новом базисе наше линейное преобразование. 3 а м е ч а н п е. Так как характеристический полинам, собственные значения и собственные векторы одинаковы для всех матриц, реализующнх данное линейное преобразование, то оии называются соответственно характеристическим полинолюм, собственными значениями и собственными векторами самого линейного преобразования. Тео рема 2. Если данная квадратная матрица порядка и имеет и линейно независимых собстеенных еекторое, то, принял последние за базисные, получим диагональную матрицу, подобную данной. Доказательство.
Пусть имеем квадратную матрицу А. Из ее собственных векторов е, е, ..., е„ образуем базис. Так как векторы е) †собственн, то Ае = Х,е у= ), 2, ..., и). *) Мы здесь пользовались известными теоремами (см. гл. Ч)1, й 2 н 44): !) определитель произведения хвух квадратных матрнн одинакового порядка равен произведению определителей этих метрнн, 2) определитель обратной матрнны равен обратной величине определителя исходной матрнны. 375 инлинвйнАя ФОРМА мАТРины % 141 Рассмотрим любой вектор х нашего пространства. Раскладывая его по базисным векторам е/ (/= 1, 2, ..., и), будем иметь: х=~ х/е/, 1=1 где х/ †координа вектора х в данном базисе.
Применяя преобразование А к вектору х, получим новый вектор л у=Ах=А ~ х е/ или, так как преобразование А линейное, у = ~~'., х Ае/ —— ~ х Х е/.' / Отсюда видно, что координаты вектора у в данном базисе есть у =А/х Ц=1, 2, ..., и) или л У/ ~д~~ б/ат /х~ А 1 где б/А — символ Кронекера. Следовательно, в новом базисе матрица преобразования есть диагональная матрица Л=(б „~ ) или, в развернутом виде Сл е дс та не. Всякую квалратную матрицу, собственные значения которой попарно различны, путем преобразования подобия можно привести к диагональному виду.
Этот результат вытекает непосредственно из теоремы 2 предыдущего параграфа. й 14. Билинейная форма матрицы Пусть А = [а „) — действительная квадратная матрица и х, у— векторы и-мерного комплексного пространства. Составим скалярное произведение л л л (Ах, у) = Х (Ах)/у/ = 3 Х ауахау/. (1) /=1 / 11 1 1- ~ /, о о...о о х, о ...
о О О О.../1„ 376 свздвния нз 1яогии линейных вектогных птосттлнств (гл. х Выражение (1) называется билинейной формой матрицы А. Выведем одно важное свойство билинейной формы. Сумма (1), очевидно, будет иметь прежнее значение, если изменить порядок суммирования н одновременно взаимно поменять обозначения индексов суммирования. Поэтому получим: л и (А», у) лл Х Х аьтхууь. /лтл 1 Запишем полученную сумму в виде скалярного произведения л и / л л л (Ах, у) = ~'., лчл а х у» =(ч,~",,~~ а„у х;~ =(А'у, х)" =(х, А'у). /=1 А=1 , 11=1 Таким образом, (Ах, у) =(х, А'у), (3) т.
е. в скалярном произведении (1) действительную матрицу А можно переставлять с первого места на второе, заменяя ее транспонированной. С л е д с т в н е. Бслн матрица А — действительная и симметряческая (А' = А), то (3) (Ах, у) = (х, Ау), т. е. в скалярном произведении действительную симметрическую матрицу можно переставлять с первого места на второе. й 15. Свойства симметрических матриц Теор ем а 1.
Все собственные значения симметрической матрицы с действительными злементами — действительные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” собственное значение матрицы А и х — соответствующий собственный вектор, т. е. Ах = Хх (х чь 0). Так как А' = А, то (Ах, х) =(х, Ах) или в силу равенства (1) (Хх, х)=(х, )х). Отсюда Х(х, х)=Хь(х, х). Собственный вектор по определению — ненулевой,,поэтому (х, х) ~0 и, следовательно, Х = Х», т. е. Х-действительное число. 377 СВОЙСТВА СИММВТРИЧВСКИХ МАТРИЦ 2 15) и Ах'/' = Х х'/'.
/ Составим скалярное произведение (Ах'и, х'/') =(х"1, Ах'/>). (3) Отсюда в силу равенств (2) н (3) получаем: (Х,х"', х'л) = (х"', Х/х'л) Х,(х"', х'/')=Х/(х"', х'/'). (4) Так как на основании теоремы 1 собственное число Х/ -действнтельное, то А/ = Х/. Следовательно, из формулы (4) имеем: (Х, — А/) (х"', х'/') = О.
Но й — й ~О, поэтому (х(1, хоп) = О, т. е. собственные векторы хгц и х'/' ортогональны между собой. Замечание. Собственные векторы симметрической матрицы с действительными элементами можно полагать действительными. Теорема 3. Всякую действительную симметрическую матрицу при помои(и преобразования подобия можно привести к диагональному виду, До к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
