Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Формула (9), нужная по существу, может быть использована также и для контроля. П р и м е р 2. Методом ортогонализации строк решить систему уравнений 3,00х, + 0,15х — 0,09ха = 6,00; 0,08хд+ 4,00х — 0,16ха = 12,00; 0,05х +0,30х +5,00ха=20,00. Р е ш е н и е. По формулам предыдущего параграфа определяем множители: 3,00 0,08+0,15 4,00+( — 0,09) ( — О,!6) 0,8544 О 0916 Яд З,боя+0,15д+0,09д 9,0306 3,00 0,05+0,15 0,30 — 0,09 3,00 0,2560 О 0282 ад — З.Оба+О 15д+О 09д 9,0306 Сохраняя первое уравнение системы ([), из каждого следующего вычитаем первое, умноженное на соответствующие множители )ддд (д=2, 3): 3,00хд+0,15х — 0,09х =6,00; — 0,2038хд + 3,9858х — О, 1685хз = 11,4324; (П) 0,1346х, -(- 0,3042х, + 4,9975ха = 20,1692.
Для системы (И) определяем множитель — 0,2038 0,1346+3,9853 0,3042 — О,!635 4,9975 0,3430 О 0215 0,2033д+3,9633д+0,1635д !5,9565 Сохраняя два первых уравнения системы (В), из ее третьего уравнения вычитаем второе, умноженное на множитель Х а: 3, Обхд+ 0,15х — 0,09ха = 0,00; — 0,2038хд+ 3,9358хд — 0,1685хз — — 11,4324; (В!) 0,1390х +0,2185х +5,001!х =19,9234.
Матрица З,ОО О,!5 -0,09 1 1с = — 0,2038 3,9858 — 0,1685 ~ б,!390 0,2!85 5,0011 Имеет ортогональные строкн. Для контроля составляем матрицу Г 9,0306 0,0017 — 0,00021 Г9,0306 О, 0 1.! = дддс' = ~ 0,0017 15,9565 — 0,0018 ~ ~ 0 15,9565 0 — 0,0002 — 0,0018 25,0780 0 0 25,0780.$ Применяя формулу (8), получим: (" З,ОΠ— 0,2088 О,!390 ( х=й'1У д~= 0,15 3,9858 0,2!65~ Х вЂ” 0,09 — 0,1685 5,0011 Следовательно, хд — — 1,957; х =3,126; ха=3,803. В. Т рета 0 способ (метод ортогональных матриц) Пусть линейная система приведена к виду 1сх=р, (10) где Я = [гду] †неособенн матрица с ортогональными строкамн н р= .
†вект своболных членов. Умножая каждое уравнение системы (10) на нормнруЮдцнй мно- житель Ди (д=1, 2, ..., и), 12» а 8) пгнменянив методовОРТОГОИАлиаации к Решвиию систем 355 356 сввдшшя нз теогии линейных ввктогных пгостглнств (гл. х получим систему )сх=р, где Я = (р;г;Г) †ортогональн матрица и (11) ргрг р= "'"' — новый вектор свободных членов. рирп Из уравнения (11) будем иметь: х=Л-')) =й'ф.
(12) О 9. Пространство решений однородной системы Рассмотрим однородную линейную систему а,тх, + а,х, +... + а,„х„= О; а„х +а, х,+... +а „х„=б; а„,х,+а„,х,+... +а„„х„=О или, короче, Ах=О, где А=(а;г) и х= . — искомый вектор. х„ Если бе( А~О, то в силу формул Крамера система (1) имеет единственное нулевое решение х = О. Пусть бе!А= — О. В этом случае система (1) имеет бесконечное множество решений (в том числе н ненулевые). Из формулы (1') вытекает: 1) если х — решение уравнения (1'), то сх, где с — произвольная постоянная, есть также решение этого уравнения; 2) если хсн и хоп — решения уравнения (1'), то сумма х"'+хоп есть также решение этого уравнения.
Действительно, если Ах=О, А(сх) = сАх=б. то Следовательно, сх — решение однородной системы (1). Аналогично, если Ах'ы=О и Ах'з'=О, то А (хы' + х'в') = Ах'ы + Аххз' = О + О = О, т. е. х"'+хоп — также решение однородной системы (1). й 9) птосттлнство гашений одногодной системы 357 Отсюда получаем, что любая линейная комбинация решений однородной системы (1) есть также решение втой системы. Следовательно, совокупность всех решений однородной системы (1) образует векторное пространство, которое называется лространством решений. Справедлива теорема. Теор ем а. Если и — число неизвестных однородной системы (1) и г есть ранг ее матрицы А. то размерность пространства решений равна й=и-г.
Базис пространства решений называется фундаментальной системой решений. Если для системы (1) известна фундаментальная система решений х"> = (х<'> х<», . хп>) ь''' ) х'ю =(х<ь> х<ь> х<ь» =(,, ) х'"'=(х<ь>, х<ь>...,, х<ь>), то все ее решения содержатся в формуле х= с,х">+сах'з'+... +с .к'"' или, более подробно, х =с х<'>+с х<'>+... +с„х<ь>, х = с х<'>+ с х<'>+... + сьх<ь>, (2) х„= с х<„'>+ сзх<„'> +... >- сьх<ь>, где сы сь, ..., сь — произвольные постоянные числа.
Для нахождения фундаментальной системы решений в матрице А вылеляют минор г-го порядка б„отличный от нуля, Пусть а,> ать...а, аы аьь . " аьг .л 9 от> ать " агт аых<+ адзха+... + а„хе= — а<..+ах,+т —... — а,„х„, ь<хт+ а„х, +... + а.„х, = — аь,,х,+, —... — а„х„, (3) а„,х,+а, х -(-...-)-а„х,= — а,,+>х,+т —... — а,„х„, определитель которой Ь, отличен от нуля.
Этого всегда можно побиться путем перестановки уравнений системы(1) и изменения нумерации ее неизвестных. Тогда легко доказать, что УРавнения системы (1), начиная с (г+ 1)-го, являются следствиями пеРвых г уравнений втой системы, т. е. они удовлетворяются, если будут удовлетворены г первых уравнений системы (1). Поэтому лостаточно рассмотреть подсистему 358 сведения нз теогни линейных ввктогных пгостганств [гл.
х В системе (3) значения неизвестных х,,=с„х,,=с,, ..., х„=с„,=с можно считать произвольными. Разрешив систему (3] относительно неизвестных х, х, ..., х„, получим: х, =а„ст+аззсз+... +а1ьса, х,= — а,с,+а,с,+... +ааасю (4) х,=а„с,+а,асз+... +а,ьс„, где а;у((=1, 2, ..., г; у=1, 2, ..., н) — вполне определенные постоянные. Кроме того, х,,=с„ х,+, — с„ (4') х„= с„. Формулы (4) и (4') лают полную систеиу решений системы (1). Зэ фундаментальную систему решений можно принять: а„ а,а аы аь О О О аа О 1 О Яы х(ь1— «(а> О Эти последние решения могут быть найдены непосредственно из системы (3), если в ней последовательно полагать: х,+,— — 1, х,ь,— —...— — х„=О; х,+ — О, х,+а — — 1, х, а —...
— х„=О; х,+, —— ... — — х„, = О, х„= 1. П р и и е р. Найти фундаментальную систему решений системы однородных уравнений х,— х +5х — х,=О, х,+ х,— 2х +Зх,=О, 3«1 ха+Зха+ «4 =О, (5) ха+Зх — 9« +Ух =О. 359 линвйныя пгвовгьзовьння пнгвмвнных Решение. Ранг матрицы системы (5) г=2, причем б= ~ ! =2-йО. Поэтому лва последних уравнения системы (5) являются следствием двух первых.
Решаем подсистему ха — ха = — 5ха+ хы ) х +х = 2ха — Зхы ) Полагая сперва х, = 1; ха = О, а затем ха = О и х, = 1, получим два линейно независимых решения х'"=( — —, —, 1, О); хы'=( — 1, — 2, О, 1), которые образуют фундаментальную систему решений системы (5). Векторы х'ы и хпн образуют базис пространства решений данной системы, и все ее решения определяются формулами х,= — Зс — с, х= 7с — 2а, хз = 2сс, с, где с, и с — произвольные постоянные (здесь для удобства первая постоянная взята в виде 2са).
й 10. Линейные преобразовании иеремеиныи Пусть хы хю ..., х„ †некотор система переменныл величин, а уд, ую ..., у„ — лругая система переменных величин, связанная с первой следующими соотношениями: у,=~,(хо х, ..., х„), у =уз(х„х„..., х„), у„=~„(х„хю ..., х„), где уы ув, ..., у„ — заланные функции. Переход от системы х„ х, ..., х„ к системе у„ у„ ..., у„ будем называть преобразованием. 0 п Р е л е л е н и е. Преобразование (1) называется линейньсм, если новые переменные уы у, ..., у„являются линейными одноролнымн у =а„х,+а, х +...+а,„х„, уд=аддхд+а х -(-...
-(-ад„х„, (2) у„=а„,х +а„дхд+...-(-а х„, где аду(д= 1, 2, ..., л; у= 1, 2, ..., л) — постоннные. Линейное преобразование (2) однозначно определяется своей квадратной матрпцей коэффициентов (магрицей лреобразованил) ~ адд а,д...а„, ~ аы адд ° ада 'Г. '':.:' аю ачд.
° аи« Обратно, имея квадратную матрицу А=(а;Л, можно построить линейное преобразование, для которого эта матрйца служитматрицей коэффициентов. Таким образом, между линейными преобразованиями и квадратными матрицами существует взаимнооднозначное соответствие. Системы переменных х„х„..., х„ну„у„..., у„можно рассматривать как векторы-столбцы Уд' Уд хд хд одного и того же векторного пространства Е,. Поэтому преобразование (2) отображает пространство Е„на самого себя или на свою правильную часть.
П р и м е р 1. Преобразование у,=х,+х„) +х, 1 переводит пространство Ед в надпространство уд =уз размерности 1. Соотношении (2) эквивалентны одному матричному соотношению у=Ах. (й) Действительно, по правилу умножения матриц мы имеем: Уд Уд а х+а д+...+» х аддх, +аддхд+... +адах„ ахдхд+ а„дхд+... + а„нхдд 360 свидания нз твогии линвйных ввктогных пгостглнств (гл. х функциямн старык переменных х„ х, ..., х„, т.
е. 6 1О) ЛИНЕЙНЫЕ ПРВОИРАЗОВАНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 361 Отсюда на основании понятия о равенстве матриц получаем формулы (2). Согласно формуле (3) матрицу А можно рассматривать как оператор линейного преобразования. Линейное преобразование, как легко убедиться непосредственно, обладает двумя основными свойствами: 1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора линейного преобразования, т.
е. А(сгх) =аАх; 2) оператор линейного преобразования от суммы нескольких векторов равен сумме операторов от зтих векторов, т. е. А (х+в) =. Ах+ Аз. Как следствие имеем: А (ах+ Рв) = аАх+ РА» (х, я — векторы, и и )) — скаляры). Пример 2. Пусть на плоскости Ох,х, каждому вектору х=Ц ставится в соответствие вектор Рис. 52. являющийся проекцией вектора х на ось Ох1 (преобразование лроекгированил) (рис. 52). Показать, что данное преобразование †линейное, и найти матрицу преобразования. Р е ш е н и е. Очевидно, имеем: уа =хт у,=О, и, следовательно, преобразование проектировании является линейным.
Матрица преобразования есть '=(оо~ ' Выясним смысл элементов аы матрицы преобразования А. Рассмотрим единичные векторы (орты), направленные по осям координат Ох, Ох Ох,г 0 1 э ° ° ' вн= е,= 362 сввднния из твогии лннзйных ввктогных пностгянств [гл. х Применяя преобразование А к вр будем иметь: -а,~ а»у (у=[,2, ...,л). о„а„...аг„ аы аы ° ° а»» Х а„, а„»...а»» а»г О Таким образом„ а; представляет собой [-ю координату преобразованного утго единичного вентора.
П р и и е р 3. Пусть на плоскости Ох!ха каждый радиус-вектор х заменяется той же длины радиусом-вектором у, повернутым относительно первого на л; — УЬМ угол а (преобразование врон!ения) (рис. 53). ~~ луг„х»~ Показать, что данное преобгсМак, анп) разование †линейн, и найти матрицу преобразования. Ю Решение. С вектором у свяжем координатную систему Оу,уз, которая повернута отно' сительно координатной системы Рнс. 53. Ох„ха на угол и. Так как координаты вектора у в системе Оу„уа, очевидно, есть х, и х, то координаты етого вектора в старой системе Ох,х по известным формулам аналитической геометрии выразятся следующим образом: у,=х,сова — х з[псс,'( у,=х,в!псе+х, сова./ (4) Таким образом, преобразование вращения есть линейное, и его матрица имеет вид -[ соз а — з!па~ А= а!па соха ' Можно иначе решить задачу: в результате преобразования едн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
