Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Укажем еще один прием ортогонализации строк матрицы, иногда практически более удобный [5). Пусть дана действительная неособенная матрица ам а(а " аа» аа! аы "° аза А-~ оа1 ала алл Из каждой з-й строки матрицы А, начиная со второй, вычтем ее первую строку, умноженную на некоторое число )(ц (< =2, ..., л), зависящее от номера строки. В результате будем иметь преобразованную матрицу , <1) а(1) , <1) 11 аа " 1п (1) (1) (1) Аы) аа1 аз '' ал (1) (1) (1) а„, а„ ... аан где а)<'=а, прн 7=1 и а<А)=-а, — л< а, при 1~2.
попарно ортогональны, в чем можно убедиться непосредственной проверкой. В некоторых случаях выгоднее ортогонализнровать не столбцы, а строки матрицы, рассматривая их как соответствующие векторы. Пусть А' — транспонированная матрица для данной матрицы А †приведе к виду 348 сввдвния из тиогин линвйнык ввктог»ыл пгостглнств Подберем множители Х<> так, чтобы первая строка матрицы Ап' была ортогональна ко всем остальным строкам этой матрицы. Имеем: ~~~~а<<>а</<> = ~~~~>а /(а// — Х< а ) = ~~а /а/у — Х/> ~~~~а~.=О. /=> /=> >=1 /~1 Отсюда ~ч ', а,/а// />/< — — '„(>=2, ..., и).
~ а'/ /=< Над матрицей А'<' проделываем аналогичную операцию, а именно: первые две строки ее оставляем неизменными, а из каждой1-й строки, где / ~ 3, вычитаем вторую строку матрицы А'>', умноженную иа число Х/ (1=3, ..., л). Получаем новую матрицу аоп аоо а<'> а>а ... а>л а<'> а<~> а<а> Ам>= ю >а " ал а<~> а<~> ... а<~> ю аа ''' аа где а<'> = аЦ> при 1= 1, 2 и а<'> = а<" — Х; а<'> при 1~3. Ц Ы ' Ц и Ы ь/ Так как первая строка матрицы Аеп совпадает с первой строкой матрицы А<а> н все остальные строки матрицы А'а' представляют собой линейные комбинации строк матрицы А'и, ортогональных первой строке матрицы А«>, то строки матрицы А"> будут также ортогональными к ее первой строке.
Выберем множители )</ так, чтобы строки матрицы А'а', начиная с третьей, были ортогональны ко второй ее строке. Получаем: ~~~~ а<а>а<'> = ~~~~а<» (а<» — Х< а<»1 = ~а<»а<<> — Х/а'5 Га<» а =О: Отсюда (А) 849 ОРтогоньлнзкция мьтРиц % П Указанный выше процесс продолжаем до тех пор, пока не получится матрица а(» Ы а(Л !) а(» 1 ) 11 12 ''' 1» а(Л-1) а(»-.1) (»-1) Аы и — 21 22 ''' ьл (»-!) (»-1) (»-1) а»1 в»1 ° ° ° а»» все строки которой попарно ортогональны: » .~'„',а(л.-!)а(л-"=0 прн й~(. т=! Матрица А'» "= [(! с ортогональными строками получилась из данной матрицы А в результате цепи элементарным преобразований.
Поэтому справедливо равенство [с' = ЛА, (8) где Л вЂ” неособенная матрица, которая в нашем случае явлиется нижней треугольной матрицей. Матрицу Л легко восстановить, проделав над единичной матрицей Е все элементарные преобразования, совершенные над матрицей А. Из формулы (8) имеем окончательно: А = Т(с, где Т=Л ' — нижняя треугольная матрица.
Укажем некоторые свойства матриц с ортогональными рядами. Л е м и а. Если столбцы действительной матрицы составляют ортогональную систему векторов, то лроизведение транспонированной матрицы на саму матрицу равно диагональной матрице, Доказательство. Пусть А=[а( [ — данная матрица. Требуется доказать, что А А = Р, где А' = [а,[ — транспонированная матрица А и а„о ...0 Р = " †диагональн матрица. 0 д ...
0 0 0 Полагая Р=[д! [, согласно правилу умножения матриц имеем: » д, = ")!а„(а„. ь=! Отсюда, так как аап — координаты 1-го вектора а'(' н аь — коОрдинаты у-го вектора а'!', получаем: » д;.=- ~~~~а;а„.=(а"', и"))=О, если !ф,)(. 2=1 350 сведения из твогии линейных ввктогных пгостгхнств [гл. х Следовательно, О= [д~~) †диагональн матрица. С л е д с т в и е. Произведение действительной матрицы с ортогональными строками на транспонированную матрицу равно диагональной матрице, т. е. АА'=Р.
Теорема 3. Всякая неособенная действительная матрица А с ортогональными столбцами представляет собой ортогонильную митрицу, умноженную сирина на диагональную матрицу. Доказательство. В силу леммы имеем: А'А = )л, (9) где О= [дст] †диагональн матрица. Вслн А = [и~т[, то, очевидно, ды — — ~~~~и', ) О. ь=ь Пусть рт — — )/ди) 0 (1=1, 2, ..., п) [р,о... о о р, ... о о о ... р„ Очевидно, что ел=да. Из формулы (9) имеем А'А =да, откуда д 'А'Аб т=Е. Так как (д ')'=д т, то (Ад х)'(Ад х)=Е. Следовательно, матрица Ад"' = У ортогональна и, значит, А = (лд, (10) что и требовалось доказать. Следствие. Неособенную действительную матрицу с ортогональными строками можно представить в виде произведениядиагональной матрицы на ортогональную матрицу.
Действительно, пусть А — матрица с ортогональными строками; тогда А' †матри с ортогональными столбцами. В силу формулы (10) имеем А' = (И, где У в ортогональная матрица и д — диагональная матрица, которая может быть определена из соотношения АА' = дь. Отсюда получаем: А = (А')' = д'0" = д0', где У' — также ортогональная матрица. я 3] пгимвнвния матодов огтогоиализлции к ввшянию систвм 351 в~у где ау —— Х.а, а=а (1, у=1, 2, ..., л), есть ортогональная матрица.
й 8. Примеиеиие методов ортогоиаливации к решению систем линейных уравнений А. Первый способ (ортогонализация столбцов) Пусть имеем систему лииейных уравнений Ах =Ь (1) с действительной неособеиной матрицей А. Ортогонализируя столбцы матрицы А, получим матрицу Я, причем А = ТсТ, где Т вЂ верхняя треугольная матрица.
Имеем: У]тл=Ь. (2) Умножая слева на ]т' обе части равенства (2), получим: й'РТх = Тт'Ь. (3) Но, как известно, Я'тс =О, где Π†диагональн матрица. Вводя обозначение й'Ь = р, будем иметь: ОТх=]), откуда д=(ОТ)- В=У- О- ]). (4) Матрица О т, обратная диагональной, находится легко, а именно, если а 0...0 0 Л„...о 0 0 ... а„„ то д а 0...0 0 л' ~...0 О В а м е ч а н и е.
Чтобы данную действительную неособенную матрицу А с ортогональными столбцами (строками) преобразовать в ортогональиую, достаточно нормировать ее столбцы (или соответственно строки), т. е. элемент каждого столбца (строки) разделить на корень квадратный из суммы квадратов элементов этого столбца (строки). Например, если А = ]аг ] есть матрица с ортогональными столбцами, то матраца А = (~~у], 352 свядзння нз тзогни линьйных взктогных пгостгхнств [гл. х Относительно просто находится также обратная матрица Т з треугольной матрицы 7; П р н и е р 1. Методом ортогонализации столбцов решить систему уравнений Р е ш е н и е. Представим матрицу 4 данной системы в виде произведения матрицы )7 с ортогональными столбцами на треугольную матрицу с единичной диагональю: Полагаем: г'<' = 0,6 По формулам (4) предыдущего параграфа находим: (и"', гп') 0,12 — 0,3+0,06 0,12 (г'<Г, г<") О, 16+ 0,36+ 0,09 0,61 о,з1 ~0,4 $ [ 0,37871 г<з< 1 0 5! 1 О 19671 0,6~ — ~ — 0,3820~.
0,2 0,3 0,2590 Контроль: Го,41'Г 0,37871 о,)515 1 (г"', г и) 0,6~ ~ 0,3820 ~ — -0,2292 ~ — О. 0,3 0,2590 0,0777 (а<а<, го') — 0,08+0.18+0,!Ь 0,25 (гп', < ц<) 0,61 0,61 (а"', г"') 0,07574-0,11460+0,12950 Х„( „,и,) 0,35 0,4098; 0,1714; 1'з' = 0,3 — 0,4098 0,6 + 0,1714 — 0,3820 = — 0,0114 Контролю (г<", г<з<) =(г<з<, г"') =-О. г«< = а'<<. Имеем: 0,4х, + 0,3х — 0,2ха = 2; 06хт 05хз+0,3ха=25: 0,3х< + 0,2хз+ 0,5хз — — 11. Ггм г<, гъ$~Г~ )„Х„.1 А=)77=~~~, г г,)~ О ° ~ о о г"'=анн — ) г<ы гон=а<а< — )< г<м — Хз г'з<. <з 1 = <3 а 8) применение методов ортогонллизлцнн к решению систем 353 Таким образов, 0,4 0,3787 — 0,29901 Г1 — О В67 0,4098 ) А = 0,6 — 0,3820 — 0,0114~ ~ 0 1 — 0,17!4 е О,В е,ене О, 23г 0 е г По формуле (4) имеем: х= Т 'В 'КЬ, где !.1= )е'!С -диагональная матрица н Ь= 2,5 Для матрицы Е> и ее обратной матрицы О"' получаем такие значения: Далее, 0,4 0,6 0,3 1Г 2 ) Г5,6 ) г)'Ь = 0,3787 — 0,3820 0,2590 2,5 = 2,67 — 0,2990 — 0,0114 0,4215 1! 4,08 Наконец, обычным приемом подсчитываем: 1 0,1967 — 0,3761 1 Т"! = 0 1 0,17И О 0 1 В итоге получим: х = 0 1 0,1714 О 2,81 0 2,67 = 10,0475 Следовательно, х,=5,0238; х =10,0475; ха=15,0087; точные значения корней: х, = 5; хв = 1О; ха= 15.
Б. В т о р о й с п о с о б (ортогоналнзация строк) Пусть дана система Ах=Ь, (5) тле бе!А ~ О. Преобразуем строки системы (5) с помощью приема, указанного в прелыдущем параграфе, так, чтобы матрица А перешла в матрицу 1с В. П. деннаоннч н И А. Мерен ГО,61 0 0 Й= 0 0350 и 0 0 0,2672.) Г1,64 0 0 )У е= 0 2,'81 О 0 0 3751 854 сввдения из твогин линейных ввктогных пгостганств [гл. х с ортогональными строками. Прн этом вектор Ь перейдет в какой-то вектор [ь.
В результате получим эквивалентную систему )сх= р. (6) Следовательно, (7) х=)г др. Как известно, гс)7' = О=д)з, где а! †диагональн матрица, и )т =НУ, где У вЂ ортогональн матрица. Поэтому дс ' = (д(У) ' = У дд) ' = У'д! с! д = (И У)'И д = гс'д) д = Я'О д. Таким образом, на основании формулы (7) окончательно имеем: х=дс'О д[д, (8) где О = )тй'. (9) Используя формулу (8), можно избежать наиболее трудоемкого процесса нахождения обратной матрицы для недиагональной матрицы. Наличие матрицы О д не вносит усложнения, так как Π— диагональная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
