Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пусть имеется совокупность векторов Тогда для определения постоянных сь(й = 1, 2, ..., лч) в силу равенства (1) получаем систему с,х, +с,х, +...+с х, =О, ()) (г) (еп (2) Стхл + Сгхл + ., + СвХл О ()) (ь) (ы) Если эта система имеет ненулевые решения, то данные векторы линейно зависимы. В противном случае они линейно независимы. Рассмотрим матрицу координат х(') х(') х(~) х(') х(') ... х(~) х(') х(') ... х(~) Пусть г — ранг этой матрицы.
В алгебре доказывается [2), что система (2) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда г()в. Следовательно, векторы х(т), х'", ..., х'"' линейно зависимы, если г <в, и линейно независимы, если г=ш (больше гв ранг г, очевидно, быть не может). Отсюда вытекает, что ранг матрицы Х дает нам максимальное ~исаа линейно независимых векторов, содержащихся в данной совокупности векторов.
Таким образом, если ранг матрицы Х равен г, то среди вектоРов-столбцов хьц (у = 1, 2, ..., «)): !) найдется г линейно независимых и 2) каждые г+1 векторов (г+1(в)) из этой совокупности линейно зависимы. То же самое справедливо относительно векто- Ров-строк (х)",..., х(( ~)) (' = 1, 2,..., л) матрицы Х. 332 свидания нз ттогни лннгйных ввктогных пгостгьнстз П р и и е р 2. Исследовать на лннейну!о зависимость систему векторов: Р е ш ен и е. Составляем матрицу координат 3 †! Π— 6 — 6 Х= 1 2 — 1 2 — 1 О 2 ! 1 1 — 1 ! Для определения ранга г матрицы Х проведем некоторые элементарные преобразования, а именно, вычитая из четвертого столбца матрицы сумму трех первых, получаем: ! 1 1 Π— 1 О -6 О Хоо ! 2 — 1 Π— 1 О 2 О 1 1 — 1 О Отсюда заключаем, что все определители четвертого порядка матрицы Х равны нулю.
Очевидно, что имеются миноры третьего порядка матрицы Х, отличные от нуля. Следовательно, г=3, и так как ранг матрицы меньше числа векторов, то векторы хц', х"', х'а', х'ы линейно зависимы. В даннои случае это ясно, так как хц1 ) х<а> ) х~з1 х~а О Т е о р е м а 1. Мансимальнов число линейно независимых ввнторов п-мсрного пространства Е„ в точности равно размерности этого пространства, Док аз а тел ь ство. Прежде всего, в пространстве Е„имеются системы из и линейно независимых векторов. Такова, например, совокупность и единичных векторов (ортов): е,=(1, О, О,..., 0); е,=(0, 1,О,..., 0); е„=(0, О, О, ..., 1). Так как если с,е, + с,е, +...
+ с„е„= (с„с„..., с„) = О, то очевидно, что с, =с =... = с„=О. х'и = (1, х~а! = (1, х(э> = (1, х<ы = (3, — 1, 1, О, 2, — 5, — 1, -б, 2, — 1, 1); О, 1); 2, — 1); 1, 1). 333 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ э 2) с,х+с,е,+с,е,+... +с„н„=о, (3) где некоторый коэффициент с -6О (Он=,'у'~«). В равенстве (3) коэффициент со -й О, так как в противном случае мы бы имели слил+с,ел+... +с„е„=О, где сг~ЬО (у'=н!), что противоречитлинейнойнезависимости векторов И1, е„..., е„. Следовательно, мы можем разрешить равенство (3) относительно х: х=$1ел+алел+... +$„еы (4) где с, о с ' о $ = — —, с, 1— сн н= с о Таким образом, любой вектор х пространства Е„есть линейная комбинация векторов базиса.
Разложение (4) единственно. В самом деле, если имеется другое разложение х=$,ел+с,ее+... + $„е„, (4') отличное от первого, то, вычитая из равенства (4) равенство (4'), получим; О =- ($1 — $,) е„ + ($1 †,) Е, + ... + ($„ — $„) е„, (5) где по меньшей мере один из коэффициентов $г — $1 — йО. Равенство (5) невозможно, так как векторы базиса линейно независиллы. Слеловательно, существует только одно разложение вида (4). Геометрическая иллюстрация. Для случая трехмерного пространства формула (4) эквивалентна разложению вектора х по на- правленнЯМ тРех данных вектоРов е, е и ео 'общего положениЯ (Рис.
42). Покажем, что если число векторов х'1', х'о', ..., х"" больше «(1« > «), то они обязательно линейно зависимы. Действительно, матрица коорлннат этих векторов имеет тнп « Хнл и, следовательно, ранг ее г ( ппп («, нл) =« ( 1«. Отсюда следует, что эти векторы линейно зависимы. О п р е д е л е н и е 2. Любая совокупность «линейно независимых Векторов «-мерного пространства называется базисом этого пространства. Т е о р е м а 2. Каждый вектор «-мерного пространства Е„может быть 11ргдгтавлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.
Доказательство. Пусть х Е Е„н е„еы ..., е„— базис пространства Е„. В силу теоремы ! векторы х, е„е„..., е„ линейно зависимы, т. е. 334 свидания нз твогии линвйных вектогных пгостглнств [гл. х Оп р е делен не 3. Если е„е, ..., е„есть базис и-мерного пространства н х=5,е,+чае,+... +$„е„, то числа $„$в, ..., $ь называют координатами вектора ха данном базисе е„е„..., е„, Заметим, что координаты вектора х= (хы хы ..., х„) есть координаты его в базисе ортов е = (6,, 6,, ..., 6„ ) () = 1, 2, ..., и), где б„т — символ Кронекера. Следовательно, имеем основное разложение Рнс.
49. х=-х,е,+х,е,+... +х„е„. (6) 2, ..., л) будем называть исходным Базис ортов ВЕ()=1, базисом пространства. Определение 4. Совокупность Еа векторов из и-мерного пространства Е, называется линейным лодлространством пространства Е„, если выполнены следующие условия: 1) из х Е Еану ~ Е„следует х+у Е Е„; 2) нзх ~ Е„ следует ссх Е Е„, где а — любое число.
В частности, 0 ЕЕ,. Следовательно Еь можно й Е, также считать векторным пространством. Максимальное чнслой линейно независимых векторов в пространстве Е„ называется размерностью этого подпростран- Рнс. 50. ства. Из теоремы 1 следует, что йж,п. Таким образом, в пространстве Е„могут быть подпространства: Е, — одного измерения, Ев — двух измерений и т. д. до ń— и измерений (само пространство).
Нулевой вектор 0 можно рассматривать как пространство нулевого намерения. Пример 3. В обычном трехмерном пространстве Ез подпространство Е, одного измерении является п р я и о й; подпространствоЕ двух измерений — плоскостью (рис. 50). 333 ф 31 скклятноя пгоизвядянив вяктогов ТеоРема 3, Если г„гы ..., гэ-еектоРы и-меРкого пРостранства Е„, то полная совокупность векторов х адгд+ ааг +... + аьяь, (у) где а) (/= 1, 2, ..., 3) †произвольн числа, представляет собой подпРостРанство пРостРанства Е„, пРичем, если вектоРы гд, гь, ..., гэ (й (и) линейно независимй, то размерность этого надпространства равна й. Обратно, всякое надпространство Еэ пространства Е„ совпадает с совокупностью всех линейных комбинаций линейно йезависимых векторов з„ зз, ...,зэ этого надпространства (базисные векторы).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость первого утверждения теоремы проверяется непосредственно. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть х Е Е„ их не является линейной комбинацией базисныхвекторовг, г, . „ з„. Тогда очевидно, что векторы х ,г, х„ ..., яь линейно независимы, й, таким образом, в пространстве Еэ имеется й+ 1 линейно независимых векторов.
Но последнее обстоятельство невозможно, так как согласно предположению максимальное число линейно независимых векторов пространства Еэ равно Й. Следовательно, при каком-нибудь выборе чисел а» аь, ..., аэ имеем: х = аду, + а,г, +... + аэг„, что и требовалось доказать. Следствие. Совокупность векторов х, определяемых формулой (7), представляет собой наименьшее линейное пространство, содержащее векторы гд, г, ...,гэ (так называемое пространство, порожденное вектоРами гд, в„..., г, или пРостРанство, катЯ-.
кутов на векторы Вд, гь ° ° гь). ф 3. Скалярное произведение векторов Пусть в и-мерном пространстве Е, имеем векторы х=(х„х„..., х„) и у=(у„у,, ..., у„). Будем считать„что координаты векторов — комплексные числа; «т = $у+ 4б уд т)д+ (Ч1 где 1=)/ — 1; у=1, 2, ..., и. Введем сопряженные величины Гу-И' Уд =Ц-1)* Тогда очевидно, что 336 свельння из теогии лннвйных ввктогных пгостглнств [гл. х Под скалярным лроизведением двух векторов понимается число, равное л ° (х, у)=~ х~у). (1) 1 1 Скалярное произведение обладает следующими свойствами. 1. Свойство положительной определенности. Скалярное произведение вектора самого на себя есть неотрицательное число, которое равно нулю тогда н только тогда, когда вектор равен нулю.
В самом деле, из формулы (1) имеем: л л (х, х)= ~ч~~~хх) = ~~[ху[а)0. ! 1 /=1 Очевидно, что (О, О)=0. Наоборот, если (х, х) =О, то х =0 (у=1, 2, ..., л) и, следовательно, х=О. 2. Эрмитовн симметрия. При перестановке двух множителей скалярное произведение заменяется сопряженным. Действительно, пользуясь теоремами о сопряженной величине суммы и сопряженной величине произведения "), имеем: л а / л (у, х) = ~~~~утх) = ч~~~х)уу — — ( ,"«;х,у) [ =(х, у)". )=а 1=1 Следовательно, (у, х) =(х, у)".
(2) 3. Скалярный множитель, стоящий на первом месте, можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. (ах, у) =а(х, у). (3) Доказательство этого свойства непосредственно вытекает из формулы (1). С л е д с т в и е. Скалярный множитель, стоящий на втором месте, можно выносить за знак скалярного произведения, заменяя его сопряженным. Имеем: (х, ау) =(ау, х)"= [а(у, х))" =а" (р, х)"=а" (х, у).
Итак, (х, ау)=ае(х, н). 4. Свойство дистрибутивиости. Если первый илн второй векторы представляют собой сумму двух векторов, то скалярное произведение ") )чы здесь воспольэовалнсь следующими теоремами: а) сопряженная величияа суммы равна сумме сопряженных величии слагаемых; 6) сопряженная величина произведения равна произведению сопряженных величин сомножителей. 338 свндвния нз тногнн линнйных внктогных пгостглнств [гн.
х С помощью скалярного произведения можно дать определение я основных метрических понятий з н-мернон пространстве: дляны вектора н угла между парой векторов. 1. Длина вектора. Длиной вектора в л-мерном пространстве называется неотрицательное число [х [ = + 1«(х, х). Очевидно, что это определение согласуется с понятием длины вектора в трехмерном пространстве. 2. Угол менщу векторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
