Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При практическом применении метода квадратных корней лрямым ходом с помощью формул (3) и (6) последовательно вычисляются коэффициенты 11у и уг (ь=1, 2, ..., л), а затем обратным ходом с помощью формулы (7) находятся неизвестные х; (1 = п, и — 1, ..., 1). П р и и е р. Методом квадратных корней решить систему уравнений Решение систем линейных уРАВнений 1гл. Рп! 290 Таблица 18 Решение линейной системы методом квадратных корней Разделы елены аф, ан а а!з — 2 — 5 3 зи з~з з!, м 0 — 2 0,5 — 0,4472~ — 1,3416!' — 1,7471! 2,0125! 1,5653! — 7,58031 3,04!4 2,2194 — 2,2928 0,8221! 0,1643! 3 — 2 2,2361! — 0,4472! 0,8941! — 0,3996 0,1007 О, 1998 1,!992 — 2,2016 — 6,80!! — 1,2017 — 5,8004 — 6,0978 — 5,0973 х! х! х,=х!+1, помещая их в разделе В. Например, уз — !ззхз — !ыхе ха = 1,.М вЂ” 7,5803! — 1,5652! О,!998 — 2,0!25! ( — 0,8996) 0,8944! 6,8011.
ф Й. Схема Халецкого Для удобства рзссужденнй систему линейных уравнений запишем в матричном виде Ах = Ь, (1) где А = [а!71 — квадратнзя матрица порядка л и — векторы-столбцы. Представим матрицу А в виде произведения нижней треугольной матрицы В=)Ь!А и верхней треугольной матрицы С=)с!71 с единичной диагональю, т. е. А = ВС, (2) 1 3 — 2 0 — 2 3 4 — 5 1 — 3 0 1 — 2 5 3 — 2 — 3 2 3 4 0,5 5,4 5,0 7,5 3,3 0,5 5,4 1,0 14,5 7,3 0,5 — 1,7471! — 3,1081! 2,9679 0,9859! 9 9) схима хллвцкого где ь„о ...о Ьм Ь„". О 1 с„...с,„) О 1 " сан 1 о о Тогда элементы ЬЫ и сЫ определяются по формулам Ьм — — а по /-1 Ьгу — — а; — ~~.', Ьгдсь (1- у) 1) А=г (3) аы Ь 1/ Ь (4) (-1 1/ — — и <~<~1 ьн(ч ' Отсюда искомый вектор х может быть вычислен из цепи уравнений ВУ=Ь, Сх=у. (5) Так как матрицы В и С вЂ” треугольные, то системы (5) легко решаются, а именно: "1 н+г У= ьы (6) хн=ую л х, =У; — Х сгаха (1 < л).
Й.!+1 Из формул (6) видно, что числа у1 выгодно вычислять вместе с коэффициентами с, . Этот метод получил название схемы Халецое кого. В схеме применяется обычный контроль с помощью сумм. Заметим, что если матрица А — симметрическая, т. е. а; = аун то ьд сг = — ((<Я.
г ьг, Схема Халецкого удобна для работы на вычислительных машинах, так как в этом случае операции «накопления» (3) н (4) можно проводить без записи промежуточных результатов. 1О~ 292 Решение систем линейных уРАВнений (г л. Уш П р и м е р. Решить систему Зх,+ х,— х,+2х,=6; — 5х,+ х +Зх,— 4х,= — 12; 2хд+ х — ха — — 1; х, — 5х,+Зх — Зхв =3. Р е ш е н и е (см.
таблицу 19). В первый раздел таблицы 19 впишем матрицу коэффициентов системы, ее свободные члены и контрольные суммы. Далее, так как Ьы = ад (д = 1, 2, 3, 4), то первый столбец из раздела 1 переносится в первый столбец раздела В. Чтобы получить первую строку раздела 11, делим все элементы первой строки раздела ! на элемент адд — — Ь д, в нашем случае на 3. Имеем: 1 сд = — =- О,(З); 3 ! с,з= — — = — О, (3); 3 2 3 8 сдв= 3 =2! сдв = 3 = 2 (6). П Переходим к заполнению второго столбца раздела !1, начиная со второй строки. Пользуясь формулами (3), определяем Ь|з.' !1 8 Ь„= а, — Ь, сд = 1 — ( — 5 ° — 7! = — = 2,66 (6); 3) 3 1 2 Ьзз = аз, — Ьздсд, = Π— 2 — = — — = О, (6) 3 3 ! ! Ьа — — а, — Ьа,с, = — о — 1 ° — = — о — = — 5, (3).
3 3 Далее, определяя сзу(7'=3, 4, 5, 6) по формулам (4), заполняем вторую строку раздела !1: 1 3 Г сзз= (озз Ьадсд ) = — ~З вЂ” ( — 5) ° !д — ) ~ Ьз,з=8 с,в — — — (а„— Ь„сдв) = — ~( — 4) — ( — 5).— 1 = — —; 3~ 4' 1 3 Г 1 3. с,в= — (а„— Ьздсдз) = — ~( — 12) — ( — 5) 23! = — —; а 8 4 ' ,1!1 1 сзв=Ь (оза Ьздсдв)= 8 ~( — 17) — ( — 5) — ~ = 2 ° зз 3~ 2' 294 гашения систям линейных тглвняннй [гл. тш Затем переходим к третьему столбцу, вычисляя его элементы Ь»а н Ь,«по формулам (3) и т. д., пока не будет заполнена вся таблица раздела 1!.
Таким образом, заполнение раздела 11 происходит способом «елочки»: столбец в строка, столбец †стро и т. д. В разделе 1И, пользуясь формулами (6) и (7), определяем уг и х! (1= 1, 2, 3, 4). Текущий контроль осуществляется с помощью столбца ~ч~'„иад которым производятся те же действия, что и иад столбцом свободных членов. й 10.
Метод итерации При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами.
Изложим здесь один из этих методов †мет итерации. Пусть дана линейная система а„х,+а,вхв+ ... +а,„х„=Ь, а„х,+а„х,+ ... +а,„х„=Ь„ а„,х,+а„ах + ... +а„„х„=Ь„. Введя в рассмотрение матрицы ь ь» Ь= ха аы а»" аш а»А и " ° а А=~ систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения Ах =Ь. Предполагая, что диагональные коэффициенты апфО (1=1, 2, ..., и), разрешим первое уравнение системы (1) относительно х, второе— относительно х, и т. д. Тогда получим эквивалентную систему х,=Р,+Я„хв+Яыхв+ ...
+Я,„х„, Х .= ~«+Яюхт+Я»»Х»+ ... +Я«„Х„, (2) Х„= — ~„+Я„Ах»+ Я„»Х»+ ... +Я„, „т Х„ 295 а !О] метод итегацни где оы с>>т = —— ол аи' при !ф/ и а>т — О при > =у' (1, у= — 1, 2, ..., и). Введя матрицы (>» ам а„... а>» аы а>а .. а»„ а„, а„, ... а»» ('» форме систему (2) можем записать в матричной х= р+ссх. (2') Систему (2) будем решать методом последовательных и р и б л и ж е н и й.
За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных членов х'а' = (). Далее, последовательно строим матрицы-столбцы х>>> = р+ их>а> (первое приближение), хпн = р+ах>г> (вгорое приближение) и т. д. Вообще говоря, любое (й+1)-е приближение вычисляют по о м ле фру х>"+и=~+>хх>~> (А=О, 1, 2, ...). (3) Если послеловательность приближений х>»>, х»> х<ы имеет предел х = 1!ш х>~>, а а то этот предел является решением системы (2). В самом деле, переходя к пределу в равенстве (3), будем иметгм !пп х>а т>=р+а Пш х'"> а-» а й -» Ф нли х=р+ссх, «'>=р>, (3') «)а+» — р ( ~с> «ы' >у ! 1=1 (сси —— О; >' = 1, „ л; (> = О, 1, 2,...). т.
е, предельный вектор х является решением системы (2'), а следовательно, и системы (1). Напишем формулы приближений в развернутом виде: 296 Решение систем линейных уРАвнений [гл. Тчп Заметим, что иногда выгоднее приводить систему (1) к виду (2) так, чтобы коэффициенты ап не были равны нулю. Например, уравнение 1,02х, — 0,15ха = 2,7 для применения метода последовательных приближений естественно записать в виде хд — — 2,7 — 0,02х +0,15х .
Вообще, имея систему ~~~~ ~а; х( —— Ь( (1=1, 2, ..., Л), 1=( можно положить: (д) (д! а(; — — ап + ан, где а((,') ~ О. Тогда данная система эквивалентна приведенной системе х;= [)(+ ~ (д((ху (1=1, 2, ..., и), где а(д) пн с(с а(') и а(( а(1 — — — — „, при д ф/. >( ь( (д) ' » 4х +0,24х,— 0,08х =8, О, 09х, + Зх — О, 15х = 9, 0,04х — 0>08х +4х =20 (4) методом итерации. Поэтому при дальнейших рассуждениях мы не будем, вообще говоря, предполагать, что с((( =- О. Метод последовательных приближений, определяемых формулой (3) нли (3'), носит название метода итерации. Процесс итерации (3) хорошо сходится, т.
е. число приближений, необходимых для получения корней системы (1) с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы (д малы по абсолдотной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов втой системы (свободные члены при этом роли не играют). Приме р 1. Решить систему 297 метод итеРАции В 10) р е ш е н и е.
Здесь диагональные коэффициенты 4; 3; 4 системы значительно преобладают над остальными коэффициентами при не- известных. Приведем эту систему к нормальному виду (2) хт=2 — 0,06х +0,02х, хт —— 3 — 0,03хт+ 0,05хз, хе =- 5 — 0,01х, + 0,02х . В матричной форме систему (5) можно записать так: хс = 3 ( — 0,03 О 0,05 хт За нулевые приближения корней системы (4) принимаем: х, =2; х, =3; х, =5.
(о> . (е> . <е) Подставляя этн значения в правые части уравнений (5), получим первые приближения корней: хсы =2 — 0,06 3+0,02.5 = 1,92; хтп~ = 3 — 003 2+ 0,05 5 = 3,19; Втм 5 0 01 2+О 02.3 5 04 Далее, подставляя эти найденные приближения в формулу (5) получим вторые приближения корней: х~м = 1,9094; хт'~ = 3,1944; Таблица 20 хз = 5 0446. Вычисление решения линейной системы методом итерации После новой подстановки будем иметь третьи приближения корней: х~м = 1,90923; хс'~ = 3,19495; х~м= 5,04485 и т. д. Результаты вычисления помешаны в таблице 20.
3 а м е ч а н и е При применении метода итерации (формула (3)) нет необходимости за нулевое приближение хцн принимать столбец свободныд членов. Как будет доказано ниже, сходимость процесса итерации зависит только от свойств матрицы а, причем при выполнении известных условий, если этот процесс сходится при каком- нибудь выборе исходного начального приближения, то он будет сходить е оному вектору " при выбо е то х'е' д данного приближения.
ПоэтомУ быть азат и Р 298 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (гл. Уш нз формулы (3) имеем: х<»+т> и И+ах<»1 и х'"'=()+ахс» ". (6) Отсюда, вычитая из равенства (6) равенство (7), получим: Л'»о ы = а (х'»' — х'» ") = аЛ'»', т. е. Л' +»'=аЛ' ' (Й=1, 2, ...). (8) За нулевое приближение принимаем: Л~о> х~о~ з (9) тогда лг-е приближение есть х'"'= чо', Л'".
(10) Если, как обычно, положить Л'о' = хнл = р, то равенство (8) будет выполнено и при Й=О. В противном случае равенство (8) при й=О не имеет места. Отсюда вытекает такая методика вычисления етого варианта итерации: 1) если Лои = х™ = р, то У»~ аЛс»-х> а»р (/о 0 1 2 ) » » х'"' = ~ Лсо = ~ а'р; о о о=о 2) если же Лом=«'"„-ы(), то находим д<»>=х'») — «(о)=ах(о! ( )) «~о) и полагаем Л'"'=аЛР» п=а» 'Л'и (в=1, 2, 3, ...).
Целесообразно за компоненты начального вектора выбирать приближенные значения корней системы, находимые грубой прикидкой. Сходящийся процесс итерации обладает важным свойством с а м оисправляемости, т. е. отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как ошибочное приближение можно рассматривать как новый начальный вектор. Отметим, что иногда бывает удобнее подсчитывать не сами приближения, а нх разности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
