Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Длл скодимости последовательности матриц Ай (й = — 1, 2, ...) необкодимо и достаточно, чтобы был выполнен обобщенный критерий Коши, а именно: для всякого в>О должен сушествовать Факой номер Кт=)ч'(е), что при й>Ф, р > О Ай+я — А* Ц (а, (5) где Ц Ц вЂ” любая каноническая норма. 247 б 1О) мхтгнчныа Ряды Обратно, если существует А= Иш Аы ь -~ н то в силу леммы 1 ~|А — А„()- О при ))г — ~со н, значит, будет иметь место неравенство (5). ф 10. Матричные ряды Пользуясь понятием предела матрицы, можно ввести в рассмотрение матричные ряды Ф и ~А„= 1пп ~Аз, (1) я=) н -~ в Ф=! где А„— матрицы одного н того же тяпа. Если предел (1) существует, то матричный ряд называется сходящимся, н матрица, полученная в пределе, называется суммой этого ряда. Если предела (1) не существует, то матричный ряд называется раскодяи)имся и ему не приписывается никакой суммы.
Необходимое условие сходнмости матричного ряда. Теорема 1. Если матричный ряд (1) сходится, то 1ип А =О. Доказательство. Пусть Юл — — ~ч~', Ар )=1 Еслн ряд (1) сходится, то существует конечный предел Ю= 1пп бы ЙИФ Имеем: откуда Аа —— Юа — За ы Иш Аа — — Иш Ю» — 1пп Е„т=б — Я=О. *-~а а-вы «-+а Матричный ряд (1) называется абсолютно сходни(имся, если сходится ряд ~~~, '(А„). Действительно, если справедливо неравенство (5), то для каждого элемента а;; матрицы Ая будет выполнен критерий Коши (см. гл.
Ш, ы) з 4) н, следовательно, существует 1пп А„= Г 1нп аН) ). ь а 1а а О 248 [гл, тп АВГИБРА МАТРиц Теорема 2. Абсолютно сходящийся матричный рлд есть ряд сходящийся. Док аз а тельство. Пусть А =(а(4'1 (й=1, 2, ...). Тогда ~~", [А [=,~ ~[а) [ Так как матричный ряд (2) сходится, то по определению каждый из числовых рядов ~~.', [а~~;~ ~ (1=1, 2, ..., т; у=1, 2,, л') А 1 является сходящимся. Отсюда в силу известной теоремы из теории ря- О дов сходятся также, и притом абсолютно, все ряды ~~.', ан (1 = 1, ..., ю; а=1 у=1, ..., Л), т. е. существует предел М 8= Ига Юн= !пп ~ А„ У-~ ч Ф-+~о А=Г и, значит, матричный ряд (1) сходится.
Для грубого анализа сходимости матричного ряда (1) можно пользоваться приведенным ниже достаточным условием. Т е о р е ив 3. Если [[А [[ — любая каноническая норма и числовой ряд Ф Х ([А„[[ (3) сходится, то матричный ряд (1) также сходится и притом абсолютно. Дока з а тельство. Пусть Аа=(аЯ (й=1, 2, ...). Рассмотрим числовые ряды (4) (1=1, 2, ..., т; /=1, 2, ..., л).
Так как ~ а(1~~(([А„[[, то каждый нз рядов (4) сходится и притом абсолютно. Следовательно, матричный ряд ~я~~ А„= ~~~~ аф и силу определения также сходится, причем сходимость — абсолютная. 249 мхтгичныв гяды Ц 1О) В приложениях важное значение имеют матричные степенные ряды: п р а вы е ~~~~ А„Х» (5) »=е н левые ~ Х"А», »=е (5') где Х вЂ” квадратная матрица порядка и.
В первом случае А» — матрицы типа н»Хп или числа (например, А» могут представлять собой векторы-строки); во втором случае А» — матрицы типа пХпе илн числа (например, А» могут быть векторами-столбцами). Т е о р е м а 4. Если г — радиус сходимости скалярного степенного ряда ~ЦА ))х», (б) гдв Ц А» Ц (й = О, 1, 2, ...) — какая-нибудь каноническая норма, то матричные степеяннв ряды (5) и (5') заведомо сходятся при Ц ХЦ (г. (7) В частности, матричный степенной ряд ФЭ ~~'., а»Х» »=е с числовыми коэффициентами а»(й= — О, 1, 2, ...) сходится при ЦХЦ(г, где г †ради сходимости степенного ряда ,)'., ( а» ) х».
Док азате льет во. Так как Ц А,Х" Ц (Ц А, Ц ~(Х Ц», то при выполнении неравенства (7) ряд ~~~, 'Ц А»Х" )( с~едигея. Следовательно, в силу теоремы 5 степенной ряд (5) также сходится. Аналогичное рассуждение справедливо для ряда (5'). Второе утверждение теоремы следует из того, что если а»вЂ” число, то ~(., ~(=!"! 250 [тл. чп ллгвБРА млттиц Т е о р е и а 5.
Геометрические прогрессии А+АХ+АХе+ ... +АХ +... И А+ХА+ХаА+... +Х А+..., где Х вЂ” квадратная матрииа, сходятся, если (8) (8') (9) )) Х1) (1. При этом ~~~ ~АХ" = А (Š— Х) э е Ф ~ ХэА =(Š— Х) 'А. а=а Действительно, в силу теоремы 4 при наличии условия (9) геометрическая прогрессия (8) сходится, т. е. существует конечная матрица Ф Ю= ~э ~АХь. ь=ч Рассмотрим тождество А (Е+Х+ Х'+... + Ха) (Š— Х) = А (Š— Хь+').
(10) В частности, полагая А =Е в равенстве (11), получим: Б (Š— Х) =Е, где Е =ХХэ. Отсюда де18х.бе((Š— Х) =де(Е=1. Так как де18х конечен, то бе$(Š— Х)фО матрица Е вЂ Х вЂ неособе, т. е. существует и, следовательно, (Š— Х) т, Переходя к пределу при тс — оо в равенстве (10) и учитывая, что в силу условия (9) Хээ'- 0 при й — оо, будем иметь: Ю (Š— Х) = АЕ = А, 251 а 1О! матгичные гады Умножая обе части равенства (11) справа на (Š— Х) ', получим окончательно: б=,'.'~ АХ'= А (Š— Х)-ь. а о Аналогично доказывается, что ХаА =(Š— Х) ьА а=о при ((Х)! <1. С л е д с т в и е, Если (! Х(! < 1, то существует обратная матрица (Š— Х) ь = ~~' Х".
аея Сверк того, если ))Е((=1, то ))( — Г'))~Х !(Х(!'=1 !'„ а ь Замечание. Если ()Х(! (1, то нетрудно оценить норму остатка матричного ряда (8). Имеем: Яа=!/А(Š— Х) ь — А(Е+Х+Х'+...+Л )()~()! А(! ()Х +'+ +Ха+а+...((~))А)>()(Х(!'+ + (! Х)! "+*+...) = )! (! !' (* 1 — (! Х)! Аналогично для ряда (8') имеем: = ((Š— Х) 'А-(Е+Х+Л" +-.+~) А!! < )! "1!! )! Х Матричные ряды дают возможность определить трансцендентч ные функции магрицьн Например, полагают (12) л1 причем можно доказать, что ряд (12) сходится для любой квадрат- ной матрицы Х.
252 [гл. тп. АЛГЕБРА МАТРИЦ ф 11. Клеточные матрицы Пусть лана некоторая матрица А. Разобьем ее на матрицы низших порядков (клетки или блоки) с помощью горизонтальных и вертикальных перегородок, идущих вдоль всей матрицы. Например, "1 адд адз ад, азз азд азз азз ) где клетками являются матрицы Гадд адз1 [ адз1 Р= [ 1; те= '[ 1 ", )[=[азд азз[' Ю=[азз[ [ азд азз1 ' ~азз~ Тогда матрицу А можно рассматривать как сложную матрицу, элементами которой служат клетки: А=~ ].
[ А где клетки А; (д'=1, ..., е) есть квадратные матрицы, вообще говоря, различных порядков, а вие клеток стоят нули. Отметим, что бе1 А = бе1 А, ... бе1 А,. Другой важный частный случай клеточных матриц представля ют окаймленные матрицы Ал д ал» где Ал, = а„аы ... ад, л-д аз, аы - а,,л-д ал- д д а л- д ... ал Матрица, разбитая на клетки, называется клеточной или блочной. Понятно, что разбиение матрицы на клетки может быть осуществлено различными способами. Частным случаем клеточных матриц являются каазидиагональньде матрицы 253 клеточных матрицы - матрица порядка и†1; Г ав в К, =1 " — матрица-столбец; (.а„ А. Сложение и вычитание клеточных матриц Если клеточные матрицы А ~ ~ ~ р | ~ ~ р ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ р ~ ~ Авв Аы Авд в в ...
в В= в„в„... в„1 (2) конформны, т. е. р=г; д=а и клетки Аву и В;р имеют одинаковый тип, то Авв+Вы Ав +Вв, ... Авд+Вв, А+В= Ар, + Вр, Арв+ Врв ... Ард+ Врд В самом деле, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить соответствующие элементы их, но очевидно, что то же самое получится, если мы сложим соответствующие клетки этих матриц. Аналогично производится вычитание клеточных матриц.
Если А †клеточн матрица (1) и сд †чис, то имеем: аА„, аА„... аА,д аА= аАр, аАрв ... аА Б. Умножение клеточных матриц Пусть клеточные матрицы А и В имеют структуру соответст- венно (1) и (2), причем р=г, Предположим, что все клетки АЫ и В а (1=1, 2,..., р; /'=1, в11 вт= 1, 2,..., а) таковы, что число столбцов клетки Аду Равняется числу строк клетки В . В частном случае, если все Вн клетки А; и В;.— квадратные и имеют один и тот же порядок, У„ = (а„,т а„ж ... а„ „ взв †матри-строка и а„„ †чис. Клеточные матрицы одинакового типа и с одинаковым разбиением условимся называть конформньиаи. Удобство клеточных матриц состоит в том, что действия над ними совершаются формально по тем же правилам, что и над обыкновенными матрицами. 254 1гл.
тп ллгеБРА мьтгнц то зто предположение заведомо выполняется. Тогда можно доказать, что произведение матриц А н В есть клеточная матрица с„с„... с, Сы Сы ° ° Сы > с с ... с где С,» — — АцВ ь+А~аВ 4 ° ° ° 4 А~ В «(1=1 2 ° ° ° Р' й=! 2, ..., а), т. е. матрицы А и В перемножаются так, как будто на месте клеток находятса числа [21.
П р и м е р. Перемножая клеточные матрицы -г ( -1- г)Е ~ ~-1-~ ) «-2-»- и получим матрицу вида г- РК+0т Р5+ди АВ= 1 2 Особенно просто производится сложение и умножение квазидиагональных матриц. Если и 121 овеащения млтгнц пни помощи елзвивния на клвтки 255 н порядки матриц Ао В;(1=1, 2, ..., а) одинаковы, то, очевидно, имеем: ~ А,+В )А,+в, ( ~А,В, ~ ! Агйг ( ф 12. Обращение матрац при помощи разбиения иа клетки Пусть для данной неособенной числовой матрицы А требуется найти обратную матрицу А '.
Разобьем матрицу А на четыре клетки: аы(г, г) а1,(г, з) ~ А= а„ (а, г) а11(1, а) -[ Здесь в скобках указаны порядки соответствующих клеток, причем г+а =л„ где л †поряд матрицы А. Будем искать обратную матрицу А ' также в виде четырехклеточной матрицы А ()11(г, г) ()~ (г, и) 1 Р11 ($, Г) Р11($, З) 1 Тогда, так как А 'А = Е, то, перемножая этн матрицы, получим четыре матричных уравнения а +р„а =Вг, Р11а11+ ()11а11 = О, ()11а11+ Цтаа1 = О, ()1 1а11+ ()11а11 = Ег, "де Е, и Е,— единичные матрицы соответствующих порядков. Решив эту систему, определим клетки матрицы А '. для решения системы (1) используем способ исключения неизвестных.
умножая справа первое уравнение системы (1) на а,,1а11 и вычитая из результата умножения второе уравнение этой системы, получим: -1 -1 р11 (аатсс„атэ — ааэ) = и„а11. (гл. гц 256 Алгевгл мьтгиц Отсюда находим: р1в =- — а-„еа,в (а„— а, а;,'а„) ' ()ы — — а;,' — рд а,а,,'. и рв, = — рава, а;,'. Здесь, конечно, предполагается, что соответствующие операции имеют смысл. Введем в рассмотрение матрицы Х=а;,'а,а, У=а„а;,е, В =а,в — аюХ=а — У'а, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
